北京市東城171中2026屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．正方體中，E、F分別是與的中點(diǎn)，則直線ED與所成角的余弦值是（）A. B.C. D.2．已知拋物線C：，則過拋物線C的焦點(diǎn)，弦長為整數(shù)且不超過2022的直線的條數(shù)是（）A.4037 B.4044C.2019 D.20223．下列命題正確的是（）A.經(jīng)過三點(diǎn)確定一個(gè)平面B.經(jīng)過一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面C.四邊形確定一個(gè)平面D.兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線確定一個(gè)平面4．橢圓離心率是（）A. B.C. D.5．已知點(diǎn)，Q是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則線段長的最小值為（）A.3 B.4C.5 D.66．已知兩直線方程分別為l1：x＋y＝1，l2：ax＋2y＝0，若l1⊥l2，則a＝（）A2 B.－2C. D.7．命題“，都有”的否定為（）A.，使得 B.，使得C.，使得 D.，使得8．若數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）A. B.C. D.9．中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還．”其意思為：有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，請(qǐng)問第二天走了（）A192

里 B.96

里C.48

里 D.24

里10．若橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，則的值為（）A.5 B.3C.4 D.211．當(dāng)實(shí)數(shù)，m變化時(shí)，的最大值是（）A.3 B.4C.5 D.612．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，點(diǎn)在棱上，且，則與平面所成角的正弦值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知集合，，將中的所有元素按從大到小的順序排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，則數(shù)列的前n項(xiàng)和的最大值為___________.14．已知點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，已知=120°，且，則橢圓的離心率為___________.15．若圓C：與圓D2的公共弦長為，則圓D的半徑為___________.16．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓：的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，離心率.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓與直線相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B，線段AB的中點(diǎn)為M.若直線OM的斜率為-1，求線段AB的長；（3）如圖，設(shè)橢圓上一點(diǎn)R的橫坐標(biāo)為1（R在第一象限），過R作兩條不重合直線分別與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)、若直線PR與QR的傾斜角互補(bǔ)，求直線PQ的斜率的所有可能值組成的集合.18．（12分）已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，.（1）若數(shù)列中依次取出第2項(xiàng)，第4項(xiàng)，第6項(xiàng)，…，第項(xiàng)，按原來順序組成一個(gè)新數(shù)列，試求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．（12分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.20．（12分）設(shè)p：；q：關(guān)于x的方程無實(shí)根.（1）若q為真命題，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（2）若是假命題，且是真命題，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.21．（12分）設(shè)函數(shù)（1）求的值；（2）求的極大值22．（10分）求下列不等式的解集：（1）；（2）.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出E,F,D,D1點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量求法求解【詳解】如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長為2，則，,，,,直線與所成角的余弦值為：.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的求法，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】根據(jù)已知條件，結(jié)合拋物線的性質(zhì)，先求出過焦點(diǎn)的最短弦長，再結(jié)合拋物線的對(duì)稱性，即可求解【詳解】∵拋物線C：，即，由拋物線的性質(zhì)可得，過拋物線焦點(diǎn)中，長度最短的為垂直于y軸的那條弦，則過拋物線C的焦點(diǎn)，長度最短的弦的長為，由拋物線的對(duì)稱性可得，弦長在5到2022之間的有共有條，故弦長為整數(shù)且不超過2022的直線的條數(shù)是故選：A3、D【解析】由平面的基本性質(zhì)結(jié)合公理即可判斷.【詳解】對(duì)于A，過不在一條直線上三點(diǎn)才能確定一個(gè)平面，故A不正確；對(duì)于B，經(jīng)過一條直線和直線外一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面，故B不正確；對(duì)于C，空間四邊形不能確定一個(gè)平面，故C不正確；對(duì)于D，兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線確定一個(gè)平面，故D正確.故選：D4、C【解析】將方程轉(zhuǎn)化為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求得a，c，再由離心率公式求得答案.【詳解】解：由得，所以，則，所以橢圓的離心率，故選：C.5、A【解析】根據(jù)圓的幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)化為圓心與點(diǎn)的距離加上半徑即可得解.【詳解】圓的圓心為，半徑為，所以，圓上點(diǎn)在線段上時(shí)，，故選：A6、B【解析】直接利用直線垂直公式計(jì)算得到答案.【詳解】因?yàn)閘1⊥l2，所以k1k2＝－1，即-＝1，解得a＝－2.故選：【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)直線垂直計(jì)算參數(shù)，屬于簡單題.7、A【解析】根據(jù)命題的否定的定義判斷【詳解】全稱命題的否定是特稱命題，命題“，都有”的否定為：，使得故選：A8、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式直接得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以?shù)列是等差數(shù)列，公差為1，所以.故選：B9、B【解析】由題可得此人每天走的步數(shù)等比數(shù)列，根據(jù)求和公式求出首項(xiàng)可得.【詳解】由題意可知此人每天走的步數(shù)構(gòu)成為公比的等比數(shù)列，由題意和等比數(shù)列的求和公式可得，解得，第此人第二天走里.故選：B10、B【解析】由題意判斷橢圓焦點(diǎn)在軸上，則，解方程即可確定的值.【詳解】有題意知：焦點(diǎn)在軸上，則，從而，解得：.故選：B.11、D【解析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可知可以表示單位圓上點(diǎn)到直線的距離，利用圓的性質(zhì)結(jié)合圖形即得.【詳解】由題可知，可以表示單位圓上點(diǎn)到直線的距離，設(shè)，因直線，即表示恒過定點(diǎn)，根據(jù)圓的性質(zhì)可得.故選：D.12、C【解析】取AC的中點(diǎn)M，過點(diǎn)M作，且使得，進(jìn)而證明平面，然后判斷出是與平面所成的角，最后求出答案.【詳解】如圖，取AC的中點(diǎn)M，因?yàn)?，則，過點(diǎn)M作，且使得，則四邊形BDNM是平行四邊形，所以.由題意，平面ABC，則平面ABC，而平面ABC，所以，又，所以平面，而所以平面，連接DA,NA，則是與平面所成的角.而，于是，.故選：.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題意設(shè)，，根據(jù)可得，從而，即可得出答案.【詳解】設(shè)，由，得，由，得中的元素滿足，即，可得所以，由,所以所以，要使得數(shù)列的前n項(xiàng)和的最大值，即求出數(shù)列中所以滿足的項(xiàng)的和即可.即，得，則所以數(shù)列的前n項(xiàng)和的最大值為故答案為：147214、【解析】設(shè)，由余弦定理知，所以，故填.15、【解析】首先根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系得到公共弦方程，再根據(jù)弦長求解即可.【詳解】根據(jù)得公共弦方程為：.因?yàn)楣蚕议L為，所以直線過圓的圓心.所以，解得.故答案為：16、【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)已知條件求出的值，由此可得出的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，整理可得，，解得，因此，.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）；（3）.【解析】(1)根據(jù)給定條件求出橢圓長半軸長a即可計(jì)算得解.(2)將代入橢圓的方程，再結(jié)合給定條件求出k值即可計(jì)算出AB的長.(3)設(shè)出直線PR的方程，再與橢圓的方程聯(lián)立求出點(diǎn)P坐標(biāo)，同理可得點(diǎn)Q坐標(biāo)，計(jì)算PQ的斜率即可作答.【小問1詳解】依題意，橢圓的半焦距c=1，而，解得，則，所以橢圓的方程是：.【小問2詳解】由消去y并整理得：，解得，，于是得線段AB的中點(diǎn)，直線OM斜率為，解得，因此，，所以線段AB的長為.【小問3詳解】由(1)知，點(diǎn)，依題意，設(shè)直線PR的斜率為，直線PR方程為：，由消去y并整理得，，設(shè)點(diǎn)，則有，顯然直線QR的斜率為-t，設(shè)點(diǎn)，同理有，于是得直線PQ的斜率，所以直線PQ的斜率的所有可能值組成的集合.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種方法：①定義法：根據(jù)橢圓的定義，確定，的值，結(jié)合焦點(diǎn)位置可寫出橢圓方程②待定系數(shù)法：若焦點(diǎn)位置明確，則可設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合已知條件求出a，b；若焦點(diǎn)位置不明確，則需要分焦點(diǎn)在x軸上和y軸上兩種情況討論.18、（1），；（2）.【解析】(1)利用等差數(shù)列性質(zhì)求出數(shù)列公差及通項(xiàng)公式，由求解作答.(2)由(1)的結(jié)論求出，再用錯(cuò)位相減法計(jì)算作答.【小問1詳解】等差數(shù)列中，，解得，公差，則，因此，，依題意，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式，.【小問2詳解】由(1)知，，則，因此，，，所以.19、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)及題干條件，可求得，代入公式，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，利用裂項(xiàng)相消求和法，即可求得，即可得證.【詳解】解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，在中，令，得，即，故①.由得，所以②.由①②解得，.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.（2）由（1）可得，所以，故，所以.因?yàn)椋?【點(diǎn)睛】數(shù)列求和的常見方法：（1）倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)中首末兩端等距離的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和可以用倒序相加法；（2）錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和可以用錯(cuò)位相減法來求；（3）裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)，中間的一些項(xiàng)可相互抵消，從而求得其和；（4）分組轉(zhuǎn)化法：一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組轉(zhuǎn)換法分別求和再相加減；（5）并項(xiàng)求和法：一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和可以兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和，形如類型，可采用兩項(xiàng)合并求解.20、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)命題的真假，結(jié)合一元二次方程無實(shí)根，列出的不等式，即可求得結(jié)果；（2）求得命題為真對(duì)應(yīng)的的范圍，結(jié)合命題一個(gè)為真命題一個(gè)為假命題，即可列出的不等式組，求解即可.【小問1詳解】若q為真命題，則，解得，即實(shí)數(shù)k的取值范圍為.【小問2詳解】若p為真，，解得，由是假命題，且是真命題，得：p、q兩命題一真一假，當(dāng)p真q假時(shí)，或，得，