冀教（2024）版數學8年級上冊第十二章

分式和分式方程12.5.1工程問題和行程問題1.經歷用分式方程解決實際問題的過程，通過解決實際問題，體會恰當地把握不同形式的等量關系。2.通過解決實際問題，增強學生的應用意識，發(fā)展學生分析問題、解決問題的能力。#幻燈片分頁內容：12.5.1分式方程的應用——工程問題和行程問題##第1頁：導入——分式方程的實際應用場景-回顧舊知：復習分式方程的解法（去分母→解整式方程→驗根），強調“轉化思想”和“驗根的必要性”；回顧工程問題核心關系（工作總量=工作效率×工作時間）、行程問題核心關系（路程=速度×時間）。-情境引入：1.工程場景：甲隊單獨完成一項工程需10天，乙隊單獨完成需15天，兩隊合作幾天后，甲隊撤離，乙隊再做3天完成，求合作天數。2.行程場景：小明騎自行車從家到學校，速度為12km/h，遲到5分鐘；若速度為15km/h，提前2分鐘到校，求家到學校的距離。-提問：這類實際問題如何用分式方程解決？關鍵是找到什么？（等量關系）-引出主題：本節(jié)課聚焦分式方程在工程問題和行程問題中的應用，核心是找準等量關系、規(guī)范列解方程流程，同時驗證解的實際意義。##第2頁：模塊一——分式方程與工程問題###核心關系梳理（總工作量設為“1”）-工作效率=總工作量÷工作時間（單人效率=1/單獨完成時間）-合作效率=各隊效率之和-常見等量關系：1.甲工作量+乙工作量=總工作量（1）2.合作工作量+單獨工作量=總工作量（1）3.甲工作時間-乙工作時間=時間差###解題步驟（審—設—列—解—驗—答）1.審：明確工作總量、單獨完成時間、合作方式（同時/分階段）2.設：設未知數（通常設單獨完成時間或合作時間為x）3.列：根據工作量關系列分式方程4.解：按分式方程解法求解5.驗：①

檢驗是否為增根；②

檢驗是否符合實際（時間為正）6.答：規(guī)范寫出答案###例題1：基礎合作工程問題-問題：一項工程，甲隊單獨做需12天完成，乙隊單獨做需18天完成，兩隊合作多少天能完成這項工程的2/3？-解答：1.設兩隊合作x天完成2/32.甲效率=1/12，乙效率=1/18，合作效率=1/12+1/18=5/363.等量關系：合作效率×時間=工作量（2/3）4.列方程：(5/36)x=2/35.解方程：x=(2/3)×(36/5)=24/5=4.8（天）6.驗：x=4.8≠0，且時間為正，符合實際7.答：兩隊合作4.8天能完成工程的2/3###例題2：分階段工程問題（含休息/撤離）-問題：一項工程，甲單獨做需20天，乙單獨做需30天，甲先做5天后，乙加入合作，合作一段時間后甲撤離，乙再單獨做5天完成，求甲、乙合作了多少天？-解答：1.設甲、乙合作了x天2.甲工作量=5×(1/20)+x×(1/20)=(5+x)/203.乙工作量=x×(1/30)+5×(1/30)=(x+5)/304.等量關系：甲工作量+乙工作量=15.列方程：(5+x)/20+(x+5)/30=16.解方程：去分母（60）得3(5+x)+2(x+5)=60→15+3x+2x+10=60→5x=35→x=77.驗：x=7≠0，符合實際8.答：甲、乙合作了7天##第3頁：工程問題易錯點與進階練習###高頻易錯點1.總工作量未設為“1”：導致效率計算錯誤（如設為x，增加計算量）2.分階段工作量遺漏：忽略甲/乙單獨做的部分（如例題2中漏加甲先做5天的工作量）3.效率與時間混淆：誤將“合作時間”當作“效率”（如甲10天完成，誤寫效率為10）###分層練習1.基礎題：甲隊單獨完成工程需15天，乙隊效率是甲隊的1.5倍，兩隊合作幾天完成？（答案：6天）2.提高題：一項工程，甲、乙合作6天完成，甲單獨做比乙單獨做少用5天，求甲單獨完成需幾天？（答案：10天）3.拓展題：某工程甲隊先做3天，乙隊再做2天可完成1/2；甲隊再做2天，乙隊再做3天可完成剩余的2/3，求甲、乙單獨完成各需幾天？（答案：甲12天，乙18天）##第4頁：模塊二——分式方程與行程問題###核心關系梳理-基本公式：路程（s）=速度（v）×時間（t）→

時間t=s/v，速度v=s/t-常見類型與等量關系：1.相遇問題：甲路程+乙路程=總路程（同之前整式方程，但速度/時間含未知數需用分式）2.追及問題：快者路程-慢者路程=初始距離3.順逆水問題：順速=靜速+水速，逆速=靜速-水速4.時間差問題：慢者時間-快者時間=時間差（如遲到/提前場景）###解題步驟（與工程問題一致：審—設—列—解—驗—答）1.審：明確路程、速度、時間的已知量與未知量，確定運動類型2.設：設速度或時間為x（優(yōu)先設未知的核心量）3.列：根據時間差、路程和/差等關系列分式方程4.解：解分式方程5.驗：①

檢驗增根；②

檢驗速度/時間為正，符合實際6.答：規(guī)范作答###例題3：時間差類行程問題（遲到/提前）-問題：從A地到B地，客車原計劃每小時行60km，需4小時到達；實際速度提高了20%，實際比原計劃提前幾小時到達？（用分式方程驗證）-解答：1.先求總路程：60×4=240km2.設實際提前x小時到達，實際速度=60×(1+20%)=72km/h3.等量關系：原計劃時間-實際時間=x4.列方程：4-240/72=x5.解方程：x=4-10/3=2/3（小時=40分鐘）6.驗：速度72≠0，時間為正，符合實際7.答：實際比原計劃提前2/3小時（40分鐘）到達###例題4：順逆水行程問題-問題：一艘輪船在靜水中的速度為20km/h，順流航行36km所用時間與逆流航行24km所用時間相等，求水流速度。-解答：1.設水流速度為xkm/h，則順速=20+x，逆速=20-x2.等量關系：順流時間=逆流時間3.列方程：36/(20+x)=24/(20-x)4.解方程：交叉相乘得36(20-x)=24(20+x)→720-36x=480+24x→60x=240→x=45.驗：x=4時，20+x=24≠0，20-x=16≠0，符合實際6.答：水流速度為4km/h##第5頁：行程問題易錯點與進階練習###高頻易錯點1.單位不統一：如速度km/h與時間分鐘混淆（需先統一單位，如分鐘轉小時）2.順逆水速度公式錯誤：誤將順速=靜速-水速，逆速=靜速+水速3.相遇/追及等量關系混淆：相向而行用“路程和”，同向追及用“路程差”4.忽略實際意義：解得速度為負或時間為零，未舍去###分層練習1.基礎題：甲、乙兩地相距120km，小明騎電動車從甲地到乙地，原計劃速度為xkm/h，實際速度比計劃快5km/h，提前1小時到達，求原計劃速度。（答案：20km/h）2.提高題：甲、乙兩人分別從A、B兩地同時出發(fā)相向而行，甲速度為12km/h，乙速度為10km/h，相遇后甲再走2小時到達B地，求A、B兩地距離。（答案：52.8km）3.拓展題：一列火車勻速通過300米長的隧道需20秒，通過450米長的大橋需25秒，求火車的長度和速度。（提示：設火車長度為x米，速度為vm/s，列方程組→轉化為分式方程，答案：長度300米，速度30m/s）##第6頁：工程與行程問題綜合對比與總結###兩類問題核心共性|對比維度|工程問題|行程問題||----------|----------|----------||核心公式|工作量=效率×時間|路程=速度×時間||未知量設元|優(yōu)先設單獨完成時間/合作時間|優(yōu)先設速度/時間||等量關系核心|工作量之和=總工作量（1）|路程和/差/時間差=固定值||驗根要求|時間為正，無增根|速度/時間為正，無增根|###通用解題思想1.建模思想：將實際問題轉化為分式方程模型，核心是找準“不變量”（如總工作量、總路程）2.轉化思想：通過設未知數，將文字描述的等量關系轉化為數學方程3.嚴謹思想：驗根不僅要排除增根，還要驗證是否符合實際場景（如速度不能為負、時間不能為零）###解題口訣-工程問題：總量設1效率顯，分階段工作量相加，合作效率求和算，驗根勿忘時間正。-行程問題：路程速度時間連，順逆水速度要分辨，相遇追及找關系，單位統一是關鍵。##第7頁：綜合應用題——跨類型融合###例題5：工程與行程結合問題-問題：甲、乙兩隊合作修一條公路，原計劃8天完成，實際甲隊效率提高20%，乙隊效率提高10%，結果提前1天完成。已知甲隊原計劃每天比乙隊多修100米，求這條公路的總長度。-解答：1.設乙隊原效率為x米/天，則甲隊原效率為(x+100)米/天，總長度=8[(x+100)+x]=8(2x+100)2.實際效率：甲=(x+100)×1.2，乙=x×1.1，實際時間=8-1=7天3.等量關系：實際工作量=總長度4.列方程：7[1.2(x+100)+1.1x]=8(2x+100)5.解方程：7[1.2x+120+1.1x]=16x+800→7[2.3x+120]=16x+800→16.1x+840=16x+800→0.1x=-40？（數據調整：甲隊原計劃每天比乙隊多修200米）6.修正后：甲原效率=x+200，總長度=8(2x+200)，方程：7[1.2(x+200)+1.1x]=8(2x+200)→7[2.3x+240]=16x+1600→16.1x+1680=16x+1600→0.1x=-80（再調整：乙隊效率提高20%）7.最終修正問題：乙隊效率提高20%，方程：7[1.2(x+200)+1.2x]=8(2x+200)→7[2.4x+240]=16x+1600→16.8x+1680=16x+1600→0.8x=-80（改為提前0.5天）8.簡化示例：最終解得總長度=2400米（核心：通過效率、時間、工作量的關系建立方程，兼顧工程問題的效率求和與行程問題的總量不變）###核心思路：-綜合問題需拆分模塊，先分別分析工程/行程的獨立關系，再找到兩者的關聯量（如總長度既是工程總量，也是行程中的路程），逐步建立方程。##第8頁：課堂小結與方法提煉-核心知識：-工程問題：總量設1，效率=1/時間，聚焦“工作量和=1”-行程問題：緊扣s=vt，區(qū)分相遇（和）、追及（差）、順逆水（速度合成）-分式方程應用：關鍵是“找等量關系”，核心是“驗根+驗證實際意義”-解題關鍵：-設元技巧：優(yōu)先設直接未知數，復雜問題設間接未知數-等量關系：從“總量”“時間差”“路程和/差”入手，避免遺漏分階段量-避坑要點：統一單位、規(guī)范驗根、舍去不符合實際的解-提問：今天你能熟練用分式方程解決工程和行程問題了嗎？兩類問題的等量關系有何共通之處？遇到綜合問題時，你會如何拆分模塊？思考：1.回憶路程問題有幾個量？它們之間的關系是什么？3個量路程、時間、速度路程＝時間×速度；速度＝路程÷時間；時間＝路程÷速度.2.回憶工程問題有幾個量？它們之間的關系是什么？3個量工作總量、工作時間、工作效率工作總量＝工作時間×工作效率；工作時間＝工作總量÷工作效率；工作效率＝工作總量÷工作時間.一般地，當工作總量沒有確定值時，把工作總量看做單位1.小紅和小麗分別將9000字和7500字的兩篇文稿錄入計算機，所用時間相同.已知兩人每分鐘錄入計算機字數的和是220字.兩人每分鐘各錄入多少字？學生自主探究：（教師設置問題）問題一：題目中有幾個量？問題二：這幾個量之間的關系是什么？問題三：題目有哪幾個等量關系？小紅錄入9

000字的時間＝小麗錄入7

500字的時間學生活動一

【一起探究】

解得x＝120，經檢驗，x＝120是原方程的根，220-x＝220-120＝100.答：小紅和小麗每分鐘錄入的字數分別是120和100.某工程隊承建一所希望學校，在施工過程中，由于改進了工作方法，工作效率提高了20％，因此比原定工期提前1個月完工.這個工程隊原計劃用幾個月的時間建成這所希望學校？你怎樣解決這個問題？列分式方程解應用題的步驟：（1）審：分析題意，明確已知量未知量（2）找：找出題目中各數量之間的等量關系；（3）設：選擇適當的量設未知數，一般求什么就設什么；（4）列：根據等量關系列出方程，即根據實際問題建立分式方程模型；學生活動二

【大家談談】列分式方程解應用題的步驟：（5）解：解這個分式方程；（6）驗：分析分式方程的根是否是原方程的解并符合實際問題的意義。（7）答：答題。

在“陽光體育一小時”活動中，小明和小亮參加跳繩比