天津市北辰區(qū)2026屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末預(yù)測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．正方體ABCD－A1B1C1D1中，異面直線所成的角等于()A.30° B.45°C.60° D.90°2．函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為A. B.C. D.3．若＝＝＝1，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A.a＞b＞c B.b＞a＞cC.a＞c＞b D.b＞c＞a4．為了給地球減負(fù)，提高資源利用率，2020年全國(guó)掀起了垃圾分類的熱潮，垃圾分類已經(jīng)成為新時(shí)尚．假設(shè)某市2020年全年用于垃圾分類的資金為3000萬(wàn)元，在此基礎(chǔ)上，以后每年投入的資金比上一年增長(zhǎng)20%，則該市全年用于垃圾分類的資金開(kāi)始超過(guò)1億元的年份是（參考數(shù)據(jù)：，，）（）A2026年 B.2027年C.2028年 D.2029年5．已知函數(shù)的圖象與直線有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.6．已知函數(shù)是上的增函數(shù)（其中且），則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.7．函數(shù)y=ax﹣2+1（a＞0且a≠1）的圖象必經(jīng)過(guò)點(diǎn)A.（0，1） B.（1，1）C.（2，0） D.（2，2）8．已知，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.9．的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間為（）A. B.C. D.10．設(shè)函數(shù)，，則是（）A.最小正周期為的偶函數(shù) B.最小正周期為的奇函數(shù)C.最小正周期為的偶函數(shù) D.最小正周期為的奇函數(shù)二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，且，則=_______________.12．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為_(kāi)____________13．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)和之間的距離為_(kāi)___________.14．在平面內(nèi)將點(diǎn)繞原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_________15．如圖是某個(gè)鐵質(zhì)幾何體的三視圖，其中每個(gè)小正方形格子的邊長(zhǎng)均為個(gè)長(zhǎng)度單位，將該鐵質(zhì)幾何體熔化，制成一個(gè)大鐵球，如果在熔制過(guò)程中材料沒(méi)有損耗，則大鐵球的表面積為_(kāi)______________________.16．，的定義域?yàn)開(kāi)___________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（1）已知：，若是第四象限角，求，的值；（2）已知，求的值.18．已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P滿足若點(diǎn)P為曲線C，求此曲線的方程；已知直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，且與中的曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線l的方程19．某快遞公司在某市的貨物轉(zhuǎn)運(yùn)中心，擬引進(jìn)智能機(jī)器人分揀系統(tǒng)，以提高分揀效率和降低物流成本，已知購(gòu)買x臺(tái)機(jī)器人的總成本萬(wàn)元.（1）若使每臺(tái)機(jī)器人的平均成本最低，問(wèn)應(yīng)買多少臺(tái)？（2）現(xiàn)按（1）中的數(shù)量購(gòu)買機(jī)器人，需要安排m人將郵件放在機(jī)器人上，機(jī)器人將郵件送達(dá)指定落袋格口完成分揀，經(jīng)實(shí)驗(yàn)知，每臺(tái)機(jī)器人的日平均分揀量（單位：件），已知傳統(tǒng)人工分揀每人每日的平均分揀量為1200件，問(wèn)引進(jìn)機(jī)器人后，日平均分揀量達(dá)最大值時(shí)，用人數(shù)量比引進(jìn)機(jī)器人前的用人數(shù)量最多可減少多少？20．回答下列各題（1）求值：（2）解關(guān)于的不等式：（其中）21．如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長(zhǎng)2的正方形，E，F(xiàn)分別為線段DD1，BD的中點(diǎn)（1）求證：EF∥平面ABD1；（2）AA1=，求異面直線EF與BC所成角的正弦值

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】在正方體中，連接，則，則異面直線和所成的角就是相交直線和所成的角，即，在等邊三角形中，，故選C2、B【解析】略【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)遞增，且x=3,y>0,x=1,y<0，所以零點(diǎn)個(gè)數(shù)為13、D【解析】由求出的值，由求得的值，由＝1求得的值，從而可得答案【詳解】由，可得故，由，可得，故，由，可得，故，故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)數(shù)的定義，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4、B【解析】設(shè)經(jīng)過(guò)年之后，投入資金為萬(wàn)元，根據(jù)題意列出與的關(guān)系式；1億元轉(zhuǎn)化為萬(wàn)元，令，結(jié)合參考數(shù)據(jù)即可求出的范圍，從而判斷出選項(xiàng).【詳解】設(shè)經(jīng)過(guò)年之后，投入資金為萬(wàn)元，則，由題意可得：，即，所以，即，又因?yàn)?，所以，即?027年開(kāi)始該市全年用于垃圾分類的資金超過(guò)1億元.故選：B5、D【解析】作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象即可求出的取值范圍.【詳解】作函數(shù)和的圖象，如圖所示，可知的取值范圍是，故選D．6、D【解析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)的性質(zhì)判斷的初步取值范圍，再由整體的單調(diào)性建立不等式，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求解不等式，從求得的取值范圍.【詳解】由題意必有，可得，且，整理為．令由換底公式有，由函數(shù)為增函數(shù)，可得函數(shù)為增函數(shù)，注意到，所以由，得，即，實(shí)數(shù)a的取值范圍為故選:D.7、D【解析】根據(jù)a0=1（a≠0）時(shí)恒成立，我們令函數(shù)y=ax﹣2+1解析式中的指數(shù)部分為0，即可得到函數(shù)y=ax﹣2+1（a＞0且a≠1）的圖象恒過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)解：∵當(dāng)X=2時(shí)y=ax﹣2+1=2恒成立故函數(shù)y=ax﹣2+1（a＞0且a≠1）的圖象必經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，2）故選D考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)8、B【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得答案.【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，，即，即c＞1，由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，即．所以c＞a＞b故選：B9、A【解析】根據(jù)零點(diǎn)存在性定理分析判斷即可【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)?，，所以，所以的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間為，故選：A10、D【解析】通過(guò)誘導(dǎo)公式，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得結(jié)果.【詳解】，所以，，所以則是最小正周期為的奇函數(shù)，故選：D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】由同角三角函數(shù)關(guān)系求出，最后利用求解即可.【詳解】由，且得則，則.故答案為：.12、【解析】先求出函數(shù)的定義域，再利用求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法求解即得.【詳解】依題意，由得：或，即函數(shù)的定義域是，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而在上單調(diào)遞增，于是得在是單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故答案為：13、【解析】利用空間兩點(diǎn)間的距離公式求解.【詳解】由空間直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間距離公式可得.故答案為：14、【解析】由條件可得與x軸正向的夾角為，故與x軸正向的夾角為設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為，則，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為答案：15、【解析】由已知得該鐵質(zhì)幾何體是由一個(gè)小鐵球和一個(gè)鐵質(zhì)圓錐體拼接而成，根據(jù)圓錐和球體的體積公式可得答案.【詳解】該鐵質(zhì)幾何體是由一個(gè)小鐵球和一個(gè)鐵質(zhì)圓錐體拼接而成，體積之和為，設(shè)制成的大鐵球半徑為，則，得，故大鐵球的表面積為.故答案為：.16、【解析】由，根據(jù)余弦函數(shù)在的圖象可求得結(jié)果.【詳解】由得：，又，，即的定義域?yàn)?故答案為：.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），；（2）【解析】（1）由同角間的三角函數(shù)關(guān)系計(jì)算；（2）弦化切后代入計(jì)算【詳解】（1）因?yàn)?，若是第四象限角，所以，；?），則18、（1）（2）或【解析】設(shè)，由動(dòng)點(diǎn)P滿足，列出方程，即可求出曲線C的方程設(shè)直線l在坐標(biāo)軸上的截距為a，當(dāng)時(shí)，直線l與曲線C有兩個(gè)公共點(diǎn)，已知矛盾；當(dāng)時(shí)，直線方程與圓的方程聯(lián)立方程組，根據(jù)由直線l與曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)，即可求出直線l的方程【詳解】設(shè)，點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P滿足，整理得：，曲線C方程為設(shè)直線l的橫截距為a，則直線l的縱截距也為a，當(dāng)時(shí)，直線l過(guò)，設(shè)直線方程為把代入曲線C的方程，得：，，直線l與曲線C有兩個(gè)公共點(diǎn)，已知矛盾；當(dāng)時(shí)，直線方程為，把代入曲線C的方程，得：，直線l與曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)，，解得，直線l的方程為或【點(diǎn)睛】本題主要考查了曲線軌跡方程的求法，以及直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中熟記直接法求軌跡的方法，以及合理使用直線與圓的位置關(guān)系是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題19、（1）300臺(tái)；（2）90人.【解析】（1）每臺(tái)機(jī)器人的平均成本為，化簡(jiǎn)后利用基本不等式求最小值；（2）由（1）可知，引進(jìn)300臺(tái)機(jī)器人，并根據(jù)分段函數(shù)求300臺(tái)機(jī)器人日分揀量的最大值，根據(jù)最大值求若人工分揀，所需人數(shù)，再與30作差求解.【詳解】（1）由總成本，可得每臺(tái)機(jī)器人的平均成本.因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.∴若使每臺(tái)機(jī)器人的平均成本最低，則應(yīng)買300臺(tái).（2）引進(jìn)機(jī)器人后，每臺(tái)機(jī)器人的日平均分揀量為：當(dāng)時(shí)，300臺(tái)機(jī)器人的日平均分揀量為∴當(dāng)時(shí)，日平均分揀量有最大值144000.當(dāng)時(shí)，日平均分揀量為∴300臺(tái)機(jī)器人的日平均分揀量的最大值為144000件.若傳統(tǒng)人工分揀144000件，則需要人數(shù)為（人）.∴日平均分揀量達(dá)最大值時(shí)，用人數(shù)量比引進(jìn)機(jī)器人前的用人數(shù)量最多可減少（人）.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是理解題意，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題抽象出函數(shù)關(guān)系，并會(huì)求最值，本題最關(guān)鍵的一點(diǎn)時(shí)會(huì)求的最大值.20、（1）2；（2）.【解析】（1）根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可；（2）不等式化為，根據(jù)不等式對(duì)應(yīng)方程的兩根寫出不等式的解集【詳解】（1）（2）不等式可化為，不等式對(duì)應(yīng)方程的兩根為，，且（其中）；所以原不等式的解集為21、（1）證明過(guò)程詳見(jiàn)解析（2）【解析】(1)先證明EF∥D1B，即證EF∥平面ABD1.(2)先證明∠D1BC是異面直線EF與BC所成的角（或所成角的補(bǔ)角），再解三角形求其正弦值.【詳解】（1）證明：連結(jié)BD1，在△DD1B中，E、F分別是D1D、DB的中點(diǎn)，∴EF是△DD1B的中位線，∴EF∥D1B，∵D1B?平面ABC1D1，EF