一、知識預(yù)備：從“根的存在性”到“根的符號”演講人知識預(yù)備：從“根的存在性”到“根的符號”01易錯點與典型例題分析02分類討論：根的符號的四種典型情形03總結(jié)與升華：從“符號判斷”到“數(shù)學(xué)思維”04目錄2025九年級數(shù)學(xué)上冊一元二次方程根的符號判斷課件各位同學(xué)、老師們：今天我們共同探討的主題是“一元二次方程根的符號判斷”。作為九年級數(shù)學(xué)上冊“一元二次方程”章節(jié)的核心內(nèi)容之一，這部分知識不僅是對“根的判別式”“韋達定理（根與系數(shù)關(guān)系）”的綜合應(yīng)用，更是解決實際問題（如幾何圖形邊長、經(jīng)濟利潤極值、物理運動軌跡等）的關(guān)鍵工具。在多年的教學(xué)中，我發(fā)現(xiàn)許多同學(xué)能熟練求解方程，卻對“根的符號”這一隱含條件缺乏敏感度，導(dǎo)致在應(yīng)用題中遺漏合理的解。因此，今天我們將從基礎(chǔ)出發(fā)，逐步拆解根的符號判斷的邏輯鏈條，幫助大家建立清晰的分析框架。01知識預(yù)備：從“根的存在性”到“根的符號”知識預(yù)備：從“根的存在性”到“根的符號”要判斷一元二次方程根的符號，我們首先需要明確兩個前提：方程是否有實數(shù)根（存在性），以及若有實根，根的正負如何（符號性）。這兩個問題分別對應(yīng)“根的判別式”和“韋達定理”的應(yīng)用。1根的存在性：判別式的作用對于一般形式的一元二次方程(ax^2+bx+c=0)（(a\neq0)），其根的判別式為(\Delta=b^2-4ac)。我們已經(jīng)學(xué)過：當(dāng)(\Delta>0)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)(\Delta=0)時，方程有兩個相等的實數(shù)根（重根）；當(dāng)(\Delta<0)時，方程無實數(shù)根。注意：若題目要求“根的符號判斷”，首先必須保證方程有實根（即(\Delta\geq0)），否則討論符號無意義。這是許多同學(xué)容易忽略的第一步。2根的符號性：韋達定理的延伸韋達定理指出，若方程(ax^2+bx+c=0)有兩個實根(x_1)、(x_2)，則滿足：[x_1+x_2=-\frac{a},\quadx_1\cdotx_2=\frac{c}{a}]根的符號由(x_1)、(x_2)的正負性決定，而正負性可通過(x_1+x_2)和(x_1\cdotx_2)的符號組合推導(dǎo)。例如：若(x_1\cdotx_2>0)，說明(x_1)、(x_2)同號（同為正或同為負）；2根的符號性：韋達定理的延伸若(x_1\cdotx_2<0)，說明(x_1)、(x_2)異號；若(x_1\cdotx_2=0)，則至少有一個根為0（此時(c=0)，方程可化為(x(ax+b)=0)）。關(guān)鍵過渡：存在性（判別式）是符號判斷的“門檻”，符號性（韋達定理）是具體分析的“工具”。兩者結(jié)合，才能完整回答“根是否存在，若存在符號如何”的問題。02分類討論：根的符號的四種典型情形分類討論：根的符號的四種典型情形根據(jù)根的數(shù)量和符號，我們可將一元二次方程的根分為以下四類：無實根“有兩個正根”“有兩個負根”“有一正一負根”“有一個零根（重根為零）”。其中“無實根”已由判別式直接判定，其余情形需結(jié)合韋達定理分析。1情形一：有兩個正根條件推導(dǎo)：若(x_1>0)、(x_2>0)，則需滿足：存在性：(\Delta\geq0)（保證有實根）；同號性：(x_1\cdotx_2>0)（即(\frac{c}{a}>0)，說明(a)、(c)同號）；均為正：(x_1+x_2>0)（即(-\frac{a}>0)，說明(a)、(b)異號）?？偨Y(jié)條件：[\Delta\geq0,\quad\frac{c}{a}>0,\quad-\frac{a}>0]例1：判斷方程(x^2-5x+6=0)是否有兩個正根。1情形一：有兩個正根判別式(\Delta=(-5)^2-4\times1\times6=25-24=1>0)，有兩個不等實根；(x_1\cdotx_2=6>0)，同號；(x_1+x_2=5>0)，均為正；結(jié)論：方程有兩個正根（實際根為2和3）。2情形二：有兩個負根條件推導(dǎo)：若(x_1<0)、(x_2<0)，則需滿足：存在性：(\Delta\geq0)；同號性：(x_1\cdotx_2>0)（(\frac{c}{a}>0)，(a)、(c)同號）；均為負：(x_1+x_2<0)（即(-\frac{a}<0)，說明(a)、(b)同號）。總結(jié)條件：[\Delta\geq0,\quad\frac{c}{a}>0,\quad-\frac{a}<0]例2：判斷方程(x^2+5x+6=0)是否有兩個負根。2情形二：有兩個負根判別式(\Delta=5^2-4\times1\times6=25-24=1>0)；(x_1+x_2=-5<0)，均為負；(x_1\cdotx_2=6>0)，同號；結(jié)論：方程有兩個負根（實際根為-2和-3）。3情形三：有一正一負根條件推導(dǎo)：若(x_1>0)、(x_2<0)（或相反），則需滿足：存在性：(\Delta>0)（因兩根不等，若(\Delta=0)則為重根，符號相同）；異號性：(x_1\cdotx_2<0)（即(\frac{c}{a}<0)，(a)、(c)異號）。注意：此時(x_1+x_2)的符號由絕對值較大的根決定，但題目若僅要求“一正一負”，則無需額外限制(x_1+x_2)，只需(x_1\cdotx_2<0)即可。例3：判斷方程(x^2-x-6=0)是否有一正一負根。3情形三：有一正一負根判別式(\Delta=(-1)^2-4\times1\times(-6)=1+24=25>0)；(x_1\cdotx_2=-6<0)，異號；結(jié)論：方程有一正一負根（實際根為3和-2）。4情形四：有零根（含重根為零）條件推導(dǎo)：若(x_1=0)（或(x_1=x_2=0)），則需滿足：存在性：(\Delta\geq0)；零根條件：(x_1\cdotx_2=0)（即(\frac{c}{a}=0)，故(c=0)）；若為單零根（另一根非零），則(x_1+x_2\neq0)（即(-\frac{a}\neq0)，故(b\neq0)）；若為重零根（(x_1=x_2=0)），則(x_1+x_2=0)（即(-\frac{a}=0)，故(b=0)），且(\Delta=0)（此時(\Delta=b^2-4ac=0-0=0)）。4情形四：有零根（含重根為零）總結(jié)條件：單零根：(c=0)，(b\neq0)，(\Delta\geq0)（因(c=0)，方程為(ax^2+bx=0)，根為0和(-\frac{a})，顯然有實根）；重零根：(c=0)，(b=0)，此時方程為(ax^2=0)，根為(x_1=x_2=0)。例4：判斷方程(2x^2-3x=0)是否有零根。(c=0)，滿足零根條件；根為(x_1=0)，(x_2=\frac{3}{2})（正根）；4情形四：有零根（含重根為零）0102030405結(jié)論：有一個零根和一個正根。01例5：判斷方程(5x^2=0)的根的符號。02根為(x_1=x_2=0)；04(b=0)，(c=0)，方程為(5x^2=0)；03結(jié)論：重根為零。0503易錯點與典型例題分析易錯點與典型例題分析在實際解題中，同學(xué)們常因忽略“存在性條件（判別式）”或“符號條件的邏輯組合”而犯錯。以下通過例題強化關(guān)鍵步驟。1易錯點1：忽略判別式導(dǎo)致錯誤題目：已知方程(x^2+(k+2)x+k=0)有兩個正根，求(k)的取值范圍。錯誤解法：由韋達定理，(x_1+x_2=-(k+2)>0)，得(k<-2)；(x_1\cdotx_2=k>0)，得(k>0)；因此(k)無解。正確解法：除韋達定理外，需滿足(\Delta\geq0)：1易錯點1：忽略判別式導(dǎo)致錯誤1(\Delta=(k+2)^2-4k=k^2+4k+4-4k=k^2+4\geq0)（恒成立）；2但(x_1+x_2>0)要求(-(k+2)>0)，即(k<-2)；3(x_1\cdotx_2>0)要求(k>0)；4兩者無交集，故(k)無解（與錯誤解法結(jié)論一致，但必須明確寫出判別式步驟）。5總結(jié)：即使判別式恒成立（如本題(\Delta=k^2+4)總非負），也需在解題過程中明確寫出，以體現(xiàn)邏輯完整性。2易錯點2：混淆“同號”與“均正/均負”的條件題目：若方程(2x^2+mx+1=0)有兩個同號根，求(m)的取值范圍。錯誤解法：由(x_1\cdotx_2=\frac{1}{2}>0)，故兩根同號，無需其他條件，因此(m)為任意實數(shù)。正確解法：兩根同號需滿足：(\Delta\geq0)：(m^2-4\times2\times1\geq0)，即(m^2\geq8)，得(m\geq2\sqrt{2})或(m\leq-2\sqrt{2})；2易錯點2：混淆“同號”與“均正/均負”的條件(x_1\cdotx_2=\frac{1}{2}>0)（已滿足）；因此(m)的取值范圍是(m\geq2\sqrt{2})或(m\leq-2\sqrt{2})?？偨Y(jié)：“同號”僅需(x_1\cdotx_2>0)，但必須同時保證方程有實根（(\Delta\geq0)），否則“同號”無意義。3綜合例題：實際問題中的符號判斷題目：某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品，成本為每件20元，銷售價為每件30元時，月銷量為1000件。市場調(diào)研表明：銷售價每上漲1元，月銷量減少50件。設(shè)銷售價上漲(x)元（(x\geq0)），月利潤為(y)元。（1）求(y)關(guān)于(x)的函數(shù)關(guān)系式；（2）若月利潤為6000元，求(x)的值；（3）判斷方程(y=6000)的根的符號，并說明其實際意義。解答：（1）利潤(y=(30+x-20)(1000-50x)=(10+x)(1000-50x)=-50x^2+500x+10000)；3綜合例題：實際問題中的符號判斷（2）令(y=6000)，則(-50x^2+500x+10000=6000)，化簡得(x^2-10x-80=0)；（3）判斷根的符號：判別式(\Delta=(-10)^2-4\times1\times(-80)=100+320=420>0)，有兩個不等實根；(x_1\cdotx_2=-80<0)，故一正一負；實際意義：負根(x<0)表示銷售價下降，與題設(shè)(x\geq0)矛盾，舍去；正根(x>0)表示銷售價上漲，符合實際。總結(jié)：實際問題中，根的符號需結(jié)合變量的實際意義（如(x\geq0)）進一步篩選，這體現(xiàn)了“符號判斷”在解決實際問題中的關(guān)鍵作用。04總結(jié)與升華：從“符號判斷”到“數(shù)學(xué)思維”總結(jié)與升華：從“符號判斷”到“數(shù)學(xué)思維”回顧本節(jié)課的核心內(nèi)容，我們通過“存在性（判別式）→符號性（韋達定理）→實際意義（變量限制）”的邏輯鏈，系統(tǒng)掌握了一元二次方程根的符號判斷方法。其核心步驟可總結(jié)為：1核心步驟判存在：計算判別式(\Delta)，若(\Delta<0)，無實根，符號無需討論；定符號：若(\Delta\geq0)，利用韋達定理分析(x_1+x_2)和(x_1\cdotx_2)的符號，判斷根為同號（正