高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省石家莊市新樂(lè)市七校聯(lián)合體2025-2026學(xué)高二上學(xué)期11月期中質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線在軸上的截距為（）A.-3 B. C. D.3【答案】C【解析】令，得，即在軸上的截距為.故選：C.2.已知空間向量，，若，則（）A. B. C.2 D.4【答案】A【解析】因?yàn)椋源嬖趯?shí)數(shù)，使得，即.即，，，所以，，所以.故選：A.3.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為上頂點(diǎn)，則（）A.的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為5 B.的離心率等于C. D.的周長(zhǎng)為14【答案】C【解析】如圖，作出符合題意的圖形，由題意知，，，對(duì)于A，結(jié)合題意可得的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，結(jié)合題意可得的離心率為，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，由題意得，由兩點(diǎn)間距離公式得，故C正確，對(duì)于D，結(jié)合橢圓的定義得的周長(zhǎng)為，故D錯(cuò)誤.故選：C.4.圓與圓的位置關(guān)系為（）A.外離 B.外切 C.相交 D.內(nèi)切【答案】A【解析】由題意知，，兩圓的半徑分別為，，所以，故兩圓外離.故選：A.5.在四面體中，是的重心.記，，，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】連接并延長(zhǎng)交于，則為的中點(diǎn)，所以，，所以，所以，，所以.故選：B.6.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過(guò)的直線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在第二象限，且關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，若，則的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意知（為坐標(biāo)原點(diǎn)），，故直線的斜率為，所以的方程為，即.故選：A.7.已知實(shí)數(shù)，滿足，則取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)，則，可看作是一組與橢圓有公共點(diǎn)的平行直線.由，得.，解得故選：B.8.已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，若，為銳角三角形，則的離心率的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意知，，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不妨設(shè)點(diǎn)為第一象限內(nèi)一點(diǎn)，則，，又，，所以，，記，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，，，即，，，解得，所以.故選:D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.如圖，若正方體的棱長(zhǎng)為，為的中點(diǎn)，則（）A.與所成的角為 B.C. D.與平面所成的角為【答案】AB【解析】以點(diǎn)為原點(diǎn)，以，，分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，所以，，，，所以，，所以與所成的角為，，.平面的一個(gè)法向量為，設(shè)與平面所成的角為，所以，所以A，B正確，C，D錯(cuò)誤故選:AB.10.已知曲線，則下列命題錯(cuò)誤的是（）A.若，則為橢圓B.若或，則表示雙曲線C.若為橢圓，則與橢圓有相同的焦距D.若為雙曲線，則與雙曲線有相同的焦距【答案】ACD【解析】因?yàn)?，但，即不是橢圓，故A錯(cuò)誤；當(dāng)，即，或時(shí)，為雙曲線，故B正確；當(dāng)時(shí)，為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，其焦距為，當(dāng)時(shí)，為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，其焦距為，而的焦距為，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，其焦距為，當(dāng)時(shí)，表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，其焦距為，與雙曲線的焦距不相同，故D錯(cuò)誤.故選：ACD.11.已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足，記點(diǎn)的軌跡為曲線.點(diǎn)，直線，則（）A.曲線的方程為B.當(dāng)最小時(shí)，C.當(dāng)最大時(shí)，D.若曲線上僅有一點(diǎn)到直線的距離為2，則的值為【答案】ABC【解析】設(shè)，由，得，化簡(jiǎn)得，曲線，故A正確；由曲線的方程，知曲線表示以為圓心，且半徑為的圓.當(dāng)最小或最大時(shí)，如圖所示，直線分別在的位置，均與曲線相切，，故B，C正確；圓心到直線的距離，由題意得，解得，或，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為4，虛軸長(zhǎng)為，則該雙曲線的離心率等于__________.【答案】或【解析】記實(shí)軸長(zhǎng)為，虛軸長(zhǎng)為，焦距為.則，，所以，，.所以該雙曲線的離心率.故答案為：.13.已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，為上一點(diǎn)，則的取值范圍為_(kāi)_________．【答案】【解析】由題意知，，所以，設(shè)，則，由，得，故，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值9，當(dāng)或時(shí)，取得最小值5，故的取值范圍為．故答案為：.14.已知圓，過(guò)點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則直線的方程為_(kāi)_________.【答案】【解析】因?yàn)榍悬c(diǎn)分別為，，則，，所以，，，四點(diǎn)在以為直徑的圓上，因?yàn)?，所以在圓心為，半徑為的圓上，其方程為，所以與兩邊分別作差，得，即直線的方程為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.回答下面兩個(gè)問(wèn)題（1）求焦點(diǎn)為，，且過(guò)點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求與雙曲線有相同的漸近線，且過(guò)點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.解：（1）由題意知，雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，且半焦距，故設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，，，所以，所以，所以，故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)所求雙曲線的方程為，將點(diǎn)代入上述方程，得，所以，所以，故所求雙曲線的方程為.16.已知點(diǎn)，，.（1）求的面積；（2）求的外接圓的方程.解：（1）直線的方程為，即，點(diǎn)到直線的距離，，所以的面積.（2）設(shè)外接圓的方程為，由題意得解得故的外接圓的方程為.17.已知三條直線，，.（1）若，，交于一點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，，可以圍成一個(gè)三角形，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）聯(lián)立與的方程，得解得即與的交點(diǎn)坐標(biāo)為，由題意知點(diǎn)在上，所以，解得.（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)不與和平行，且不過(guò)同一點(diǎn)時(shí)，，，三條直線可以圍成三角形，所以，且，且，故的取值范圍為.18.如圖，在三棱柱中，，，，，平面平面，為的中點(diǎn).（1）證明：；（2）求點(diǎn)到平面的距離；（3）求平面與平面的夾角的余弦值.（1）證明：因?yàn)?，為中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以；?）解：因?yàn)?，，所以為等邊三角形，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，由（1）得，，故以為原點(diǎn)，直線、、分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則即，解得，，所以，所以點(diǎn)到平面的距離.（3）解：由（2）得，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則即令，解得，，所以，由（2）知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，則.19.已知右焦點(diǎn)為的橢圓過(guò)點(diǎn).（1）求的方程；（2）若點(diǎn)在上，點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，求的最大值；（3）過(guò)點(diǎn)的直線與交于，，與雙曲線的右支交于點(diǎn)，，是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）由題意得解得所以的方程為.（2）設(shè)，由題意知，，，，所以