專題08立體幾何中的范圍與最值問題【考點預(yù)測】動態(tài)立體幾何問題指的是求由點、線、面的變化引起的相關(guān)變量的取值范圍或最值問題．根據(jù)變化起因大致可分為以下三類：一是移動；二是翻折；三是旋轉(zhuǎn)．根據(jù)所求變量可分為：一是求相關(guān)線、面、體的測度；二是求相關(guān)角度與距離的范圍．動態(tài)立體幾何問題需要極高的空間想像能力與化歸處理能力．【典型例題】例1．已知正三棱柱的所有棱長都是2，點M在棱AC上運動，則的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】如圖，將三棱柱的上底面ABC沿AC展開至與平面共面，此時．因為，且，由余弦定理可得，解得，所以的最小值為．故選：A.例2．在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，且．若點、、分別為棱、、上的動點（不包含端點），則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】把四棱錐沿展開，得到如圖所示圖形：的最小時，點與共線時，所以求的最小值即求的長度，因為，，所以在中，結(jié)合余弦定理得，所以，因為，所以，在中，,故選：C.例3．過圓錐頂點的截面三角形面積的取值范圍是，該圓錐的母線長為，則該圓錐的頂角的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)過圓錐頂點的截面三角形的頂角為，其中，由題意可知，過圓錐頂點的截面三角形面積為，所以，，因為，故，故該圓錐的頂角的最大值是.故選：B.例4．如圖，正方體的棱長為2，E，F(xiàn)分別為，的中點，P是底面上一點．若∥平面，下列說法正確的是（

）A．線段長度最大值為，無最小值B．線段長度最小值為，無最大值C．線段長度最大值為，最小值為D．線段長度無最大值，無最小值【答案】C【解析】分別取的中點,因為，平面，平面，所以平面,同理可得平面.因為平面,所以平面平面.因為P是底面上一點．且∥平面，所以點的軌跡為線段.因為正方體的棱長為2，所以,,當(dāng)與點或重合時，；當(dāng)為線段的中點時，.所以線段長度最大值為，最小值為.故選:C.例5．如圖，在棱長為1的正方體中，M，N分別為的中點，P為正方體表面上的動點．下列敘述正確的是（

）A．當(dāng)點P在側(cè)面上運動時，直線與平面所成角的最大值為B．當(dāng)點P為棱的中點時，CN∥平面C．當(dāng)點P在棱上時，點P到平面的距離的最小值為D．當(dāng)點時，滿足平面的點P共有2個【答案】C【解析】由于線面角的最大值為，與不可能垂直，故直線與平面所成角的最大值達不到.選項A錯誤；取的中點為，的中點為,連接,相交于點，連接,且故平面,面，故不能與平面平行，故選項B錯誤；，到平面的距離始終為，故當(dāng)點運動到點時，取得最小值為，故,,故，故選項C正確.當(dāng)點時，滿足平面的點P共有1個.當(dāng)點為平面的中心時，故選項D錯誤故選：C.例6．若圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為4，中心角為的扇形，則由它的兩條母線所確定的截面面積的最大值為（）A． B．4 C．8 D．【答案】C【解析】設(shè)圓錐的底面圓半徑為r，圓錐的高為h則，解得：，設(shè)截面在圓錐底面的軌跡，則截面等腰三角形的高，所以截面面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即等號成立，故選：C例7．已知三棱錐的四個頂點在球的球面上，，是邊長為的正三角形，三棱錐的體積為，為的中點，則過點的平面截球所得截面面積的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)在底面上的射影為，因為，所以為的中心，由題可知，，由，解得在正中，可得.從而直角在中解得.進而可得，，，因此正三棱錐可看作正方體的一角，正方體的外接球與三棱錐的外接球相同，正方體對角線的中點為球心.記外接球半徑為，則，因為球的最大截面圓為過球心的圓，所以過的平面截球所得截面的面積最大為；又為中點，由正方體結(jié)構(gòu)特征可得由球的結(jié)構(gòu)特征可知，當(dāng)垂直于過的截面時，截面圓半徑最小為所以.因此，過的平面截球所得截面的面積范圍為.故選：A.例8．如圖，在棱長為1的正方體中，點，分別是棱，的中點，是側(cè)面內(nèi)一點，若平面，則線段長度的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】如圖所示，分別取的中點，連接,因為為所在棱的中點，所以,所以，又因為平面，平面，所以平面；因為所以四邊形為平行四邊形，所以又平面，平面，所以平面；又因為,且平面,平面,所以平面平面，因為是側(cè)面內(nèi)一點，且平面，則點必在線段上，在直角三角形中，,在直角三角形中，,當(dāng)在中點時，時，最短，在時，最長，,,所以線段長度的取值范圍是故選:C.【過關(guān)測試】一、單選題1．如圖，在正四棱錐中，側(cè)棱長均為，且相鄰兩條側(cè)棱的夾角為，，分別是線段，上的一點，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，將正四棱柱的側(cè)面展開，則的最小值為．在中，，，則．故選：D2．如圖，長方體中，，，為的中點，為底面上一點，若直線與平面沒有交點，則面積的最小值為（）A． B． C． D．1【答案】A【解析】直線與平面沒有交點，所以平面，取中點，連接，因為，所以四邊形是平行四邊形，所以，平面，平面，故平面；同理可得平面，，平面，故平面平面，故在上運動，當(dāng)時，最小，最小值為，此時的面積最小，求得.故選：A3．在正方體中，直線是底面所在平面內(nèi)的一條動直線，記直線與直線所成的角為，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖：過作的平行線，過作該平行線的垂線，垂足為，則，所以，設(shè)正方體的棱長為，則，，所以,當(dāng)且僅當(dāng)與重合時，取得等號，所以的最小值是.故選：.4．如圖所示，P是正三棱柱表面上的一個動點，且，若三棱錐的體積為3，則AP長度的最大值?最小值分別為（

）A．4，1 B．，1.5 C．4.5， D．，2【答案】B【解析】設(shè)點P到平面的距離為h，則，∴.點A到BC的距離為3，如圖，取的中點D，AB的中點E，AC的中點F，的中點G，連接DE，EF，F(xiàn)G，GD，則點P在矩形DEFG的邊上自由移動，點A到EF的距離為，，∴.故選：B5．已知正三棱錐P-ABC，底面邊長為3，高為1，四邊形EFGH為正三棱錐P-ABC的一個截面，若截面為平行四邊形，則四邊形EFGH面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)側(cè)棱長為，則由底面邊長為3，高為1，由可求得，如圖，設(shè)，則，且，于是，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號故四邊形的面積最大值為，故選：C.6．已知某圓錐的側(cè)面積等于底面的3倍，直線是底面所在平面內(nèi)的一條直線，則該直線與母線所成的角的余弦值的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)底面圓的半徑為，母線長為，因為圓錐的側(cè)面積等于底面的3倍，所以，即，因為直線與直線所成角的范圍為，所以當(dāng)直線與底面圓相切時，直線與母線所成角最大為，則該直線與母線所成的角的余弦值的最小值為；當(dāng)直線過底面圓的圓心時，由線面角的定義可知，此時直線與母線所成角最小，則該直線與母線所成的角的余弦值的最大值為，即該直線與母線所成的角的余弦值的取值范圍為.故選：A二、多選題7．在正三棱錐中，設(shè)，，則下列結(jié)論中正確的有（

）A．當(dāng)時，到底面的距離為B．當(dāng)正三棱錐的體積取最大值時，則有C．當(dāng)時，過點A作平面分別交線段，于點，不重合，則周長的最小值為D．當(dāng)變大時，正三棱錐的表面積一定變大【答案】AD【解析】對于A，當(dāng)時，，，設(shè)正三棱錐的高為，根據(jù)，得，A正確；對于B，結(jié)合A的分析，當(dāng)正三棱錐的體積取最大值時，則有，B錯；對于C，當(dāng)時，過點A作平面分別交線段，于，不重合，則周長的最小值為展開圖的直線距離，C錯；對于，在中根據(jù)余弦定理得，所以，所以，因為，所以，故函數(shù)在上遞增，即當(dāng)變大時，正三棱錐的表面積一定變大，故D正確．故選：AD．8．棱長為1的正方體中，P、Q分別在棱BC、上，，，，且，過A、P、Q三點的平面截正方體得到截面多邊形，則（

）A．時，截面一定為等腰梯形 B．時，截面一定為矩形且面積最大值為C．存在x，y使截面為六邊形 D．存在x，y使與截面平行【答案】BD【解析】對A，時，截面為矩形，故A錯；對B，當(dāng)時，點與點重合，設(shè)過A、P、Q三點的平面交于，則因為平面平面，故，且，此時截面為矩形，當(dāng)點與點重合時面積最大，此時截面積，B正確；對C，截面只能為四邊形、五邊形，故C錯；對D，當(dāng)，時，延長交延長線于，畫出截面如圖所示.此時因為，，故，則.由面面平行的截面性質(zhì)可得，，故，此時，故且，故平行四邊形，故，根據(jù)線面平行的判定可知與截面平行，故D正確．故選：BD三、填空題9．如圖，在正三棱柱中，AB＝2，＝2，D，F(xiàn)分別是棱AB，的中點，E為棱AC上的動點，則DEF周長的最小值為_____．【答案】+2【解析】由正三棱柱，可得底面ABC，∴AB，AC．在RtADF中，DF＝＝2．把底面ABC展開與側(cè)面在同一個平面，如圖所示，只有當(dāng)三點D，E，F(xiàn)在同一條直線時，DE+EF取得最小值．在ADF中，∠DAF＝60°+90°＝150°，由余弦定理可得：DF＝＝．∴DEF周長的最小值＝+2．故答案為：+2．10．在正方體中，棱長為2，E為的中點，點P在平面內(nèi)運動，則的最小值為________【答案】3【解析】取的中點F，連接，如下圖：因為E為的中點，所以點E、F關(guān)于平面對稱，所以，因為，當(dāng)且僅當(dāng)點為線段與平面的交點時等號成立；所以的最小值為，由已知為直角三角形，且，為直角，所以，所以的最小值為3.故答案為：3.11．已知二面角的平面角是120°，在面內(nèi)，于，，在面內(nèi)，于，，，是棱上的一個動點，則的最小值是______.【答案】【解析】將二面角平攤開來，即為如下圖形，當(dāng)在一條直線上時有最小值，最小值為對角線因為,所以,故答案為:.12．如圖，三棱柱中，底面，，是上一動點，則的最小值是_______．【答案】【解析】把平面沿著展開與在同一平面上，連接，則的最小值是，因為，三棱柱是直三棱柱，，，，因為，所以，所以，所以，由余弦定理得，所以，故的最小值是.故答案為：13．三棱錐中，面面，，，，，,為射線上一動點，求直線與面所成角的正弦的最大值為______________【答案】【解析】如圖，過作，垂足點為，連接,根據(jù)面面，面面，可得底面，即為直線與面所成角，設(shè)，設(shè)，又，則，因為，，，，則，易知，且，在中，，由余弦定理可得：，又，，所以，，令，則，，當(dāng)時，取得最大值.所以，直線與面所成角的正弦的最大值為．故答案為：．14．有一根長為hcm，底面半徑為rcm的圓柱形鐵管，用一段鐵絲在該圓柱的側(cè)面上纏繞2圈，并使鐵絲的兩個端點落在圓柱的同一母線的兩端，若鐵絲長度的最小值為40cm，則圓柱側(cè)面積的最大值為___________．【答案】【解析】若鐵絲長度的最小值為40cm，則，所以，所以側(cè)面積為，所以圓柱側(cè)面積的最大值為．故答案為:15．在棱長為2的正方體中，點E、F分別是棱BC，的中點，P是側(cè)面四邊形內(nèi)(不含邊界)一點，若平面AEF，則線段長度的取值范圍是________.【答案】【解析】在正方體中，取的中點M，N，連，如圖，因點E、F分別是棱BC，的中點，則，平面，平面，則有平面，顯然為矩形，有，，即有為平行四邊形，則，而平面，平面，有平面，，平面，因此，平面平面，因平面AEF，則有平面，又點P在平面，平面平面，從而得點P在線段MN上（不含端點），在中，，，等腰底邊MN上高，于是得，所以線段長度的取值范圍是.故答案為：16．若直線l與平面所成角為，直線a在平面上，且與直線l異面，則直線l與直線a所成角的取值范圍是___________.【答案】【解析】由題可知直線與直線所成的角的最小值為直線與平面所成的角，所以與直線所成的角的最小值為，又為異面直線，則直線與所成角的最大值為，故直線與直線所成角的取值范圍是.故答案為：.17．已知正方體的棱長為1，E為線段上的點，過點E作垂直于的平面截正方體，其截面圖形為M，下列命題中正確的是______．①M在平面ABCD上投影的面積取值范圍是；②M的面積最大值為；③M的周長為定值．【答案】②③【解析】如圖所示：平面，平面，①當(dāng)點E與或重合時，M為正或正，周長為，面積為，在平面上投影面積為；②當(dāng)點E與不重合時，設(shè)，則，∴，，∴，同理可得：，，故M的周長為定值．M的面積為，當(dāng)時，取得最大值．M在平面上投影的面積，由①②知M在平面上投影的面積取值范圍是，M的面積最大值為，M的周長為定值．故答案為：②③18．如圖，四邊形為四面體的一個截面，若四邊形為平行四邊形，，，則四邊形的周長的取值范圍是___________.【答案】【解析】四邊形為平行四邊形，；平面，平面，平面；又平面，平面平面，，同理可得；設(shè)，，，，；又，，，，且；四邊形的周長為，；四邊形周長的取值范圍是．故答案為：19．在棱長為2的正方體中，點E，F(xiàn)，G分別是線段的中點，點M在正方形內(nèi)（含邊界），記過E，F(xiàn)，G的平面為，若，則的取值范圍是______.【答案】【解析】如圖，取中點為，連結(jié).由已知，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，且.又分別是線段的中點，所以，，所以，所以平面即為平面.易知，又，所以四邊形是平行四邊形，所以，又，，所以，同理由，可得.因為平面，平面，，所以平面.則由，平面，可知，平面，平面.又點M在正方形內(nèi)，平面平面，所以.所以的長即為點到線段上點的距離，因為，所以當(dāng)點為線段的中點時，最小，此時；當(dāng)點與線段端點重合時，最大，此時.所以的取值范圍是.故答案為：.20．已知球是正三棱錐的外接球，，，點E在線段上，且，過點E作球O的截面，則所得截面圓面積的取值范圍是___________.【答