一、從相似到位似：概念的遞進(jìn)式建構(gòu)演講人01.02.03.04.05.目錄從相似到位似：概念的遞進(jìn)式建構(gòu)抽絲剝繭：位似圖形的核心性質(zhì)手腦協(xié)同：位似圖形的作圖方法知行合一：位似圖形的實(shí)際應(yīng)用總結(jié)與升華：位似圖形的核心價(jià)值2025九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)位似圖形概念與作圖課件作為一名深耕初中數(shù)學(xué)教學(xué)十余年的一線教師，我始終相信：數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)需要“追根溯源”，作圖技能的掌握則要“手腦并用”。今天，我們將共同走進(jìn)“位似圖形”的世界——它既是相似圖形的特殊形式，又是幾何作圖的重要工具，更是生活中“縮放”“投影”等現(xiàn)象的數(shù)學(xué)抽象。接下來(lái)，我將以“概念解析—性質(zhì)探究—作圖實(shí)踐—應(yīng)用拓展”為主線，帶大家系統(tǒng)梳理這一核心內(nèi)容。01從相似到位似：概念的遞進(jìn)式建構(gòu)1溫故知新：相似圖形的“舊知”鋪墊在之前的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)掌握了相似圖形的核心特征：形狀相同、大小不一定相同，且相似圖形的對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例（相似比）。例如，同一底版沖洗出的不同尺寸照片、地圖上的縮略圖與實(shí)際區(qū)域，都是典型的相似圖形。但不知大家是否注意到：這些相似圖形中，對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線似乎存在某種規(guī)律——放大版照片的四個(gè)角與原版照片的四個(gè)角，若用直線連接，這些直線是否會(huì)相交于同一點(diǎn)？地圖上的“縮放中心”是否隱含在某個(gè)固定位置？這便是我們今天要學(xué)習(xí)的“位似圖形”與普通相似圖形的本質(zhì)區(qū)別。2位似圖形的定義：從現(xiàn)象到本質(zhì)的提煉通過(guò)觀察課本第27頁(yè)的三幅圖（投影儀成像、小孔成像、同一底版的不同尺寸照片），我們可以總結(jié)出位似圖形的三個(gè)關(guān)鍵條件：（1）相似性：圖形A與圖形B是相似圖形；（2）共點(diǎn)性：所有對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)（即位似中心）；（3）方向性：對(duì)應(yīng)邊互相平行（或共線），且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比（即位似比）。以小孔成像為例：蠟燭火焰（原圖）通過(guò)小孔在光屏上形成的像（位似圖形），其燭尖與像尖的連線、燭底與像底的連線必然相交于小孔（位似中心），且像與原物的大小比例由小孔到光屏的距離與小孔到蠟燭的距離之比決定（位似比）。這一現(xiàn)象完美契合了位似圖形的定義。3位似與相似的關(guān)系：特殊與一般的辯證需要明確的是：位似圖形一定是相似圖形，但相似圖形不一定是位似圖形。例如，兩個(gè)全等的三角形（相似比為1的相似圖形），若它們的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連線不相交于同一點(diǎn)，則不是位似圖形；再如，兩個(gè)形狀相同但位置隨意擺放的平行四邊形，若對(duì)應(yīng)邊不平行、對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連線不共點(diǎn)，也只是普通相似圖形。這就好比“正方形是特殊的矩形”——位似圖形是相似圖形中滿足“共點(diǎn)性”和“方向性”的特殊類別，這種特殊性使得它在幾何作圖和實(shí)際應(yīng)用中更具操作性。02抽絲剝繭：位似圖形的核心性質(zhì)1位似中心的“定位”特征位似中心是所有對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連線的交點(diǎn)，它可以在圖形的內(nèi)部、外部，也可以在圖形的邊上或頂點(diǎn)上。例如：當(dāng)位似中心在兩個(gè)三角形之間時(shí)（外位似），對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)分別位于中心兩側(cè)；當(dāng)位似中心在三角形內(nèi)部時(shí)（內(nèi)位似），對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)位于中心同側(cè)；若位似中心與原圖形的一個(gè)頂點(diǎn)重合，則該頂點(diǎn)在變換后保持不動(dòng)（即位似比為0時(shí)的特殊情況，但實(shí)際應(yīng)用中通常位似比不為0）。我曾在課堂上讓學(xué)生用坐標(biāo)紙繪制位似圖形，發(fā)現(xiàn)許多同學(xué)會(huì)錯(cuò)誤地認(rèn)為位似中心只能在圖形外部。通過(guò)實(shí)際作圖（如以原點(diǎn)為中心作△ABC的位似圖形），他們直觀看到：當(dāng)位似中心在原點(diǎn)時(shí)，原圖形的頂點(diǎn)（2,3）變換后可能為（4,6）（位似比2，同側(cè)）或（-4,-6）（位似比-2，異側(cè)），這才真正理解了位似中心位置的多樣性。2位似比的“量化”意義位似比k是指位似圖形與原圖形對(duì)應(yīng)邊的比，也是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)到位似中心距離的比。需注意：若k>1，位似圖形是原圖形的放大版；若0<k<1，則是縮小版；若k為負(fù)數(shù)（如k=-2），表示位似圖形與原圖形在位似中心的異側(cè)（即方向相反），這種情況在坐標(biāo)系中尤為常見（如以原點(diǎn)為中心，將點(diǎn)(x,y)變換為(-2x,-2y)）。例如，若原圖形頂點(diǎn)A到中心O的距離為3cm，位似比k=2，則變換后的頂點(diǎn)A'到O的距離為6cm，且A'在OA的延長(zhǎng)線上；若k=-1/2，則A'到O的距離為1.5cm，且A'在AO的反向延長(zhǎng)線上。3位似圖形的“位置”關(guān)系1由于對(duì)應(yīng)邊平行（或共線），位似圖形的位置具有高度的“可預(yù)測(cè)性”：2若原圖形是四邊形ABCD，位似中心為O，位似比為k，則邊AB的位似邊A'B'必然平行于AB（或與AB共線），且A'B'的長(zhǎng)度為AB×|k|；3這種平行性使得位似變換后的圖形與原圖形不會(huì)出現(xiàn)“旋轉(zhuǎn)”或“翻轉(zhuǎn)”，僅發(fā)生縮放和平移（相對(duì)于位似中心）。4這一性質(zhì)在工程制圖中尤為重要：通過(guò)位似變換，設(shè)計(jì)師可以快速將初步設(shè)計(jì)的小尺寸草圖放大為實(shí)際尺寸的施工圖紙，同時(shí)保證各邊的平行關(guān)系不變。03手腦協(xié)同：位似圖形的作圖方法1作圖工具與基本步驟位似圖形的作圖需要直尺（或三角板）和圓規(guī)（或刻度尺度量），核心是“找點(diǎn)—連線”。具體步驟可歸納為：Step1：確定位似中心O（題目給定或自行選擇，通常選擇圖形外的點(diǎn)以便觀察）；Step2：確定位似比k（題目給定，注意正負(fù)號(hào)表示同側(cè)或異側(cè)）；Step3：作各頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)：連接原圖形各頂點(diǎn)與O，在連線上截取對(duì)應(yīng)長(zhǎng)度（若k>0，在O的同側(cè)截取；若k<0，在異側(cè)截?。?；Step4：連接對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，形成位似圖形。以“作△ABC的位似圖形，位似中心為O，位似比為2”為例（圖見課本第29頁(yè)）：連接OA并延長(zhǎng)至A'，使OA'=2OA；同理作OB'=2OB、OC'=2OC；連接A'B'、B'C'、C'A'，則△A'B'C'即為所求。2易錯(cuò)點(diǎn)與技巧突破在實(shí)際作圖中，學(xué)生常出現(xiàn)以下問(wèn)題，需重點(diǎn)關(guān)注：（1）位似中心的“遺漏”：部分同學(xué)會(huì)忘記所有對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連線必須經(jīng)過(guò)O，導(dǎo)致畫出的圖形雖然相似但不共點(diǎn)。解決方法是：作圖前先用虛線連接所有原頂點(diǎn)與O，確保對(duì)應(yīng)點(diǎn)在這些連線上。（2）位似比的“方向”混淆：當(dāng)k為負(fù)數(shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)應(yīng)在位似中心的異側(cè)，但部分同學(xué)會(huì)錯(cuò)誤地畫在同側(cè)?？赏ㄟ^(guò)坐標(biāo)系輔助理解：若O在原點(diǎn)，原頂點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y)，則k=-2時(shí)對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為(-2x,-2y)，直觀展示異側(cè)關(guān)系。（3）對(duì)應(yīng)邊的“平行性”驗(yàn)證：完成作圖后，應(yīng)用三角板或量角器檢查對(duì)應(yīng)邊是否平行（2易錯(cuò)點(diǎn)與技巧突破或共線），這是檢驗(yàn)位似圖形是否正確的關(guān)鍵。我曾讓學(xué)生以教室門為原型，在草稿紙上作位似比為1/2的位似圖形（位似中心選在地面某點(diǎn)）。通過(guò)實(shí)際操作，他們不僅掌握了作圖步驟，更深刻理解了“對(duì)應(yīng)邊平行”這一性質(zhì)——門的上下邊在變換后依然水平，左右邊依然豎直，與原門保持方向一致。3.3坐標(biāo)系中的位似作圖：代數(shù)與幾何的融合在平面直角坐標(biāo)系中，位似圖形的頂點(diǎn)坐標(biāo)具有明確的代數(shù)規(guī)律：若位似中心為原點(diǎn)(0,0)，原頂點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y)，位似比為k，則對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(kx,ky)。這一規(guī)律將幾何作圖轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)計(jì)算，大大簡(jiǎn)化了操作。2易錯(cuò)點(diǎn)與技巧突破例如，原圖形頂點(diǎn)為A(1,2)、B(3,4)、C(2,1)，位似中心為原點(diǎn)，位似比為-3，則對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)A'(-3,-6)、B'(-9,-12)、C'(-6,-3)，連接這三點(diǎn)即得位似圖形。通過(guò)坐標(biāo)法，學(xué)生可以更直觀地理解位似比的正負(fù)與位置的關(guān)系，同時(shí)打通代數(shù)與幾何的聯(lián)系。04知行合一：位似圖形的實(shí)際應(yīng)用1數(shù)學(xué)內(nèi)部的應(yīng)用：幾何問(wèn)題的簡(jiǎn)化工具位似圖形在解決幾何問(wèn)題時(shí)，常作為“橋梁”連接不同大小的圖形。例如：證明線段比例關(guān)系：若兩個(gè)三角形位似，則對(duì)應(yīng)邊的比等于位似比，可直接利用這一性質(zhì)證明線段成比例；構(gòu)造輔助圖形：當(dāng)需要將某圖形放大或縮小以匹配已知條件時(shí)，位似變換是最直接的構(gòu)造方法。以“證明三角形中位線定理”為例：三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半。若以三角形的一個(gè)頂點(diǎn)為位似中心，作位似比為1/2的位似圖形，中位線恰好是位似圖形的邊，利用位似性質(zhì)可快速證明其平行性和長(zhǎng)度關(guān)系。2生活中的應(yīng)用：從藝術(shù)設(shè)計(jì)到工程測(cè)量位似圖形在實(shí)際生活中無(wú)處不在，以下是幾個(gè)典型場(chǎng)景：（1）地圖與比例尺：地圖是實(shí)際區(qū)域的位似圖形，比例尺即為位似比（如1:10000表示位似比1/10000），地圖上的所有點(diǎn)與實(shí)際地點(diǎn)的連線（虛擬）相交于地球中心（近似視為位似中心）；（2）攝影與投影：相機(jī)成像本質(zhì)上是位似變換，鏡頭中心是位似中心，底片上的像與實(shí)際物體位似，位似比由物距和像距決定；（3）藝術(shù)設(shè)計(jì)：設(shè)計(jì)師常利用位似變換將草圖放大為實(shí)際尺寸的圖案，確保各部分比例協(xié)調(diào)；（4）工程測(cè)量：在無(wú)法直接測(cè)量大型物體（如高樓、橋梁）時(shí)，可通過(guò)作其位似圖形（縮2生活中的應(yīng)用：從藝術(shù)設(shè)計(jì)到工程測(cè)量小版），測(cè)量小圖形的尺寸后按位似比換算得到實(shí)際尺寸。我曾帶學(xué)生用位似原理測(cè)量學(xué)校旗桿的高度：以地面某點(diǎn)為位似中心，將旗桿（原圖）與一根已知長(zhǎng)度的標(biāo)桿（位似圖形）構(gòu)成位似關(guān)系，通過(guò)測(cè)量標(biāo)桿高度、標(biāo)桿與旗桿到中心的距離，計(jì)算出旗桿高度。這種“用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題”的體驗(yàn)，讓學(xué)生真正感受到了位似圖形的價(jià)值。05總結(jié)與升華：位似圖形的核心價(jià)值總結(jié)與升華：位似圖形的核心價(jià)值回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們從相似圖形出發(fā)，通過(guò)觀察生活現(xiàn)象提煉出位似圖形的定義，探究了其中心、比例、位置的核心性質(zhì)，掌握了作圖的具體步驟，并在數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際生活中體會(huì)了它的應(yīng)用。位似圖形的本質(zhì)是“相似性”與“共點(diǎn)性”的結(jié)合，它不僅是幾何變換的重要類型，更是“從特殊到一般”“從直