吉林省長(zhǎng)春汽車經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)第三中學(xué)2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題1．已知等比數(shù)列，則（

）A．14 B．32 C．16 D．542．若經(jīng)過兩點(diǎn)的直線傾斜角，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C．2 D．不存在3．已知直線和圓，則“”是“直線與圓相切”的（

）.A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．若數(shù)列{}的通項(xiàng)公式為，則數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為（

）A． B．C． D．5．若拋物線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為，則實(shí)數(shù)m的值為（

）A．2 B．3 C． D．36．雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，且的一條漸近線與直線平行，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．7．已知數(shù)列中，且，則（

）A． B． C． D．8．已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且，，則的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題9．設(shè)a為實(shí)數(shù)，直線，，則（

）A．當(dāng)時(shí)，不經(jīng)過第一象限 B．的充要條件是C．若，則或 D．恒過點(diǎn)10．圓和圓的交點(diǎn)為，，則有（）A．公共弦所在直線的方程為B．線段中垂線方程為C．公共弦的長(zhǎng)為D．為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則到直線距離的最大值為11．設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，若滿足，，，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．為遞減數(shù)列 B．C．當(dāng)時(shí)，最小 D．當(dāng)時(shí)，的最小值為4047三、填空題12．設(shè).已知方程表示的曲線是一個(gè)圓，則的取值范圍為.13．如圖，半橢圓與半橢圓組成的曲線稱為“果圓”，其中，，．“果圓”與軸的交點(diǎn)分別為、，若在“果圓”軸右側(cè)半橢圓方程為，則兩個(gè)半橢圓離心率的乘積為．14．將自然數(shù)，，，，按照如圖排列，我們將，，，稱為“拐彎數(shù)”，則第50個(gè)“拐彎數(shù)”是.四、解答題15．已知點(diǎn)，圓.(1)若過點(diǎn)的直線與圓相切，求直線的方程：(2)若直線與圓相交于兩點(diǎn)，弦的長(zhǎng)為2，求的值.16．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.17．已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的拋物線過點(diǎn)．(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)P作直線l與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線l的方程；(3)過點(diǎn)作直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，使得Q恰好平分線段AB，求直線AB的方程．18．已知數(shù)列滿足.(1)求；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求使的最小的正整數(shù)的值.19．已知橢圓C：的離心率為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4.(1)求橢圓C的方程；(2)過右焦點(diǎn)且傾斜角為的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的面積；(3)直線（為左頂點(diǎn)）與橢圓C交于點(diǎn)（異于頂點(diǎn)）與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，求直線的方程.參考答案1．B【詳解】由題意可知.故選：B2．A【詳解】由題意知，所以，所以，解得.故選：A.3．B【詳解】若直線與圓相切，則圓心到直線的距離，則，解得，所以“”是“直線與圓相切”的充分不必要條件.故選：B4．B【詳解】因?yàn)?，所?故選：B.5．C【詳解】由拋物線，可得，則焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為，根據(jù)拋物線的定義，可得點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，即，解得，所以，因?yàn)?，所?故選：C.6．A【詳解】由題意知，解得，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故選：A．7．D【詳解】由得：，又，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，，，，，故選：D．8．C【詳解】在橢圓中，由橢圓的定義可得，因?yàn)椋?，在中，，由余弦定理得，即所以所以的離心率.故選：C9．AB【詳解】對(duì)于A，若過第一象限的點(diǎn)，則，且，但故，矛盾，故不過第一象限，故A正確；對(duì)于B，若，則，故或，由直線可得，而當(dāng)時(shí)，兩條直線的方程分別為：，，此時(shí)兩條直線平行，符合，反之，也成立，故的充要條件為，故B正確；對(duì)于C，若，，故或，但不為零，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，直線可化為：，由可得，即直線過定點(diǎn)，故D錯(cuò)誤；故選：AB10．ABD【詳解】對(duì)于A，因?yàn)閳A，即，則圓心為，半徑，圓，即，則圓心為，半徑；又，則，所以兩圓相交，將兩式作差可得公共弦所在直線的方程為，即，故A正確；對(duì)于B，圓的圓心為，又，則線段中垂線的斜率為，即線段中垂線方程為，整理可得，故B正確；對(duì)于C，圓心到的距離為，又圓的半徑，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，為圓上一動(dòng)點(diǎn)，圓心到的距離為，又圓的半徑，所以到直線距離的最大值為，故D正確.故選：ABD.11．BC【詳解】A.由條件可知，，與同號(hào)，所以，則，而，則公比，若，數(shù)列單調(diào)遞減，則，那么，與已知矛盾，若，則，則那么，與已知矛盾，只有當(dāng)，才存在，使，所以等比數(shù)列單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；B.因?yàn)?，單調(diào)遞增，所以，則，即，故B正確；C.因?yàn)?，且，所以?dāng)時(shí)，最小，故C正確；D.根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可知，，，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為4046，故D錯(cuò)誤.故選：BC12．【詳解】因?yàn)?，變形得，所以，解?故答案為：.13．【詳解】因?yàn)檩S右側(cè)半橢圓方程為，則所對(duì)應(yīng)的離心率為；軸左側(cè)半橢圓方程為，則所對(duì)應(yīng)的橢圓的離心率為，所以兩個(gè)半橢圓離心率的乘積為.故答案為：14．1275【詳解】設(shè)數(shù)列，，，，……，故，利用疊加法：，，故.故答案為：1275.15．(1)；(2).【詳解】（1）由于，即在圓上，而圓心，則，所以過點(diǎn)的切線斜率為，故直線的方程為.（2）由，圓心，半徑為，則到的距離，又弦的長(zhǎng)為2，所以，可得.16．(1)(2)證明見解析【詳解】（1）在等差數(shù)列中，，則.又，所以該等差數(shù)列公差.故.所以，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）因?yàn)?，所以，則化簡(jiǎn)得.因?yàn)?，所以，?17．(1)(2)x＝2或(3)【詳解】（1）因?yàn)轫旤c(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的拋物線過點(diǎn)，所以拋物線的焦點(diǎn)在y軸正半軸，設(shè)其方程為，將點(diǎn)代入可得，所以，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，過點(diǎn)的直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線斜率為，直線方程為由得，直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，所以，解得，所以直線方程為綜上，過點(diǎn)與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)的直線方程為和；（3）設(shè)點(diǎn)，直線斜率為點(diǎn)在拋物線上，所以所以，即，所以直線方程為經(jīng)檢驗(yàn)，直線符合題意.18．(1)(2)(3)8【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，得，當(dāng)時(shí)，，得.（2）因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，兩式作差得，.所以當(dāng)時(shí)，.又當(dāng)時(shí)，，得，符合上式.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（3）由（2）知，.所以，，兩式相減得，所以.所以，所以單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以使的最小的正整數(shù)的值為8.19．(1)(2)，(3).【詳解