第2講三角函數(shù)圖像及其性質(zhì)【復(fù)習(xí)目錄】一、三角函數(shù)的定義域二、圖像法求三角函數(shù)最值或值域三、換元法求三角函數(shù)最值或值域四、求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間五、求三角函數(shù)的對稱軸六、求三角函數(shù)的對稱中心七、代入檢驗(yàn)法判斷三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、對稱軸、對稱中心八、利用三角函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、周期性和對稱性求參數(shù)的值九、五點(diǎn)法求三角函數(shù)解析式十、三角函數(shù)圖像的伸縮變換十一、利用圖像平移求函數(shù)解析式或參數(shù)值十二、三角函數(shù)綜合【精選好題】一、三角函數(shù)的定義域1．函數(shù)的定義域是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由正切函數(shù)的定義域，令，，解不等式，即可求出結(jié)果.【詳解】由正切函數(shù)的定義域，令，，即，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選:D．2．若，則該函數(shù)定義域?yàn)開____________．【答案】【分析】解不等式即得解.【詳解】由題得.所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：3．求下列函數(shù)的定義域：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由函數(shù)特征得到，求出定義域；（2）由對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0，得到不等式，求出定義域；（3）根據(jù)函數(shù)特征得到，求出定義域.【詳解】（1）要使有意義，則，解得，故定義域?yàn)?；?）要使有意義，可得，即，解得，故定義域?yàn)?；?）要使有意義，可得．解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?二、圖像法求三角函數(shù)最值或值域4．函數(shù)的值域?yàn)開_________.【答案】【分析】根據(jù)求出，進(jìn)而利用正弦函數(shù)圖像即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，則由正弦函數(shù)圖像可知，所以.故答案為：.5．已知，，則的最小值是___________.【答案】【分析】化簡函數(shù)，由，得到，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，因?yàn)?，可得，?dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)取得最小值.故答案為：.6．設(shè)函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值，并求出取最值時(shí)x的值．【答案】(1)；(2)函數(shù)最大值，此時(shí)；函數(shù)最小值，此時(shí).【分析】（1）根據(jù)周期公式求解即可；（2）由，可得，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象求解即可.【詳解】（1）解：因?yàn)?，所以，所以的最小正周期為；?）解：當(dāng)時(shí)，，所以，所以，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取最小值；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取最大值；所以函數(shù)最大值為，此時(shí)；最小值為，此時(shí).三、換元法求三角函數(shù)最值或值域7．已知函數(shù)，則（

）A．的最大值為3，最小值為1B．的最大值為3，最小值為-1C．的最大值為，最小值為D．的最大值為，最小值為【答案】C【分析】利用換元法求解函數(shù)的最大值和最小值即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，設(shè)，，則，所以，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故選：C8．已知，則的值域?yàn)開___________.【答案】【分析】利用倍角余弦公式可得，設(shè)，則，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】，設(shè)，則可得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，可得的值域?yàn)?故答案為：.9．函數(shù)的最小值是______．【答案】【分析】首先函數(shù)化簡為關(guān)于的二次函數(shù)，再利用二次函數(shù)求最值.【詳解】函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值.故答案為：四、求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間10．函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，可得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，再求函數(shù)的單調(diào)遞增求解，再判斷各選項(xiàng)即可得解.【詳解】令，解得，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，取可得，為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，B正確；取可得，為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，令，解得，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，取可得，為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，A錯誤；因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，C錯誤；取可得，為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，所以在上單調(diào)遞增，D錯誤，故選：B.11．已知函數(shù)，則（

）A．增區(qū)間為，B．增區(qū)間為，C．減區(qū)間為，D．減區(qū)間為，【答案】C【分析】解，即可得出單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】由解得.因此，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，.故選：C.12．已知函數(shù)，且．(1)求的值和的最小正周期；(2)求在上的單調(diào)遞增區(qū)間．【答案】(1)，；(2)，【分析】（1）根據(jù)代入求出，再利用三角恒等變換公式化簡，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；（2）由正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】（1）因?yàn)?，且，所以，解得，所以，即，所以的最小正周期；?）由，，解得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，，當(dāng)時(shí)的單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)的單調(diào)遞增區(qū)間為，所以在上的單調(diào)遞增區(qū)間為，.五、求三角函數(shù)的對稱軸13．函數(shù)的圖象的一個(gè)對稱軸方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】解：對于函數(shù)，令，解得，故函數(shù)的對稱軸方程為，令，可知函數(shù)的一條對稱軸為.故選：C14．將函數(shù)y=的圖象向右平移個(gè)單位長度，則平移后的圖象中與y軸最近的對稱軸的方程是____.【答案】【分析】先根據(jù)圖象變換得解析式，再求對稱軸方程，最后確定結(jié)果.【詳解】，當(dāng)時(shí)故答案為：15．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的圖象的對稱軸方程為________【答案】，【分析】先根據(jù)圖象變換得，再根據(jù)余弦函數(shù)性質(zhì)求解.【詳解】將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長度后，得到，所以由，得對稱軸方程為，六、求三角函數(shù)的對稱中心16．已知函數(shù)，則的對稱中心是______．【答案】【解析】根據(jù)余弦函數(shù)的對稱性，列出等式求解，即可得出對稱中心的橫坐標(biāo)，進(jìn)而可得對稱中心.【詳解】由得，∴，，此時(shí)，故的對稱中心是.故答案為：．17．下列是函數(shù)的對稱中心的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出函數(shù)的對稱中心，逐個(gè)檢驗(yàn)即可得出答案.【詳解】由可得，，所以，函數(shù)的對稱中心的是，.對于A項(xiàng)，由，可得，故A項(xiàng)錯誤；對于B項(xiàng)，由，可得，故B項(xiàng)錯誤；對于C項(xiàng)，由，可得，故C項(xiàng)錯誤；對于D項(xiàng)，由，可得，故D項(xiàng)正確.故選：D.18．已知函數(shù)，若將的圖象向左平行移動個(gè)單位長度后得到的圖象，則的一個(gè)對稱中心為__________．【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖像的平移變換規(guī)律，求得的解析式，即可得答案.【詳解】由題意知，則，則有，故的一個(gè)對稱中心為，故答案為：七、代入檢驗(yàn)法判斷三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、對稱軸、對稱中心19．（多選）已知函數(shù)，則（

）A．的圖象關(guān)于對稱 B．的圖象關(guān)于直線對稱C．為奇函數(shù) D．為偶函數(shù)【答案】BC【分析】利用余弦型函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，逐一分析選項(xiàng)即可．【詳解】因?yàn)?，，A錯誤；，B正確；，所以是奇函數(shù)，C正確；易知，所以不是偶函數(shù)，D錯誤．故選：BC20．（多選）關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．函數(shù)在上最大值為 B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C．函數(shù)在上單調(diào)遞增 D．函數(shù)的最小正周期為【答案】BD【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦函數(shù)的圖象性質(zhì)，逐項(xiàng)分析判斷作答.【詳解】對于A，當(dāng)時(shí)，，，最大值為2，A錯誤；對于B，因?yàn)椋瑒t函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，B正確；對于C，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上不單調(diào)，則在上不單調(diào)，C錯誤；對于D，函數(shù)的最小正周期，D正確.故選：BD.21．（多選）已知函數(shù)，則下列描述中正確的是（

）．A．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱B．函數(shù)的最小正周期為2C．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，D．函數(shù)的圖象沒有對稱軸【答案】BD【分析】根據(jù)正切函數(shù)的周期性，單調(diào)性和對稱性分別進(jìn)行判斷即可．【詳解】對于A：令，令得，不是整數(shù)，故A不正確；對于B：函數(shù)f（x）的最小正周期為T＝，故B正確；對于C：令，解不等式可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，故C錯誤；對于D：正切函數(shù)不是軸對稱圖形，故D正確．故選：BD．八、利用三角函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、周期性和對稱性求參數(shù)的值22．已知函數(shù)為偶函數(shù)，則的取值可以為（

）A． B． C． D．0【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用正余弦函數(shù)的奇偶性列式，計(jì)算判斷作答.【詳解】因函數(shù)為偶函數(shù)，則，顯然時(shí)，，即A滿足，B，C，D都不滿足.故選：A23．如果函數(shù)y=3cos(2x+φ)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，那么|φ|的最小值為（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用余弦函數(shù)的對稱中心及給定條件列式，再經(jīng)推理計(jì)算即可得解.【詳解】因函數(shù)y=3cos(2x+φ)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則有，于是得，顯然對于是遞增的，而時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，所以|φ|的最小值為.故選：A24．已知函數(shù)圖象上相鄰兩條對稱軸之間的距離為，則=（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)直接列式計(jì)算作答.【詳解】函數(shù)的最小正周期，相鄰兩條對稱軸之間的距離為，于是得，解得，所以.故選：C25．若函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則（

）．A．1 B． C．2 D．3【答案】B【分析】根據(jù)以及周期性求得.【詳解】依題意函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，即，解得.故選：B26．設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可得，結(jié)合條件即得.【詳解】由，，可得，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，可得：，又，所以，即.故選：D.27．已知函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后，得到函數(shù)的圖象，若的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)平移關(guān)系求出，再由的對稱性，即得.【詳解】由題可知圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以，因?yàn)椋裕蔬x：C.九、五點(diǎn)法求三角函數(shù)解析式28．（多選）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（

）A．B．的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱C．的圖像關(guān)于直線對稱D．函數(shù)為偶函數(shù)【答案】ABC【分析】對A：根據(jù)圖象求出解析式；對BC：求出的對稱中心與對稱軸驗(yàn)證即可；對D：求出解析式判斷是否為偶函數(shù).【詳解】對選項(xiàng)A，，，所以.因?yàn)?，所以，?又因?yàn)椋?，?因?yàn)椋?，即，故A正確.對選項(xiàng)B，令，解得，，所以的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，故B正確.對選項(xiàng)C，令，解得，，所以的圖像關(guān)于直線對稱，故C正確.對選項(xiàng)D，，因?yàn)?，定義域?yàn)?，，所以為奇函?shù)，故D錯誤.故選：ABC29．函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中，，，則________；__________．【答案】2【分析】根據(jù)圖象最值得到值，再利用其周期求出，最后代入零點(diǎn)求出即可.【詳解】由圖象知的最大值為2，因?yàn)?，所以，，根?jù)圖象知的最小正周期為，因?yàn)?，則，則，，因?yàn)楹瘮?shù)圖象過點(diǎn)，，則，，，，所以當(dāng)時(shí)，，.故答案為：2；.30．函數(shù)的部分圖象如圖所示.(1)求函數(shù)的解析式；(2)求使成立的的取值集合.【答案】(1)；(2)，【分析】（1）根據(jù)圖象，結(jié)合周期，五點(diǎn)法，即可求函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)函數(shù)的解析式，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象，即可求解不等式.【詳解】（1）由圖象可知，，，解得：，，，且，得，所以函數(shù)的解析式；（2），即，則，，解得：，，所以不等式的解集為，.十、三角函數(shù)圖像的伸縮變換31．為了得到函數(shù)的圖像，可以將函數(shù)的圖像上（

）A．每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再向左平移個(gè)單位B．每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再向右平移個(gè)單位C．每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再向右平移個(gè)單位D．每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再向左平移個(gè)單位【答案】B【分析】由函數(shù)圖像的伸縮變換和平移變化規(guī)律求解.【詳解】由可知，函數(shù)的圖像每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，可得函數(shù)的圖像，再向右平移個(gè)單位，得函數(shù)的圖像.故選：B32．要得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（

）A．向右平移個(gè)單位長度 B．向左平移個(gè)單位長度C．向右平移個(gè)單位長度 D．向左平移個(gè)單位長度【答案】A【分析】利用誘導(dǎo)公式將平移前的函數(shù)化簡得到，進(jìn)而結(jié)合平移變換即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，故將函?shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度即可，故選：A.33．已知曲線，，曲線經(jīng)過怎樣的變換可以得到，下列說法正確的是(

)A．把曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再向右平移個(gè)單位長度B．把曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再向右平移個(gè)單位長度C．把曲線向右平移個(gè)單位長度，再把所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變D．把曲線向右平移個(gè)單位長度，再把所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變【答案】B【分析】首先對化簡為，再利用三角函數(shù)平移壓縮拉伸的原則，即可得到答案.【詳解】對于,,所以先將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到,再向右平移個(gè)單位長度得到.故選：B.十一、利用圖像平移求函數(shù)解析式或參數(shù)值34．把函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得圖象向左平移個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖象，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)平移法則以及誘導(dǎo)公式即可求出．【詳解】將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變可得，再把所得圖象向左平移個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖象，則.故選：D．35．函數(shù)的圖象如圖所示，現(xiàn)將的圖象向右平移個(gè)單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圖像求出正弦型函數(shù)基本量，再由通過平移得解.【詳解】由圖可知，過點(diǎn)，解得，將的圖像向右平移個(gè)單位得到.故選:D.36．已知函數(shù)，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根據(jù)平移后得到函數(shù)的解析式，再根據(jù)圖象求函數(shù)的解析式，即可求值.【詳解】平移不改變振幅和周期，所以由圖象可知，，解得：,函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，得當(dāng)時(shí)，，且，得所以，.故選：A十二、三角函數(shù)綜合37．函數(shù)的部分圖像如圖所示，為了得到的圖像，可以將的圖像（

）A．向右平移個(gè)單位長度 B．向右平移個(gè)單位長度C．向左平移個(gè)單位長度 D．向左平移個(gè)單位長度【答案】B【分析】首先根據(jù)圖像求函數(shù)的解析式，再根據(jù)平移規(guī)律，即可求解．【詳解】由題可知，，則，所以，所以，由五點(diǎn)法作圖可知，當(dāng)時(shí)，，得，所以，所以，而，因此該函數(shù)向右平移個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖像，故選：B．38．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則（

）A．函數(shù)在上單調(diào)遞增B．函數(shù)為偶函數(shù)C．函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖象D．若，則的最小值為【答案】D【分析】根據(jù)關(guān)于直線對稱及，解得，所以，對于A，，所以，即可判斷A正誤；對于B，，即可判斷B正誤；對于C，可得平移后的，即可判斷C正誤；對于D，因?yàn)?，，結(jié)合題意，以及的周期，可得的最小值為半個(gè)周期，即可判斷正誤；【詳解】由題意關(guān)于對稱，所以，又，所以，所以對于A，，所以，所以函數(shù)在上不單調(diào)，故A錯誤；對于B，，為奇函數(shù)，故B錯誤；對于C，的圖像向右平移個(gè)單位長度得到函數(shù)，故C錯誤；對于D，因?yàn)?，，結(jié)合題意，所以的最小值為半個(gè)周期，又，，所以的最小值為，故D正確.故選：D.39．（多選）已知函數(shù)則（

）A．函數(shù)的最小正周期為B．函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱C．函數(shù)為偶函數(shù)D．函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位后關(guān)于軸對稱，則可以為【答案】BD【分析】利用最小正周期公式判斷A，利用代入檢驗(yàn)法判斷B，根據(jù)偶函數(shù)的定義判斷C，根據(jù)函數(shù)圖象變換結(jié)論及誘導(dǎo)公式判斷D.【詳解】對選項(xiàng)A：因?yàn)?，所以的最小正周期為，錯誤；對選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，，所以是的一條對稱軸，正確；對選項(xiàng)C：易知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，所以函?shù)不是偶函數(shù)，錯誤；對選項(xiàng)D：函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位后得到，由題意，函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱，所以，即，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位后關(guān)于軸對稱，則可以為，D正確.故選：BD40．已知，