4/4綜合·融通(一)小船渡河和關(guān)聯(lián)速度模型(融會(huì)課主題串知綜合應(yīng)用)高考物理命題改革的指導(dǎo)思想要求具備綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析、解決實(shí)際問(wèn)題的能力。運(yùn)動(dòng)的合成與分解中的小船渡河和關(guān)聯(lián)速度模型就是“學(xué)以致用,活學(xué)活用”的典型應(yīng)用。通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)要掌握建立小船渡河模型的一般思路和解法,建立常見(jiàn)的繩、桿關(guān)聯(lián)速度模型的解法。主題(一)小船渡河模型[知能融會(huì)通]1.三個(gè)速度(1)分速度v水:水流的速度。(2)分速度v船:船在靜水中的速度。(3)合速度v:表示船的實(shí)際航行的速度。2.兩類問(wèn)題類型矢量圖解過(guò)河方法渡河時(shí)間最短當(dāng)船頭方向(即v船方向)垂直于河岸時(shí),渡河時(shí)間最短,最短時(shí)間tmin=d渡河位移最短如果v船>v水,當(dāng)船頭朝向上游與河岸夾角θ滿足v船cosθ=v水時(shí),合速度垂直于河岸,渡河位移最短,等于河寬d如果v船<v水,當(dāng)船頭方向與合速度方向垂直時(shí),渡河位移最短,等于d[典例]一小船渡河,河寬d=180m,水流速度為v1=2.5m/s。小船在靜水中的速度為v2=5m/s,求:(1)小船渡河的最短時(shí)間為多少?該過(guò)程渡河位移多大?(2)欲使小船渡河的航程最短,船頭應(yīng)朝什么方向?用多長(zhǎng)時(shí)間?嘗試解答:[變式拓展]對(duì)應(yīng)典例的情境,如果水流速度變?yōu)関1=6.25m/s,欲使小船渡河的航程最短,船頭應(yīng)朝什么方向?此時(shí)最短航程為多少?[題點(diǎn)全練清]1.(2024·長(zhǎng)沙高一調(diào)研)如圖所示,快艇在靜水中的航行速度大小為13m/s,某河流的水流速度大小為5m/s,已知快艇在此河流中渡河的最短時(shí)間為12s。若快艇以最短路程渡河,則渡河的時(shí)間為()A.13s B.15s C.18s D.20s2.如圖所示,某河流中水流速度大小恒為v1,A處的下游C處是個(gè)漩渦,A點(diǎn)和漩渦的連線與河岸的最大夾角為θ。為使小船從A點(diǎn)出發(fā)以恒定的速度安全到達(dá)對(duì)岸,小船航行時(shí)在靜水中速度的最小值為()A.v1sinθ B.v1cosθC.v1tanθ D.v主題(二)關(guān)聯(lián)速度模型[知能融會(huì)通]1.兩物體通過(guò)不可伸長(zhǎng)的輕繩(桿)相連,當(dāng)兩物體都發(fā)生運(yùn)動(dòng),且物體運(yùn)動(dòng)的方向不在繩(桿)的直線上時(shí),兩物體的速度是關(guān)聯(lián)的。2.處理關(guān)聯(lián)速度問(wèn)題的方法:首先認(rèn)清哪個(gè)是合速度、哪個(gè)是分速度。物體的實(shí)際速度一定是合速度,分解時(shí)兩個(gè)分速度方向應(yīng)取沿繩(桿)方向和垂直繩(桿)方向。3.常見(jiàn)的速度分解模型情境圖示定量結(jié)論v=v∥=v物cosθv物'=v∥=v物cosθv∥=v∥'即v物cosα=v物'cosβv∥=v∥'即v物cosθ=v物'cosα[典例](多選)如圖所示,一條不可伸長(zhǎng)的細(xì)繩跨過(guò)一個(gè)小定滑輪,將A、B兩物體連在一起,B物體以速度v0向左勻速運(yùn)動(dòng),當(dāng)細(xì)繩與水平方向成θ角時(shí)(0<θ<90°),A物體的速度大小和繩的拉力與A物體重力之間的關(guān)系為()A.A物體的速度大小為vB.A物體的速度大小為v0cosθC.繩的拉力大于A物體重力D.繩的拉力等于A物體重力聽(tīng)課記錄:[題點(diǎn)全練清]1.(2024·廣東佛山高一期末)(多選)釣魚(yú)是一項(xiàng)受歡迎的運(yùn)動(dòng),釣到大魚(yú)時(shí)一般會(huì)先將魚(yú)遛至沒(méi)有力氣再收線,如圖所示,在收尾階段,魚(yú)已經(jīng)浮在水面不再掙扎,釣魚(yú)者以恒定速率v收魚(yú)線(釣魚(yú)者和魚(yú)竿視為不動(dòng)),魚(yú)線與水平面的夾角為θ,以下說(shuō)法正確的是()A.魚(yú)在靠近釣魚(yú)者過(guò)程中速率增大B.當(dāng)θ=60°時(shí),魚(yú)的速率為2vC.當(dāng)θ=37°時(shí),魚(yú)的速率為0.8vD.魚(yú)受到的合外力恒定2.如圖所示,一輕桿兩端分別固定質(zhì)量為mA和mB的小球A和B(A、B均可視為質(zhì)點(diǎn))。將其放在一個(gè)光滑球形容器中從位置1開(kāi)始下滑,當(dāng)輕桿到達(dá)位置2時(shí),小球A與球形容器球心等高,其速度大小為v1,已知此時(shí)輕桿與水平面成θ=30°角,小球B的速度大小為v2,則()A.v2=12v1 B.v2=2vC.v2=v1 D.v2=3v1課下請(qǐng)完成課時(shí)跟蹤檢測(cè)(三)綜合·融通(一)小船渡河和關(guān)聯(lián)速度模型主題(一)[典例]解析：(1)欲使小船在最短時(shí)間內(nèi)渡河，船頭應(yīng)朝垂直河岸方向。當(dāng)船頭垂直河岸渡河時(shí)，如圖甲所示，小船的合速度方向?yàn)閮A斜方向，垂直河岸的分速度為v2＝5m/s，小船渡河的最短時(shí)間t＝eq\f(d,v2)＝eq\f(180,5)s＝36s，小船的合速度大小為v合＝eq\r(v\o\al(2,1)＋v\o\al(2,2))＝eq\f(5\r(5),2)m/s，該過(guò)程渡河位移大小為x＝v合t＝90eq\r(5)m。(2)欲使小船渡河的航程最短，小船的合運(yùn)動(dòng)方向應(yīng)垂直河岸。船頭應(yīng)朝上游與河岸成某一角度β，如圖乙所示，由v2cosβ＝v1，得β＝60°。所以當(dāng)船頭朝上游與河岸成60°角時(shí)，小船渡河的航程最短，則最短航程x＝d＝180m所用時(shí)間t′＝eq\f(d,v合′)＝eq\f(d,v2sin60°)＝eq\f(180,\f(5,2)\r(3))s＝24eq\r(3)s。答案：(1)36s90eq\r(5)m(2)船頭應(yīng)朝上游與河岸成60°角24eq\r(3)s[變式拓展]解析：因?yàn)関1＝6.25m/s＞v2＝5m/s，合速度方向不可能垂直于河岸。如圖所示，當(dāng)船頭與河岸上游夾角θ滿足cosθ＝eq\f(v2,v1)＝eq\f(5,6.25)＝eq\f(4,5)，得θ＝37°，此時(shí)小船渡河的航程最短，最短航程為xmin＝eq\f(d,cosθ)＝225m。答案：船頭應(yīng)朝上游與河岸成37°角225m[題點(diǎn)全練清]1．選A設(shè)河寬為d，快艇渡河時(shí)間最短，船頭指向需垂直河岸，最短渡河時(shí)間為t＝eq\f(d,v靜)，則河寬d＝v靜t＝13×12m＝156m，由于快艇的靜水航行速度大于水流速度，以最短路程渡河時(shí)，快艇的合速度方向應(yīng)垂直河岸，如圖所示，快艇的合速度大小為v＝eq\r(v\o\al(2,靜)－v\o\al(2,水))＝eq\r(132－52)m/s＝12m/s，渡河的時(shí)間為t′＝eq\f(d,v)＝eq\f(156,12)s＝13s，故A正確。2.選A如圖所示，設(shè)小船航行時(shí)在靜水中速度為v2，當(dāng)v2垂直AB時(shí)速度最小，由三角函數(shù)關(guān)系可知v2＝v1sinθ，故A正確。主題(二)[典例]選BC將B物體的速度v0沿繩子的方向和垂直于繩子的方向進(jìn)行正交分解，如圖所示，則有A物體上升的速度vA＝v0cosθ，故A錯(cuò)誤，B正確；由于B物體以速度v0向左勻速運(yùn)動(dòng)，θ變小，則vA變大，A物體加速上升，處于超重狀態(tài)，所以繩的拉力大于A物體的重力，故C正確，D錯(cuò)誤。[題點(diǎn)全練清]1.選AB將魚(yú)的速度分解為沿魚(yú)線方向的速度和垂直魚(yú)線方向的速度，如圖所示，則v＝v魚(yú)cosθ，釣魚(yú)者以恒定速率v收魚(yú)線過(guò)程中，魚(yú)線與水平面的夾角θ增大，則v魚(yú)增大，魚(yú)做變加速運(yùn)動(dòng)，魚(yú)受到的合外力不是恒定值，故A正確，D錯(cuò)誤；根據(jù)v＝v魚(yú)cosθ，可知當(dāng)θ＝60°時(shí)，v魚(yú)＝2v，當(dāng)θ＝37°時(shí)，v魚(yú)＝1.25v，故B正確，C錯(cuò)誤。2