2026屆北京市西城區(qū)北京四中高二數(shù)學第一學期期末經(jīng)典試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，若，則（）A. B.0C.1 D.22．現(xiàn)有60瓶飲料，編號從1到60，若用系統(tǒng)抽樣的方法從中抽取6瓶進行檢驗，則所抽取的編號可能為（）A.3，13，23，33，43，53 B.2，14，26，38，40，52C.5，8，31，36，48，54 D.5，10，15，20，25，303．在四棱錐中，底面是正方形，為的中點，若，則（）A. B.C. D.4．如圖，空間四邊形OABC中，，，，點M在上，且滿足，點N為BC的中點，則（）A. B.C. D.5．已知雙曲線，且三個數(shù)1，，9成等比數(shù)列，則下列結(jié)論正確的是（）A.的焦距為 B.的漸近線方程為C.的離心率為 D.的虛軸長為6．已知，，若，則實數(shù)（）A. B.C.2 D.7．若，則的值為（）A.或 B.或C.1 D.－18．已知函數(shù)，在定義域內(nèi)任取一點，則使的概率是()A. B.C. D.9．命題“若，則”的逆命題、否命題、逆否命題中是真命題的個數(shù)為（）A.0個 B.1個C.2個 D.3個10．已知、，直線，，且，則的最小值為（）A. B.C. D.11．兩位同學課余玩一種類似于古代印度的“梵塔游戲”：有3個柱子甲、乙、丙，甲柱上有個盤子，最上面的兩個盤子大小相同，從第二個盤子往下大小不等，大的在下，小的在上（如圖）.把這個盤子從甲柱全部移到乙柱游戲結(jié)束，在移動的過程中每次只能移動一個盤子，甲、乙、丙柱都可以利用，且3個柱子上的盤子始終保持小的盤子不能放在大的盤子之下.設(shè)游戲結(jié)束需要移動的最少次數(shù)為，則當時，和滿足A. B.C. D.12．某中學的校友會為感謝學校的教育之恩，準備在學校修建一座四角攢尖的思源亭如圖它的上半部分的輪廓可近似看作一個正四棱錐，已知此正四棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角為30°，側(cè)棱長為米，則以下說法不正確（）A.底面邊長為6米 B.體積為立方米C.側(cè)面積為平方米 D.側(cè)棱與底面所成角的正弦值為二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．我國南北朝時期的數(shù)學家祖暅提出了一個原理“冪勢既同，則積不容異”，即夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等.現(xiàn)有某幾何體和一個圓錐滿足祖暅原理的條件，若該圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為2的半圓，則該幾何體的體積為________.14．若p：存在，使是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是______15．經(jīng)過點且與雙曲線有公共漸近線的雙曲線方程為_________16．在公差不為的等差數(shù)列中，，，成等比數(shù)列，數(shù)列的前項和為（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，且數(shù)列的前項和為，求三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在正四棱錐中，為底面中心，，為中點，（1）求證：平面；（2）求：（?。┲本€到平面的距離；（ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值18．（12分）已知等差數(shù)列中，，.（1）求的通項公式；（2）求的前項和的最大值.19．（12分）橢圓的離心率為，設(shè)為坐標原點，為橢圓的左頂點，動直線過線段的中點，且與橢圓相交于、兩點．已知當直線的傾斜角為時，（1）求橢圓的標準方程；（2）是否存在定直線，使得直線、分別與相交于、兩點，且點總在以線段為直徑的圓上，若存在，求出所有滿足條件的直線的方程；若不存在，請說明理由20．（12分）設(shè)，分別是橢圓（）的左、右焦點，E的離心率為.短軸長為2.（1）求橢圓E的方程：（2）過點的直線l交橢圓E于A，B兩點，是否存在實數(shù)t，使得恒成立？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由.21．（12分）已知圓M經(jīng)過原點和點，且它的圓心M在直線上.（1）求圓M的方程；（2）若點D為圓M上的動點，定點，求線段CD的中點P的軌跡方程.22．（10分）已知A，B兩地相距200km，某船從A地逆水到B地，水速為8km/h，船在靜水中的速度為vkm/h（v＞8）．若船每小時的燃料費與其在靜水中速度的平方成正比，比例系數(shù)為k，當v＝12km/h，每小時的燃料費為720元（1）求比例系數(shù)k（2）當時，為了使全程燃料費最省，船的實際前進速度應(yīng)為多少？（3）當（x為大于8的常數(shù)）時，為了使全程燃料費最省，船的實際前進速度應(yīng)為多少？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，直接代入即可求值.【詳解】因為，所以，所以，所以.故選：D.2、A【解析】求得組距，由此確定正確選項.【詳解】，即組距為，A選項符合，其它選項不符合.故選：A3、C【解析】由為的中點，根據(jù)向量的運算法則，可得，即可求解.【詳解】由底面是正方形，E為的中點，且，根據(jù)向量的運算法則，可得.故選：C.4、B【解析】由空間向量的線性運算求解【詳解】由題意，又，，，∴,故選：B5、D【解析】先求得的值，然后根據(jù)雙曲線的知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】方程表示雙曲線，則，成等比數(shù)列，則，所以雙曲線方程為，所以，故雙曲線的焦距為，A選項錯誤.漸近線方程為，B選項錯誤.離心率，C選項錯誤.虛軸長，D選項正確.故選：D6、D【解析】根據(jù)給定條件利用空間向量平行的坐標表示計算作答.【詳解】因，，又，則，解得，所以實數(shù).故選：D7、B【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由方程求解即可.【詳解】，，解得或，故選：B8、A【解析】解不等式，根據(jù)與長度有關(guān)的幾何概型即可求解.【詳解】由題意得，即，由幾何概型得，在定義域內(nèi)任取一點，使的概率是.故選：A.9、B【解析】先判斷出原命題和逆命題的真假，進而根據(jù)互為逆否的兩個命題同真或同假最終得到答案.【詳解】“若a=0，則ab=0”，命題為真，則其逆否命題也為真；逆命題為：“若ab=0，則a=0”，顯然a=1，b=0時滿足ab=0，但a≠0，即逆命題為假，則否命題也為假.故選：B.10、D【解析】先由，可得，變形得，所以，化簡后利用基本不等式求解即可【詳解】因為、，直線，，且，所以，即，所以，所以，所以，當且僅當，即時，取等號，所以的最小值為，故選：D11、C【解析】通過寫出幾項，尋找規(guī)律，即可得到和滿足的遞推公式.【詳解】若甲柱有個盤，甲柱上的盤從上往下設(shè)為，其中，，當時，將移到乙柱，只移動1次；當時，將移到乙柱，將移到乙柱，移動2次；當時，將移到丙柱，將移到丙柱，將移到乙柱，再將移到乙柱，將移到乙柱，；當時，將上面的3個移到丙柱，共次，然后將移到乙柱，再將丙柱的3個移到乙柱，共次，所以次；當時，將上面的4個移到丙柱，共次，然后將移到乙柱，再將丙柱的4個移到乙柱，共次，所以次；……以此類推，可知，故選.【點睛】主要考查了數(shù)列遞推公式的求解，屬于中檔題.這類型題的關(guān)鍵是寫出幾項，尋找規(guī)律，從而得到對應(yīng)的遞推公式.12、D【解析】連接底面正方形的對角線交于點，連接，則為該正四棱錐的高，即平面，取的中點，連接，則的大小為側(cè)面與底面所成，設(shè)正方形的邊長為，求出該正四棱錐的底面邊長，斜高和高，然后對選項進行逐一判斷即可.【詳解】連接底面正方形的對角線交于點，連接則為該正四棱錐的高，即平面取的中點，連接，由正四棱錐的性質(zhì)，可得由分別為的中點，所以，則所以為二面角的平面角，由條件可得設(shè)正方形的邊長為，則,又則,解得故選項A正確.所以,則該正四棱錐的體積為，故選項B正確.該正四棱錐的側(cè)面積為，故選項C正確.由題意為側(cè)棱與底面所成角，則，故選項D不正確.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為2的半圓，由，求得底面半徑，進而得到高，再利用錐體的體積公式求解.【詳解】設(shè)圓錐的母線長為l，高為h，底面半徑為r，因為圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為2的半圓，所以，解得，所以，所以圓錐的體積為：，故該幾何體的體積為，故答案為：14、【解析】將問題分離參數(shù)得到存在，使成立，可得結(jié)論.【詳解】存在，使，即存在，使，所以故答案為：15、【解析】由題意設(shè)所求雙曲線的方程為，∵點在雙曲線上，∴，∴所求的雙曲線方程為，即答案：16、（1）（2）【解析】（1）由解出，再由前項和為55求得，由等差數(shù)列通項公式即可求解；（2）先求出，再由裂項相消求和即可.【小問1詳解】設(shè)公差為，由，，成等比數(shù)列，可得，即有，整理得，數(shù)列的前項和為55，可得，解得1，1，則；【小問2詳解】，則三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）（i）；（ii）.【解析】（1）連接，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可證得結(jié)論成立；（2）（i）利用空間向量法可求得直線到平面的距離；（ii）利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】證明：連接，則為的中點，且，在正四棱錐中，平面，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示空間直角坐標系，則、、、、、、、，，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，則，因為，則，又因為平面，所以，平面.【小問2詳解】解：（i），所以，直線到平面的距離為.（ii），則，因此，直線與平面所成角的正弦值為.18、（1）；（2）30.【解析】（1）設(shè)出等差數(shù)列的公差，由已知列式求得公差，進一步求出首項，代入等差數(shù)列的通項公式求數(shù)列的通項公式；（2）利用等差數(shù)列求和公式求和,再利用二次函數(shù)求得最值即可.【詳解】解：（1）由題意得，數(shù)列公差為，則解得：,∴（2）由（1）可得，∴∵，∴當或時，取得最大值【點睛】本題考查利用基本量求解等差數(shù)列的通項公式，以及前n項和及最值，屬基礎(chǔ)題19、（1）（2）存在，且直線的方程為或【解析】（1）分析可知，，直線的方程為，設(shè)點、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理，利用弦長公式可求得的值，即可得出橢圓的標準方程；（2）設(shè)點、，設(shè)直線的方程為，將該直線方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理，求出點、，由已知得出，求出的值，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：因為，則，，所以，橢圓的方程為，即，易知點，則點，當直線的傾斜角為時，直線的方程為，設(shè)點、，聯(lián)立，可得，，由韋達定理可得，，所以，，解得，則，，因此，橢圓的標準方程為.【小問2詳解】解：易知點，若直線與軸重合，則、為橢圓長軸的兩個端點，不合乎題意.設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，聯(lián)立，可得，，由韋達定理可得，，直線的斜率為，直線的方程為，故點，同理可得點，，，由題意可得，解得或.因此，存在滿足題設(shè)條件的直線，且直線的方程為或，點總在以線段為直徑的圓上.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.20、（1）（2）存在，【解析】(1)由條件列出，，的方程，解方程求出，，，由此可得橢圓E的方程：(2)當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線的方程與橢圓方程化簡可得，設(shè)，，可得，，由此證明，再證明當直線的斜率不存在時也成立，由此確定存在實數(shù)t，使得恒成立【小問1詳解】由已知得，離心率，所以，故橢圓E的方程為.【小問2詳解】當直線l的斜率存在時，設(shè)，，，聯(lián)立方程組得，，所以，..，，所以.所以.當直線l的斜率不存在時，，聯(lián)立方程組，得，.，，所以.綜上，存在實數(shù)使得恒成立.【點睛】(1)解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系(2)涉及到直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．21、（1）.（2）.【解析】（1）設(shè)圓M的方程為，由已知條件建立方程組，求解即可；（2）設(shè)，，依題意得.代入圓M的方程可得點P的軌跡方程.【小問1詳解】解：設(shè)圓M的方程為，則圓心依題意得，解得.所以圓M的方程為.【小問2詳解】解：設(shè)，，依題意得，得.點為圓M上的動點，得，化簡得P的軌跡方程為.22、（1）5（2）8km/h（3）答案見解析【解析】（1）列出關(guān)系式，根據(jù)當v＝12km/h，每小時的燃料費為720元即可求解;（2）列出燃料費的函數(shù)解析式，利用導(dǎo)數(shù)求其最值即可；（3）討論x的范圍，結(jié)合（2）的結(jié)論可得答案.【小問1詳解】設(shè)每小時的燃料費為，則當v＝12km/h，每小時