一、從生活到數(shù)學(xué)：位似圖形的概念建構(gòu)演講人從生活到數(shù)學(xué)：位似圖形的概念建構(gòu)壹抽絲剝繭：位似圖形的性質(zhì)探究貳實(shí)操為王：位似圖形放大縮小的作圖步驟叁從錯(cuò)誤中成長(zhǎng)：常見問題與應(yīng)對(duì)策略肆數(shù)學(xué)與生活：位似作圖的實(shí)際應(yīng)用伍總結(jié)與升華：位似圖形的核心價(jià)值陸目錄應(yīng)用價(jià)值：工程、設(shè)計(jì)、信息技術(shù)、藝術(shù)柒2025九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)位似圖形放大縮小作圖課件各位同學(xué)、同仁，今天我們共同走進(jìn)“位似圖形放大縮小作圖”的學(xué)習(xí)。作為初中幾何中“圖形的變化”模塊的核心內(nèi)容之一，位似不僅是相似圖形的特殊形式，更是連接數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際應(yīng)用的重要橋梁。無論是地圖的縮放、工程圖紙的繪制，還是攝影中的構(gòu)圖調(diào)整，位似變換都在其中扮演著關(guān)鍵角色。接下來，我將以“概念認(rèn)知—性質(zhì)探究—作圖實(shí)踐—應(yīng)用拓展”為主線，帶大家系統(tǒng)掌握這一知識(shí)。01從生活到數(shù)學(xué)：位似圖形的概念建構(gòu)1生活中的“縮放”現(xiàn)象：位似的直觀感知記得去年帶學(xué)生參觀城市規(guī)劃館時(shí)，大家圍在縮微城市模型前驚嘆：“這和真實(shí)的城市布局一模一樣，就是小了好多！”模型與實(shí)際建筑之間，不僅形狀相同，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線都相交于一點(diǎn)——規(guī)劃師手中的“縮放中心點(diǎn)”。類似的例子還有：用放大鏡看報(bào)紙時(shí)，字與原字的對(duì)應(yīng)筆畫延長(zhǎng)線交于放大鏡的光心；地圖上的地標(biāo)與實(shí)際地點(diǎn)的連線匯聚于地圖的原點(diǎn)。這些現(xiàn)象的本質(zhì)，就是數(shù)學(xué)中的“位似變換”。2從相似到位似：概念的嚴(yán)謹(jǐn)定義我們已經(jīng)學(xué)過相似圖形：形狀相同、大小不一定相同的圖形。而位似圖形是相似圖形的“升級(jí)版”——如果兩個(gè)圖形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行（或在同一直線上），那么這兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)交點(diǎn)叫做位似中心，相似比叫做位似比。這里需要特別注意三個(gè)關(guān)鍵詞：對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連線共點(diǎn)：這是位似區(qū)別于一般相似的核心特征，所有對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線必須交于同一點(diǎn)（位似中心）；對(duì)應(yīng)邊平行或共線：這保證了圖形在縮放過程中方向不變或完全相反（反向位似時(shí)對(duì)應(yīng)邊方向相反）；2從相似到位似：概念的嚴(yán)謹(jǐn)定義位似比的雙向性：若圖形A與圖形B的位似比為k，則圖形B與圖形A的位似比為1/k，k>0時(shí)為同向位似（對(duì)應(yīng)點(diǎn)在位似中心同側(cè)），k<0時(shí)為反向位似（對(duì)應(yīng)點(diǎn)在位似中心異側(cè)）。3位似與相似的關(guān)系辨析為了幫助大家清晰區(qū)分，我整理了一張對(duì)比表：|特征|相似圖形|位似圖形||---------------------|------------------------|--------------------------||形狀關(guān)系|形狀相同|形狀相同（特殊相似）||位置關(guān)系|無必然聯(lián)系|對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連線共點(diǎn)||對(duì)應(yīng)邊關(guān)系|無必然聯(lián)系|平行或共線||變換本質(zhì)|僅縮放/旋轉(zhuǎn)/平移等組合|縮放+中心輻射（位似變換）|通過這張表可以看出，位似是相似的“強(qiáng)約束版本”，其特殊的位置關(guān)系使得作圖更具規(guī)律性，也更便于實(shí)際應(yīng)用。02抽絲剝繭：位似圖形的性質(zhì)探究1核心性質(zhì)：從“點(diǎn)-線-形”逐層分析位似圖形的性質(zhì)可從三個(gè)層次理解：1核心性質(zhì)：從“點(diǎn)-線-形”逐層分析1.1點(diǎn)的性質(zhì)任意一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)與位似中心共線，且到位似中心的距離比等于位似比。例如，若位似中心為O，圖形A的頂點(diǎn)P對(duì)應(yīng)圖形B的頂點(diǎn)P'，則O、P、P'三點(diǎn)共線，且OP'/OP=|k|（k為位似比）。這是作圖時(shí)確定對(duì)應(yīng)點(diǎn)的根本依據(jù)。1核心性質(zhì)：從“點(diǎn)-線-形”逐層分析1.2線的性質(zhì)對(duì)應(yīng)邊平行（或共線），且長(zhǎng)度比等于位似比。以三角形ABC與位似圖形A'B'C'為例，若位似比為2，則AB∥A'B'（或共線），且A'B'=2AB。這一性質(zhì)在驗(yàn)證作圖正確性時(shí)非常有用——完成作圖后，可通過測(cè)量對(duì)應(yīng)邊是否平行、長(zhǎng)度比是否符合位似比來檢驗(yàn)。1核心性質(zhì)：從“點(diǎn)-線-形”逐層分析1.3形的性質(zhì)位似圖形的周長(zhǎng)比等于位似比，面積比等于位似比的平方。這與相似圖形的性質(zhì)一致，但由于位似的“共點(diǎn)”特性，其周長(zhǎng)和面積的變化更易通過位似中心與各頂點(diǎn)的距離關(guān)系推導(dǎo)（后續(xù)拓展部分會(huì)詳細(xì)演示）。2位似中心的位置分類位似中心的位置會(huì)影響圖形的縮放方向和視覺效果，常見的有三種情況：位似中心在圖形外：這是最常見的情況，如地圖與實(shí)際地點(diǎn)的位似中心通常在地圖外（如坐標(biāo)原點(diǎn)）。此時(shí)縮放后的圖形與原圖形分別位于位似中心兩側(cè)（反向位似）或同側(cè)（同向位似）。位似中心在圖形邊上：例如，以三角形的一個(gè)頂點(diǎn)為位似中心放大圖形，此時(shí)該頂點(diǎn)是自身的對(duì)應(yīng)點(diǎn)（即位似中心與該頂點(diǎn)重合），其他頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分布在從該頂點(diǎn)出發(fā)的射線上。位似中心在圖形內(nèi)部：如以正方形中心為位似中心縮小圖形，縮放后的圖形會(huì)完全包含在原圖形內(nèi)部，各對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線穿過中心。03實(shí)操為王：位似圖形放大縮小的作圖步驟實(shí)操為王：位似圖形放大縮小的作圖步驟3.1作圖的核心邏輯：“定中心-選比例-找點(diǎn)-連線”位似作圖的本質(zhì)是根據(jù)位似中心和位似比，確定每個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)得到縮放后的圖形。具體可分為四個(gè)步驟：1.1步驟一：確定位似中心位似中心可以是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，通常根據(jù)題目要求或?qū)嶋H需求選擇。例如：題目指定“以點(diǎn)O為位似中心”時(shí)，直接使用O；未指定時(shí)，可選擇圖形外的點(diǎn)（便于觀察）或圖形頂點(diǎn)（簡(jiǎn)化計(jì)算）。教學(xué)提示：初次作圖時(shí)，建議學(xué)生用鉛筆輕標(biāo)記位似中心，并在圖旁標(biāo)注“位似中心O”，避免后續(xù)步驟混淆。1.2步驟二：確定位似比位似比k決定了圖形的縮放程度：k>1時(shí)為放大（如k=2，圖形放大為原來的2倍）；0<k<1時(shí)為縮小（如k=1/2，圖形縮小為原來的1/2）；k<0時(shí)為反向位似（如k=-2，圖形放大2倍且方向相反，對(duì)應(yīng)點(diǎn)在位似中心異側(cè)）。易錯(cuò)提醒：部分同學(xué)會(huì)混淆“位似比”與“原圖與新圖的比例”。例如，若題目要求“將圖形放大為原來的3倍”，則位似比k=3（新圖/原圖=3）；若要求“縮小為原來的1/3”，則k=1/3。1.3步驟三：確定各頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)以四邊形ABCD為例，位似中心為O，位似比為k，具體操作如下（以同向位似k>0為例）：連接OA、OB、OC、OD，得到從O出發(fā)的四條射線；在射線OA上取點(diǎn)A'，使OA'/OA=k（若k>1，A'在OA延長(zhǎng)線上；若0<k<1，A'在O與A之間）；同理，在OB、OC、OD上取點(diǎn)B'、C'、D'，使OB'/OB=OC'/OC=OD'/OD=k；驗(yàn)證：檢查A'、B'、C'、D'是否在對(duì)應(yīng)射線上，距離比是否準(zhǔn)確。工具使用：作圖時(shí)需用直尺畫射線，用圓規(guī)截取長(zhǎng)度（或用刻度直尺測(cè)量）。例如，若OA=3cm，k=2，則OA'=6cm，需從O出發(fā)沿OA方向量取6cm得到A'。1.4步驟四：連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)成圖依次連接A'、B'、C'、D'，得到四邊形A'B'C'D'，即為原圖形的位似圖形。01驗(yàn)證方法：檢查對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連線是否共點(diǎn)于O；測(cè)量對(duì)應(yīng)邊是否平行（或共線），長(zhǎng)度比是否等于k；計(jì)算周長(zhǎng)比和面積比是否符合k和k2（可選，用于進(jìn)階驗(yàn)證）。020304051.4步驟四：連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)成圖2典型案例演示：不同場(chǎng)景下的作圖示范為幫助大家掌握細(xì)節(jié)，我以“將△ABC以點(diǎn)O為位似中心放大2倍”為例，分三種情況演示：案例1：位似中心O在△ABC外（同向位似）操作：連接OA并延長(zhǎng)至A'，使OA'=2OA；同理得B'、C'；連接A'B'、B'C'、C'A'。結(jié)果：△A'B'C'與△ABC位于O的同側(cè)，對(duì)應(yīng)邊平行，周長(zhǎng)為原三角形的2倍。案例2：位似中心O在△ABC的頂點(diǎn)A處（反向位似，k=-2）操作：以A為O，連接AB并反向延長(zhǎng)至B'，使AB'=2AB（方向與AB相反）；連接AC并反向延長(zhǎng)至C'，使AC'=2AC；連接B'C'。1.4步驟四：連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)成圖2典型案例演示：不同場(chǎng)景下的作圖示范結(jié)果：△AB'C'以A為公共頂點(diǎn)，B'、C'在A的另一側(cè)，對(duì)應(yīng)邊AB'與AB方向相反，長(zhǎng)度為2倍。案例3：位似中心O在△ABC內(nèi)部（縮小，k=1/2）操作：連接OA、OB、OC，在OA上取A'使OA'=1/2OA（O與A之間）；同理得B'、C'；連接A'B'C'。結(jié)果：△A'B'C'完全包含在△ABC內(nèi)部，各邊與原邊平行，面積為原三角形的1/4。04從錯(cuò)誤中成長(zhǎng)：常見問題與應(yīng)對(duì)策略1學(xué)生易犯錯(cuò)誤歸類在多年教學(xué)中，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生作圖時(shí)常見以下問題：01對(duì)應(yīng)點(diǎn)方向錯(cuò)誤：反向位似時(shí)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)應(yīng)在位似中心異側(cè)，但學(xué)生可能誤畫在同側(cè)；03連線不規(guī)范：對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連線未經(jīng)過位似中心，或用曲線代替直線，導(dǎo)致圖形不位似。05位似中心定位錯(cuò)誤：未明確題目要求的位似中心，或作圖時(shí)隨意更改中心位置；02長(zhǎng)度比例計(jì)算錯(cuò)誤：將位似比k理解為“原圖長(zhǎng)度/新圖長(zhǎng)度”，導(dǎo)致縮放方向相反（如k=2時(shí)縮小而非放大）；042針對(duì)性解決策略231強(qiáng)化概念記憶：通過“三問法”檢查作圖：“對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線是否過中心？”“對(duì)應(yīng)邊是否平行？”“長(zhǎng)度比是否等于k？”分步練習(xí)：先練習(xí)固定位似中心（如坐標(biāo)原點(diǎn)）的作圖，再過渡到任意中心；先練習(xí)同向位似（k>0），再學(xué)習(xí)反向位似（k<0）。工具使用訓(xùn)練：強(qiáng)調(diào)直尺畫射線、圓規(guī)截取長(zhǎng)度的規(guī)范性，避免目測(cè)導(dǎo)致的誤差。05數(shù)學(xué)與生活：位似作圖的實(shí)際應(yīng)用1工程與設(shè)計(jì)中的位似在建筑設(shè)計(jì)中，設(shè)計(jì)師常用位似變換將初步草圖放大為施工圖紙。例如，某小區(qū)景觀設(shè)計(jì)圖中，中心花壇的平面圖是一個(gè)五邊形，位似比為1:100，施工時(shí)需將每個(gè)頂點(diǎn)按位似中心（圖紙?jiān)c(diǎn)）放大100倍，確保實(shí)際花壇與設(shè)計(jì)圖形狀一致。2信息技術(shù)中的位似屏幕顯示技術(shù)中的“縮放功能”本質(zhì)就是位似變換。當(dāng)我們用手指在手機(jī)屏幕上放大圖片時(shí)，圖片的每個(gè)像素點(diǎn)都以手指接觸點(diǎn)為位似中心，按縮放比例重新計(jì)算位置，最終呈現(xiàn)放大后的清晰圖像。3藝術(shù)創(chuàng)作中的位似繪畫中的“透視原理”與位似密切相關(guān)。畫家通過設(shè)定“滅點(diǎn)”（即位似中心），將三維物體投影到二維畫布上，使畫面具有立體感。例如，畫一條筆直的公路時(shí)，路面的兩側(cè)邊線最終匯聚于滅點(diǎn)，這正是反向位似的典型應(yīng)用。06總結(jié)與升華：位似圖形的核心價(jià)值總結(jié)與升華：位似圖形的核心價(jià)值回顧本節(jié)課，我們從生活現(xiàn)象中抽象出位似概念，通過性質(zhì)探究明確了位似的數(shù)學(xué)本質(zhì)，通過作圖實(shí)踐掌握了縮放的操作方法，最后在應(yīng)用中體會(huì)了位似的實(shí)用價(jià)值。位似圖形的核心在于“變與不變”：形狀不變（相似性），大小改變（縮放性），位置關(guān)聯(lián)（共點(diǎn)性）。它不僅是幾何知識(shí)的重要節(jié)點(diǎn)，更是培養(yǎng)我們“用數(shù)學(xué)眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)思維分析世界、用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界”的重要載體。同學(xué)們，課后請(qǐng)完成兩個(gè)任務(wù)：一是用位似作圖法將自己的姓名放大2倍（選擇任意