2025-2026學(xué)年高二數(shù)學(xué)開學(xué)摸底考試卷及答案2025-2026學(xué)年高二數(shù)學(xué)開學(xué)摸底考試試卷考試時間：120分鐘滿分：150分一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知空間向量a=(1,-2,3)，b=(2,1,-1)，則a·b=（）A.-1B.0C.1D.22.設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，下列命題中正確的是（）A.若m∥α，n∥α，則m∥nB.若m⊥α，n⊥α，則m∥nC.若m∥α，m∥β，則α∥βD.若m⊥α，n⊥β，則α∥β3.雙曲線x2/4-y2/5=1的離心率為（）A.3/2B.√5/2C.3√5/5D.√5/34.已知數(shù)列{a?}是等差數(shù)列，a?=2，a?+a?=16，則a?=（）A.14B.12C.10D.85.函數(shù)f(x)=x3-3x2+2的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A.(-∞,0)B.(0,2)C.(2,+∞)D.(-∞,0)∪(2,+∞)6.拋物線y2=4x的焦點到準(zhǔn)線的距離為（）A.1B.2C.4D.87.已知直線l：y=kx+1與圓C：(x-1)2+y2=4相交于A，B兩點，若|AB|=2√3，則k=（）A.±√3/3B.±√3C.±1D.±28.已知函數(shù)f(x)=xlnx，則f(x)的極小值為（）A.-1/eB.1/eC.eD.-e9.已知橢圓x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）的左、右焦點分別為F?，F(xiàn)?，離心率為1/2，且過點P(1,3/2)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A.x2/4+y2/3=1B.x2/3+y2/4=1C.x2/16+y2/12=1D.x2/12+y2/16=110.如圖，在正方體ABCD-A?B?C?D?中，棱長為2，則直線A?C與平面ABCD所成角的正切值為（）A.√2/2B.√2C.2√2D.1/211.已知數(shù)列{a?}滿足a?=1，a???=2a?+1，則數(shù)列{a?}的通項公式為（）A.a?=2?-1B.a?=2??1-1C.a?=2?-3D.a?=2??1-312.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-1處取得極大值，在x=3處取得極小值，則a+b=（）A.-12B.-9C.9D.12二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知空間向量a=(2,-1,1)，b=(t,2,-2)，若a∥b，則t=________．14.已知等比數(shù)列{a?}中，a?=1，a?=8，則數(shù)列{a?}的前n項和S?=________．15.曲線y=x2-lnx在點(1,1)處的切線方程為________．16.已知點P是橢圓x2/25+y2/16=1上一點，F(xiàn)?，F(xiàn)?是橢圓的左、右焦點，若∠F?PF?=90°，則△F?PF?的面積為________．三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.（本小題滿分10分）已知空間三點A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(0,0,2)．（1）求直線AD與平面ABC所成角的正弦值；（2）求平面ABD與平面BCD的夾角的余弦值．18.（本小題滿分12分）已知數(shù)列{a?}是等差數(shù)列，數(shù)列{b?}是等比數(shù)列，且a?=b?=1，a?+b?=4，a?+b?=10．（1）求數(shù)列{a?}和{b?}的通項公式；（2）求數(shù)列{a?·b?}的前n項和T?．19.（本小題滿分12分）已知橢圓C：x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）的離心率為√3/2，且過點M(2,1)．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線l：y=kx+m與橢圓C交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，若OA⊥OB，求△AOB面積的最大值．20.（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱ABC-A?B?C?中，AB=AC=1，BC=√2，AA?=2．（1）證明：AB⊥平面A?AC；（2）求點C?到平面A?BC的距離．21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=x2-2lnx．（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）若關(guān)于x的方程f(x)=x+a在[1,e]上有唯一解，求實數(shù)a的取值范圍．22.（本小題滿分12分）已知拋物線E：y2=4x的焦點為F，過點F的直線l與拋物線E交于A，B兩點，點M是線段AB的中點，且|AB|=8．（1）求直線l的方程；（2）若直線l與圓x2+y2-2x-3=0交于C，D兩點，求|CD|的長度．2025-2026學(xué)年高二數(shù)學(xué)開學(xué)摸底考試答案一、選擇題（每小題5分，共60分）1.A2.B3.A4.A5.B6.B7.A8.A9.A10.A11.A12.A二、填空題（每小題5分，共20分）13.-414.2?-115.x-y=016.16三、解答題（共70分）17.（本小題滿分10分）解：（1）由題意得，向量AD=(0,0,2)，平面ABC的法向量可由AB=(2,0,0)和AC=(0,2,0)求得．設(shè)平面ABC的法向量為n=(x,y,z)，則n·AB=2x=0，n·AC=2y=0，取z=1，得n=(0,0,1)．設(shè)直線AD與平面ABC所成角為θ，則sinθ=|AD·n|/(|AD|·|n|)=|2×1|/(2×1)=1．（5分）（2）向量AB=(2,0,0)，AD=(0,0,2)，BC=(-2,2,0)，BD=(-2,0,2)．設(shè)平面ABD的法向量為n?=(x?,y?,z?)，則n?·AB=2x?=0，n?·AD=2z?=0，取y?=1，得n?=(0,1,0)．設(shè)平面BCD的法向量為n?=(x?,y?,z?)，則n?·BC=-2x?+2y?=0，n?·BD=-2x?+2z?=0，取x?=1，得n?=(1,1,1)．設(shè)平面ABD與平面BCD的夾角為φ，則cosφ=|n?·n?|/(|n?|·|n?|)=|1×1|/(1×√3)=√3/3．（10分）18.（本小題滿分12分）解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a?}的公差為d，等比數(shù)列{b?}的公比為q．由題意得：{1+d+q=4,1+2d+q2=10}，解得{d=2,q=1}（舍去）或{d=1,q=2}．所以a?=1+(n-1)×1=n，b?=1×2??1=2??1．（6分）（2）T?=1×2?+2×21+3×22+...+n×2??1，2T?=1×21+2×22+...+(n-1)×2??1+n×2?，兩式相減得：-T?=1+21+22+...+2??1-n×2?=(2?-1)-n×2?，所以T?=(n-1)2?+1．（12分）19.（本小題滿分12分）解：（1）由離心率e=c/a=√3/2，得c=√3a/2，又b2=a2-c2=a2/4．將點M(2,1)代入橢圓方程得：4/a2+1/(a2/4)=1，解得a2=8，b2=2．所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2/8+y2/2=1．（4分）（2）聯(lián)立{y=kx+m,x2/8+y2/2=1}，得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-8=0．設(shè)A(x?,y?)，B(x?,y?)，則x?+x?=-8km/(1+4k2)，x?x?=(4m2-8)/(1+4k2)．由OA⊥OB，得x?x?+y?y?=0，即x?x?+(kx?+m)(kx?+m)=0，整理得(1+k2)x?x?+km(x?+x?)+m2=0，代入得5m2=8(1+k2)．|AB|=√(1+k2)√[(x?+x?)2-4x?x?]=√(1+k2)√[64k2m2/(1+4k2)2-4(4m2-8)/(1+4k2)]=4√2√[(1+k2)(4k2+1-m2/2)]/(1+4k2)．原點O到直線l的距離d=|m|/√(1+k2)，S△AOB=1/2|AB|d=2√2√[(1+k2)(4k2+1-m2/2)]/(1+4k2)×|m|/√(1+k2)=2√2√[(1+k2)(4k2+1-4(1+k2)/5)]/(1+4k2)×√[8(1+k2)/5]/√(1+k2)．化簡得S△AOB=4√[2(1+k2)(16k2+1)]/[5(1+4k2)]，令t=1+4k2≥1，得S≤√2，當(dāng)且僅當(dāng)k=±1/2時取等號．所以△AOB面積的最大值為√2．（12分）20.（本小題滿分12分）（1）證明：因為AB=AC=1，BC=√2，所以AB2+AC2=BC2，即AB⊥AC．又直三棱柱中AA?⊥平面ABC，AB?平面ABC，所以AA?⊥AB．因為AC∩AA?=A，所以AB⊥平面A?AC．（6分）（2）解：以A為原點，AB，AC，AA?所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．則A?(0,0,2)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，C?(0,1,2)．向量A?B=(1,0,-2)，A?C=(0,1,-2)，C?A?=(0,-1,0)．設(shè)平面A?BC的法向量為n=(x,y,z)，則n·A?B=x-2z=0，n·A?C=y-2z=0，取z=1，得n=(2,2,1)．點C?到平面A?BC的距離d=|C?A?·n|/|n|=|-2|/3=2/3．（12分）21.（本小題滿分12分）解：（1）函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞)，f'(x)=2x-2/x=2(x2-1)/x．令f'(x)>0，得x>1；令f'(x)<0，得0<x<1．所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)．（4分）（2）方程f(x)=x+a即a=x2-2lnx-x，令g(x)=x2-2lnx-x，x∈[1,e]．g'(x)=2x-2/x-1=(2x2-x-2)/x，令g'(x)=0，得x=[1+√17]/4（舍去負(fù)根）．g(1)=1-0-1=0，g(e)=e2-2-e，g([1+√17]/4)=([1+√17]/4)2-2ln([1+√17]/4)-[1+√17]/4．因為g(x)在[1,e]上先減后增，且g(e)>0，所以a的取值范圍是[g([1+√17]/4),0]．（12分）22.（本小題滿分12分）解：（1）拋物線E的焦點F(1,0)，設(shè)直線l的方程為x=my+1，A(x?,y?)，B(x?,y?)．聯(lián)立{y2=4x,x=my+1}，得y2-4my-4=0，所以y?