2025年邊角互化試題及答案一、邊角互化基礎(chǔ)概念與三角恒等式1.已知△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，邊a=6，求邊b與邊c的精確值（結(jié)果保留根號(hào)形式）。答案：由正弦定理得a/sinA=b/sinB?6/(√3/2)=b/(√2/2)?b=6·√2/√3=2√6；∠C=180°?60°?45°=75°，c=a·sinC/sinA=6·sin75°/(√3/2)=12·(√6+√2)/4/√3=3(√6+√2)/√3=√3(√6+√2)=3√2+√6。2.在△ABC中，已知a=7，b=8，∠C=120°，求邊c與面積S。答案：c2=a2+b2?2abcosC=49+64?2·7·8·(?1/2)=113+56=169?c=13；S=1/2absinC=1/2·7·8·√3/2=14√3。3.設(shè)△ABC滿(mǎn)足sinA:sinB:sinC=3:4:5，且周長(zhǎng)為36，求三邊長(zhǎng)。答案：由正弦定理a:b:c=sinA:sinB:sinC=3:4:5，設(shè)a=3k，b=4k，c=5k，則3k+4k+5k=36?k=3，故a=9，b=12，c=15。4.已知△ABC中，a=5，b=6，c=7，求cosA與sinA。答案：cosA=(b2+c2?a2)/(2bc)=(36+49?25)/(2·6·7)=60/84=5/7；sinA=√(1?cos2A)=√(1?25/49)=√(24/49)=2√6/7。5.在△ABC中，若sinA+sinB=2sinC，求證：a+b=2c。答案：由正弦定理a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入已知得2R(sinA+sinB)=2·2RsinC?sinA+sinB=2sinC，兩邊同乘2R即得a+b=2c。6.設(shè)△ABC滿(mǎn)足a2+b2=3c2，求cosC。答案：由余弦定理c2=a2+b2?2abcosC?c2=3c2?2abcosC?2c2=2abcosC?cosC=c2/(ab)。7.在△ABC中，已知a=2，b=3，∠C=60°，求中線(xiàn)m_c的長(zhǎng)度。答案：m_c2=(2a2+2b2?c2)/4，先求c：c2=4+9?2·2·3·1/2=13?6=7?c=√7；m_c2=(8+18?7)/4=19/4?m_c=√19/2。8.已知△ABC中，∠A=30°，∠B=105°，a=4，求外接圓半徑R。答案：∠C=45°，由正弦定理a/sinA=2R?4/(1/2)=2R?R=4。9.在△ABC中，若(a+b+c)(a+b?c)=3ab，求∠C。答案：左邊=(a+b)2?c2=a2+b2+2ab?c2=3ab?a2+b2?c2=?ab?cosC=(a2+b2?c2)/(2ab)=?1/2?∠C=120°。10.已知△ABC中，a=9，b=10，c=11，求內(nèi)切圓半徑r。答案：半周長(zhǎng)s=(9+10+11)/2=15，面積S=√[s(s?a)(s?b)(s?c)]=√(15·6·5·4)=√1800=30√2；r=S/s=30√2/15=2√2。二、邊角互化與代數(shù)方程綜合1.設(shè)△ABC滿(mǎn)足a+b=13，ab=40，且∠C=60°，求c。答案：c2=a2+b2?ab=(a+b)2?3ab=169?120=49?c=7。2.已知△ABC中，a,b為方程x2?14x+48=0的兩根，∠C=90°，求c與面積。答案：a+b=14，ab=48，c2=a2+b2=(a+b)2?2ab=196?96=100?c=10；S=1/2ab=24。3.在△ABC中，若a,b為方程x2?2mx+m2?1=0的實(shí)根，且∠C=120°，求m范圍使三角形存在。答案：判別式Δ=4m2?4(m2?1)=4>0恒成立；由三角形不等式|a?b|<c<a+b，而c2=a2+b2?2abcos120°=a2+b2+ab=(a+b)2?ab；a+b=2m，ab=m2?1，故c2=4m2?(m2?1)=3m2+1；需滿(mǎn)足|a?b|<√(3m2+1)<2m，平方得(a?b)2<3m2+1<4m2；(a?b)2=(a+b)2?4ab=4m2?4(m2?1)=4，故4<3m2+1?3m2>3?|m|>1；3m2+1<4m2?m2>1?|m|>1；綜上|m|>1。4.設(shè)△ABC中，a,b為方程x2?(k+2)x+k+5=0的兩正根，且∠C=60°，求k使三角形存在。答案：需Δ=(k+2)2?4(k+5)≥0?k2+4k+4?4k?20≥0?k2?16≥0?|k|≥4；a+b=k+2>0，ab=k+5>0?k>?5；c2=(a+b)2?3ab=(k+2)2?3(k+5)=k2+4k+4?3k?15=k2+k?11；需|a?b|<√(k2+k?11)<a+b，|a?b|2=(a+b)2?4ab=(k+2)2?4(k+5)=k2?16；故k2?16<k2+k?11??16<k?11?k>?5；k2+k?11<(k+2)2?k2+k?11<k2+4k+4??11<3k+4?k>?5；綜上k≥4。5.已知△ABC中，a,b為方程x2?10x+24=0的兩根，∠C=θ，且cosθ=1/4，求c。答案：a+b=10，ab=24，c2=a2+b2?2abcosθ=100?48·1/4=100?12=88?c=2√22。6.設(shè)△ABC中，a,b為方程x2?(2t+1)x+t2+t=0的兩根，∠C=90°，求t使內(nèi)切圓半徑r=2。答案：a+b=2t+1，ab=t2+t，c2=(a+b)2?2ab=4t2+4t+1?2t2?2t=2t2+2t+1；s=(a+b+c)/2，r=S/s=ab/(a+b+c)=2?ab=2(a+b+c)；t2+t=2(2t+1+√(2t2+2t+1))，令u=√(2t2+2t+1)，則t2+t=4t+2+2u?t2?3t?2=2u；平方得(t2?3t?2)2=4(2t2+2t+1)?t??6t3+5t2+12t+4=8t2+8t+4?t??6t3?3t2+4t=0?t(t3?6t2?3t+4)=0；t=0不滿(mǎn)足ab>0，試根得t=?1使?1?6+3+4=0，故(t+1)為因式，分解得(t+1)(t2?7t+4)=0；t=?1時(shí)ab=0舍去，t=(7±√33)/2，驗(yàn)算t2?3t?2>0，取t=(7+√33)/2。7.在△ABC中，a,b為方程x2?12x+35=0的兩根，∠C=60°，求外接圓半徑R。答案：a+b=12，ab=35，c2=144?3·35=144?105=39?c=√39；由正弦定理c/sinC=2R?√39/(√3/2)=2R?R=√39/√3=√13。8.已知△ABC中，a,b為方程x2?(m+3)x+2m+2=0的兩根，∠C=120°，求m使面積S=4√3。答案：a+b=m+3，ab=2m+2，S=1/2absin120°=1/2·(2m+2)·√3/2=(m+1)√3/2=4√3?m+1=8?m=7；驗(yàn)證c2=(m+3)2?3(2m+2)=64?3·16=16?c=4，|a?b|2=(m+3)2?4(2m+2)=64?64=0，等邊成立。9.設(shè)△ABC中，a,b為方程x2?(p+q)x+pq=0的兩根，∠C=θ，且cosθ=(p2+q2?pq)/(2pq)，求c。答案：a+b=p+q，ab=pq，c2=(p+q)2?2pq·cosθ=(p+q)2?2pq·(p2+q2?pq)/(2pq)=(p+q)2?(p2+q2?pq)=p2+2pq+q2?p2?q2+pq=3pq?c=√(3pq)。10.已知△ABC中，a,b為方程x2?8x+15=0的兩根，∠C=45°，求高h(yuǎn)_c。答案：a+b=8，ab=15，c2=64?2·15·√2/2=64?15√2?c=√(64?15√2)；S=1/2absin45°=15√2/4，h_c=2S/c=15√2/2/√(64?15√2)=15√2/√(256?60√2)。三、邊角互化與幾何軌跡1.已知定點(diǎn)A(0,0)，B(6,0)，動(dòng)點(diǎn)C滿(mǎn)足∠ACB=60°，求C的軌跡方程。答案：由余弦定理AB2=AC2+BC2?2AC·BCcos60°?36=x2+y2+(x?6)2+y2?2√(x2+y2)√[(x?6)2+y2]·1/2；化簡(jiǎn)得(x2+y2?6x)2=36(x2+y2?6x+9)，展開(kāi)得(x2+y2?6x)2?36(x2+y2?6x)?324=0，令u=x2+y2?6x，則u2?36u?324=0?u=18±√(324+324)=18±18√2；取正得x2+y2?6x=18+18√2，即(x?3)2+y2=27+18√2，為圓。2.設(shè)A(?2,0)，B(2,0)，動(dòng)點(diǎn)C滿(mǎn)足a2+b2=2c2，求C的軌跡。答案：a=BC=√[(x?2)2+y2]，b=AC=√[(x+2)2+y2]，c=AB=4；條件?(x?2)2+y2+(x+2)2+y2=2·16?2x2+8+2y2=32?x2+y2=12，圓。3.已知A(0,0)，B(4,0)，C在直線(xiàn)x=2上，且∠ACB最大，求C坐標(biāo)。答案：設(shè)C(2,t)，tan∠ACB=|(t/2?t/2)/(1+t2/4)|=0，改用余弦：cosθ=(AC2+BC2?AB2)/(2AC·BC)=(4+t2+4+t2?16)/(2√(4+t2)2)=(2t2?8)/(2(4+t2))=(t2?4)/(t2+4)；令f(t)=(t2?4)/(t2+4)，求導(dǎo)得f′=16t/(t2+4)2，t=0時(shí)f=?1最大，θ=180°舍去；實(shí)際最大角對(duì)應(yīng)圓與直線(xiàn)相切，以AB為弦作圓與x=2切于(2,±2√3)，故C(2,±2√3)。4.設(shè)△ABC頂點(diǎn)A(0,0)，B(c,0)，C在圓x2+y2=a2上，且∠C=θ為定值，求c與θ關(guān)系。答案：由正弦定理c/sinθ=2R，而R=a，故c=2asinθ。5.已知A(1,1)，B(5,1)，動(dòng)點(diǎn)C滿(mǎn)足面積S=6，求C的軌跡。答案：底AB=4，高h(yuǎn)=3，故C在直線(xiàn)y=1±3，即y=4或y=?2。6.設(shè)A(0,0)，B(6,0)，C在拋物線(xiàn)y2=4x上，且∠ACB=90°，求C坐標(biāo)。答案：向量CA·CB=0?x(x?6)+y2=0?x2?6x+4x=0?x2?2x=0?x=0或2；x=0舍去，x=2?y2=8?y=±2√2，故C(2,±2√2)。7.已知A(0,0)，B(4,0)，C在橢圓x2/9+y2/4=1上，求∠ACB最大值。答案：參數(shù)化C(3cosθ,2sinθ)，cos∠ACB=(9cos2θ+4sin2θ?16)/(2√(9cos2θ+4sin2θ)√[(3cosθ?4)2+4sin2θ])；數(shù)值計(jì)算得θ=arccos(?1/3)時(shí)最大角≈109.47°。8.設(shè)A(0,0)，B(2,0)，C在圓(x?1)2+y2=1上，求a2+b2范圍。答案：a2=(x?2)2+y2，b2=x2+y2，a2+b2=2x2?4x+4+2y2，又(x?1)2+y2=1?x2+y2=2x，代入得2(2x)?4x+4=4，恒為4。9.已知A(0,0)，B(6,0)，C在雙曲線(xiàn)x2?y2=4上，且∠ACB=45°，求C坐標(biāo)。答案：同第3題方法，解方程組得C(√6,±√2)。10.設(shè)A(?3,0)，B(3,0)，C在直線(xiàn)y=x+1上，且內(nèi)切圓半徑r=2，求C坐標(biāo)。答案：設(shè)C(t,t+1)，s=(a+b+6)/2，S=1/2·6·|t+1|=3|t+1|，r=S/s=2?3|t+1|=2s，又s=(√[(t+3)2+(t+1)2]+√[(t?3)2+(t+1)2]+6)/2；數(shù)值解得t=±√7?1，故C(√7?1,√7)或(?√7?1,?√7)。四、邊角互化與最值問(wèn)題1.已知△ABC中，a+b=10，∠C=60°，求面積最大值。答案：S=1/2absin60°=√3/4ab，ab≤[(a+b)/2]2=25，當(dāng)a=b=5時(shí)取等，S_max=25√3/4。2.在△ABC中，a2+b2=100，∠C=45°，求c最小值。答案：c2=100?2abcos45°=100?√2ab，ab≤50，c2≥100?50√2?c_min=√(100?50√2)。3.設(shè)△ABC中，c=5，∠C=120°，求a+b最大值。答案：由余弦定理25=a2+b2+ab=(a+b)2?ab，令t=a+b，則ab≤t2/4?25≥t2?t2/4=3t2/4?t2≤100/3?t≤10√3/3。4.已知△ABC中，a+b+c=12，求面積最大時(shí)各邊長(zhǎng)。答案：等邊三角形面積最大，a=b=c=4，S=4√3。5.在△ABC中，a=6，∠A=60°，求b+c最大值。答案：由正弦定理b=2RsinB，c=2RsinC，R=a/(2sinA)=6/√3=2√3，b+c=2√3(sinB+sinC)，B+C=120°，sinB+sinC=2sin60°cos[(B?C)/2]≤2·√3/2·1=√3，故b