2025年《高等數(shù)學(xué)（一）》極限真題測試卷考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題4分，共20分。請將答案填在答題紙上對應(yīng)位置）1.下列各式中，正確的是（）。(A)lim(x→0)x2sin(1/x)=0(B)lim(x→0)sin(1/x)=1(C)lim(x→∞)(x+1)/x2=0(D)lim(x→1)(x2-1)/(x-1)=02.“函數(shù)f(x)當(dāng)x→x?時(shí)極限存在”是“函數(shù)f(x)在x=x?處有定義”的（）。(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件3.如果lim(x→2)(x2-ax-2)/(x2-x-2)=1/2，則實(shí)數(shù)a的值為（）。(A)2(B)3(C)-3(D)-24.下列極限計(jì)算正確的是（）。(A)lim(x→0)(e^x-1)/x=1(B)lim(x→0)x/sin(x)=0(C)lim(x→∞)(3x+2)/(5x-1)=-3/5(D)lim(x→0?)xlnx=05.當(dāng)x→0時(shí)，(sinx-x)/x3是（）。(A)無窮小量(B)無窮大量(C)高階無窮小量(D)低階無窮小量二、填空題（每小題5分，共20分。請將答案填在答題紙上對應(yīng)位置）6.若lim(x→∞)(ax2+bx+c)/(x+1)=3，則a=__________，b=__________。7.lim(x→0)(sqrt(1+x)-1)/x=__________。8.設(shè)f(x)=(1-cosx)/x2，則lim(x→0)f(x)=__________。9.若f(x)=(ax+b)/x，且lim(x→0?)f(x)=2，lim(x→0?)f(x)=-1，則a=__________，b=__________。三、計(jì)算題（每小題10分，共50分。請寫出詳細(xì)的計(jì)算過程）10.計(jì)算極限：lim(x→1)((x-1)2/(x2-1))。11.計(jì)算極限：lim(x→0)(e^(2x)-1-2x)/x2。12.計(jì)算極限：lim(x→∞)(x2-1)/(x-1)。13.計(jì)算極限：lim(x→0)(x-sinx)/(x3+x)。14.計(jì)算極限：lim(x→1)(x3-3x2+2)/(x-1)2。試卷答案一、選擇題1.(A)2.(D)3.(B)4.(A)5.(C)二、填空題6.a=3,b=-67.1/28.1/29.a=3,b=0三、計(jì)算題10.解：lim(x→1)((x-1)2/(x2-1))=lim(x→1)((x-1)2/((x-1)(x+1)))=lim(x→1)((x-1)/(x+1))=(1-1)/(1+1)=0/2=0。11.解：lim(x→0)(e^(2x)-1-2x)/x2令t=2x，則當(dāng)x→0時(shí)，t→0。原式=lim(t→0)(e^t-1-t)/(t2/4)=4*lim(t→0)((e^t-1-t)/t2)利用泰勒公式e^t=1+t+t2/2+o(t2)，得：原式=4*lim(t→0)((1+t+t2/2+o(t2)-1-t)/t2)=4*lim(t→0)((t2/2+o(t2))/t2)=4*lim(t→0)(1/2+o(1)/t2)=4*(1/2)=2。(或使用洛必達(dá)法則)原式=lim(x→0)((e^(2x)-1-2x)/x2)=lim(x→0)(2e^(2x)-2)/2x=lim(x→0)(e^(2x)-1)/x=lim(x→0)(2e^(2x))/1=2。12.解：lim(x→∞)(x2-1)/(x-1)=lim(x→∞)((x+1)(x-1))/(x-1)=lim(x→∞)(x+1)=∞。(或分子分母同除以x)原式=lim(x→∞)((x2/x-1/x)/(x/x-1/x))=lim(x→∞)(x-1/x)/(1-1/x)=∞/1=∞。13.解：lim(x→0)(x-sinx)/(x3+x)分子分母同除以x：原式=lim(x→0)((x/x-sinx/x)/(x2+1))=lim(x→0)(1-sinx/x)/(x2+1)因?yàn)閘im(x→0)sinx/x=1，所以：原式=(1-1)/(02+1)=0/1=0。14.解：lim(x→1)(x3-3x2+2)/(x-1)2分子分解因式：(x3-3x2+2)=(x-1)(x2-2x-2)原式=lim(x→1)((x-1)(x2-2x-2))/(x-1)2=lim(x→1)(x2-2x-2)/(x-1)分子分母同除以x-1：原式=lim(x→1)((x2/x-2x/x-2/x)/(1-1/x))=lim(x→1)((x-2-2/x)/(1-1/x))令x-1=t，則當(dāng)x→1時(shí)，t→0，且x=1+t。原式=lim(t→0)(((1+t)-2-2/(1+t))/(1-1/(1+t)))=lim(t→0)((t-1-2/(1+t))/(1-1/(1+t)))原式=lim(t→0)((t-1-2(1-t+t2+o(t2)))/(1-1+t+o(t)))=lim(t→0)((t-1-2+2t-2t2-o(t2))/(t+o(t)))原式=lim(t→0)((3t-3-2t2-o(t2))/(t+o(t)))=lim(t→0)((3-2t-o(t)/t)/(1+o(t)