高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省廣州市黃埔區(qū)2025-2026學(xué)年高一上學(xué)期期中教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為集合，，所以.故選：D.2.下列各圖中，不能表示是的函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由函數(shù)的定義知，每一個的取值，有且僅有一個值與之對應(yīng)，由選項A，C和D的圖象可知，每一個的取值，有且僅有一個值與之對應(yīng)，所以選項A，C和D錯誤，由選項B的圖象知，存在的取值，一個的取值，有兩個值與之對應(yīng)，所以不能表示是的函數(shù)，故選：B.3.已知不等式的解集為，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因為不等式的解集為，所以和2是方程的兩個根，且，所以，可得，則不等式等價于，即，解得或，故不等式的解集為.故選：C.4.已知：，且，下列不等關(guān)系一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對于A，可取，滿足，但得不到，故A錯誤；對于B，可取，滿足，但不滿足，故B錯誤；對于C，可取，滿足，但，故C錯誤；對于D，因，而，故必有成立，即D正確.故選：D.5.已知函數(shù)的定義域為，命題為奇函數(shù)，命題，那么是的（）A.充分必要條件 B.既不充分也不必要條件C.充分不必要條件 D.必要不充分條件【答案】C【解析】為奇函數(shù),則，但，無法得函數(shù)為奇函數(shù)，例如，滿足，但是為偶函數(shù).所以是的充分不必要條件.故選：C.6.已知函數(shù)是上的減函數(shù)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，要使得函數(shù)是上的減函數(shù)，需滿足，解得，則的取值范圍是，故選：A.7.已知，，當(dāng)時，不等式恒成立，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，又因為不等式恒成立，所以，即，解得，即，故選：B.8.對于非空正數(shù)集，其所有元素的幾何平均數(shù)記為，即，若非空正數(shù)集B滿足下列兩個條件：（1）；（2）．則稱B為A的一個“穩(wěn)定子集”．根據(jù)以上信息，集合的“穩(wěn)定子集”有（）A.5個 B.6個 C.7個 D.8個【答案】B【解析】因為，則，又因為，由題意可知：集合至少有2個元素，若集合有2個元素，則集合可以為，共2個；若集合有3個元素，則集合可以為，共2個；若集合有4個元素，則集合可以為，共1個；若集合有5個元素，則集合可以為，共1個；綜上所述：集合的“穩(wěn)定子集”有個.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.以下滿足的集合有（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】由題意可知，集合A包含集合，同時又是集合的真子集，則所有符合條件的集合A為,,.選項BD均不符合要求，排除.故選：AC.10.已知正數(shù)，滿足，則下列結(jié)論中正確的是（）.A. B.C.的最小值為 D.與可以相等【答案】ABD【解析】由題設(shè)，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，A對；由，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，B對；由題設(shè)，則，而，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，顯然等號不成立，C錯；若，即，則，整理得，所以，滿足題設(shè)，D對.故選：ABD.11.德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，以其命名的函數(shù)，被稱為狄利克雷函數(shù)，其中為實數(shù)集，為有理數(shù)集，則以下關(guān)于狄利克雷函數(shù)的結(jié)論中，正確的是（）A.函數(shù)滿足：B.函數(shù)的值域是C.對于任意的，都有D.在圖象上不存在不同的三個點，使得為等邊三角形【答案】AC【解析】由于，對于選項A，設(shè)任意，則；設(shè)任意，則，總之，對于任意實數(shù)恒成立，所以選項A正確，對于選項B，的值域為，又，所以選項B錯誤，對于選項C，當(dāng)，則，當(dāng)，則，所以選項C正確，對于選項D，取，此時，得到為等邊三角形，所以選項D錯誤，故選：AC．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.函數(shù)的定義域為__________.【答案】【解析】因為，所以函數(shù)的定義域滿足：，解得：且所以函數(shù)的定義域為：.故答案為：.13.已知命題：，都有是真命題，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】因為命題：，都有是真命題，所以，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.14.若不等式對任意及恒成立，則實數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】由題意得對任意及恒成立，所以對任意恒成立，即對恒成立，令，則是關(guān)于的一次函數(shù)，所以只需，即，解得或或，所以實數(shù)的取值范圍是．故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)（，且）．（1）若函數(shù)的圖象過點，求b的值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上的最大值比最小值大，求a的值．解：（1），解得.（2）當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，此時，，所以，解得：或0（舍去）；當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時，，所以，解得：或0（舍去）.綜上：或.16.培養(yǎng)某種水生植物需要定期向水中加入營養(yǎng)物質(zhì)N．已知向水中每投放1個單位的物質(zhì)N，則t（）小時后，水中含有物質(zhì)N的濃度增加ymol/L，y與t的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為根據(jù)經(jīng)驗，當(dāng)水中含有物質(zhì)N的濃度不低于2mol/L時，物質(zhì)N才能有效發(fā)揮作用．（1）若在水中首次投放1個單位的物質(zhì)N，計算物質(zhì)N能持續(xù)有效發(fā)揮作用的時長；（2）若時在水中首次投放1個單位的物質(zhì)N，時再投放1個單位的物質(zhì)N，試判斷當(dāng)時，水中含有物質(zhì)N的濃度是否始終不超過3mol/L，并說明理由．解：（1）當(dāng)時，由題得，解之得；當(dāng)時，由題得，解之得；所以.所以物質(zhì)N能持續(xù)有效發(fā)揮作用的時長為12小時.（2）當(dāng)時，水中含有物質(zhì)N的濃度為ymol/L，則.當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.所以當(dāng)時，水中含有物質(zhì)N的濃度的最大值為3mol/L.所以當(dāng)時，水中含有物質(zhì)N的濃度始終不超過3mol/L.17.已知在上有意義，單調(diào)遞增且滿足．（1）求證：；（2）求不等式的的解集．解：（1）因為，令，得到，所以.（2），又函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，解得，所以不等式的的解集為.18.回答下列問題：（1）已知不等式的解集是，求，的值；（2）對于二次函數(shù)，當(dāng)時，的最小值是，最大值是，求，的值.解：（1）令，作出函數(shù)的圖象，如圖：因為，的解集是，若，則不等式的解集是兩段區(qū)域，不合題意，若，由可知此時恒成立，又因為不等式的解集為，所以是方程，即的兩根，則，解得或（舍去），綜上，，.（2）令，因為當(dāng)時，的最小值是，最大值是，若在上單調(diào)遞減，則有，兩式相減，得，由于，整理得，則，解得，則，不符合題意；若在上單調(diào)遞增，則，且，又，解得，與矛盾，舍去；若在上不單調(diào)，則由（1）中圖象可知，又，從而有，所以滿足，即，解得或（舍去）；綜上，.19.已知A是非空數(shù)集，如果對任意，都有，，則稱A是封閉集．（1）判斷集合，，是否為封閉集，并說明理由；（2）判斷命題“若非空集合，是封閉集，則也是封閉集”的真假，并說明理由；（3）若非空集合是封閉集合，且，求證：不是封閉集．解：（1）對于集合，因為，，所以集合不是封閉集；對于集合，任取，其中，，則，，所以集合