第二十二章

二次函數(shù)

22.3實際問題與二次函數(shù)（第1課時）2.會應用二次函數(shù)的性質解決實際問題.1.掌握幾何問題中的相等關系的尋找方法，并會應用函數(shù)關系式求圖形面積的最值.排球運動員從地面豎直向上拋出排球，排球的高度h（單位：m）與排球的運動時間t（單位：s）之間的關系式是h=20t-5t2（0≤t≤4）．排球的運動時間是多少時，排球最高？排球運動中的最大高度是多少？0ht4【思考】從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度h（單位：m）與小球的運動時間t（單位：s）之間的關系式是h=30t-5t2（0≤t≤6）．小球的運動時間是多少時，小球最高？小球運動中的最大高度是多少？二次函數(shù)與幾何圖形面積的最值知識點1t/sh/mO1234562040h=30t-5t2

可以看出，這個函數(shù)的圖象是一條拋物線的一部分，這條拋物線的頂點是這個函數(shù)的圖象的最高點.也就是說，當t取頂點的橫坐標時，這個函數(shù)有最大值.2.公式法：由于拋物線y=ax2

+

bx+c的頂點是最低（高）點，當時，二次函數(shù)

y=ax2

+

bx+c有最?。ù螅┲怠鞠胍幌搿咳绾吻蟪龆魏瘮?shù)y=ax2

+

bx+c的最?。ù螅┲担?.配方法：將

y=ax2

+

bx+c化為y=a(x-h)2+k的形式小球運動的時間是

3s時，小球最高;小球運動中的最大高度是45m．t/sh/mO1234562040h=30t-5t2解：公式法例用總長為60m的籬笆圍成矩形場地，矩形面積S隨矩形一邊長l的變化而變化.當l是多少時，場地的面積S最大？問題1

矩形面積公式是什么？問題2

如何用l表示另一邊？問題3

面積S的函數(shù)關系式是什么？素養(yǎng)考點1利用二次函數(shù)求幾何圖形的面積的最值素養(yǎng)考點lS解：場地的面積S=l(30-l)，即S=-l2+30l(0<l<30).即當

l是15m時，場地的面積

S最大.矩形場地的周長是60m,一邊長為

lm,所以另一邊長為m.因此，當時，S有最大值方法點撥利用二次函數(shù)解決幾何圖形中的最值問題的要點：1.根據面積公式、周長公式、勾股定理等建立函數(shù)關系式；2.確定自變量的取值范圍；3.根據開口方向、頂點坐標和自變量的取值范圍畫草圖；4.根據草圖求所得函數(shù)在自變量的允許范圍內的最大值或最小值.變式1

如圖，用一段長為60m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長32m，這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？xx60-2x問題1

變式1與例題有什么不同？問題2

我們可以設面積為S，如何設自變量？問題3

面積S的函數(shù)關系式是什么？S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x.設垂直于墻的邊長為x米.問題4

如何求解自變量x的取值范圍？墻長32m對此題有什么作用？問題5

如何求最值？最值在其頂點處，即當x=15m時，S=450m2.0＜60－2x≤32，即14≤x＜30.變式2

如圖，用一段長為60m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長18m，這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？x問題1

變式2與變式1有什么異同？問題2

可否模仿變式1設未知數(shù)、列函數(shù)關系式？問題3

可否試設與墻平行的一邊為x米？則如何表示

另一邊與面積？答案：設矩形面積為Sm2,與墻平行的一邊為x米，則問題4

當x=30時，S取最大值，此結論是否正確？問題5

如何求自變量的取值范圍？0＜x≤18.問題6

如何求最值？由于30＞18，因此只能利用函數(shù)的增減性求其最值.當x=18時，S有最大值是378.不正確.方法點撥

實際問題中求解二次函數(shù)最值問題，不一定都取圖象頂點處，要根據自變量的取值范圍.通過變式1與變式2的對比，希望同學們能夠理解函數(shù)圖象的頂點、端點與最值的關系，以及何時取頂點處、何時取端點處才有符合實際的最值.

已知直角三角形兩條直角邊的和等于8，兩條直角邊各為多少時，這個直角三角形的面積最大，最大值是多少？解：∵直角三角形兩直角邊之和為8,設一邊長x,∴另一邊長為8-x.

則該直角三角形面積：即：當S有最大值＝∴當時，直角三角形面積最大，最大值為8.S=（8-x）x÷2,x==4,另一邊為4時,8,兩直角邊都是41.用一段長為15m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長為18m，這個矩形菜園的最大面積是________.基礎鞏固題2.如圖1，在△ABC中，∠B=90°,AB=12cm,BC=24cm,動點P從點A開始沿AB向B以2cm/s的速度移動（不與點B重合），動點Q從點B開始BC以4cm/s的速度移動（不與點C重合）.如果P，Q分別從A，B同時出發(fā)，那么經過

秒，四邊形APQC的面積最小.3ABCPQ圖1能力提升題1.如圖，點E、F、G、H分別位于正方形ABCD的四條邊上，四邊形EFGH也是正方形，當點E位于何處時，正方形EFGH的面積最?。拷猓毫預B長為1，設DH=x，正方形EFGH的面積為y，則DG=1-x.即當E位于AB中點時，正方形EFGH面積最小.當x=時，y有最小值.∴2.某小區(qū)在一塊一邊靠墻(墻長25m)的空地上修建一個矩形綠化帶ABCD，綠化帶一邊靠墻，另三邊用總長為40m的柵欄圍?。O綠化帶的邊長BC為xm，綠化帶的面積為ym2．(1)求y與x之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量的取值范圍.解：即(2)當x為何值時，滿足條件的綠化帶的面積最大？解：∵0＜x＜25，∴當x=20時，滿足條件的綠化帶面積ymax=200.某廣告公司設計一幅周長為12m的矩形廣告牌，廣告設計費用每平方米1000元，設矩形的一邊長為x(m),面積為S(m2).(1)寫出S與x之間的關系式，并寫出自變量x的取值范圍；解：(1)設矩形一邊長為x，則另一邊長為（6-x),

S=x(6-x)=-x2+6x,其中0＜x<6.拓廣探索題(2)S=-x2+6x=-(x-3)2+9;當x=3時，即矩形的一邊長為3m時，矩形面積最大，為9m2.這時設計費最多，為9×1000=9000（元）.(2)請你設計一個方案，使獲得的設計費最多，并求出這個費用.解：如圖，在足夠大的空地上有一段長為a米的舊墻MN，某人利用舊墻和木欄圍成一個矩形菜園ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜園的一邊靠墻，另三邊一共用了100米木欄．（1）若a=20，所圍成的矩形菜園的面積為450平方米，求所利用舊墻AD的長；解：設AB=xm，則BC=（100﹣2x）m，根據題意得x（100﹣2x）=450，解得x1=5，x2=45.當x=5時，100﹣2x=90＞20，不合題意舍去；當x=45時，100﹣2x=10.答：AD的長為10m；解：設AD=xm，∴S=

x（100﹣x）=﹣（x﹣50）2+1250，當a≥50時，則x=50時，S的最大值為1250；當0＜a＜50時，則當0＜x≤a時，S隨x的增大而增大；當x=a時，S的最大值為50a﹣a2，綜上所述，當a≥50時，S的最大值為1250；當0＜a＜50時，S的最大值為50a﹣a2．（2）求矩形菜園ABCD面積的最大值．幾何面積最值問題一個關鍵一個注意建立函數(shù)關系式常見幾何圖形的面積公式依據最值有時不在頂點處，則要利用函數(shù)的增減性來確定1.因為拋物線y=ax2+bx+c的頂點是最低(高)點,所以當x=______

時,二次函數(shù)y=ax2+bx+c有最小(大)值

.

2.當x=

時,二次函數(shù)y=x2+2x-2有最小值.

3.利用二次函數(shù)求最大利潤時,若列出的二次函數(shù)圖象的對稱軸恰好在題目限定的自變量的范圍內,則二次函數(shù)的最

就是所要求的最大利潤;當求得的二次函數(shù)圖象的對稱軸不在題目限定的自變量的范圍內,我們先要搞清自變量的取值在對稱軸

側還是

側,然后結合二次函數(shù)的增減性求出最大利潤;當在不同的自變量取值范圍內,函數(shù)表達式不同時,我們需要分段討論,求出每種情況下的

,然后綜合考慮.

-1大值

左

右

最大值

4.某商店經營一種水產品,成本為40元/千克,據市場分析,若按50元/千克銷售,一個月能售出500千克;銷售價每漲1元,月銷售量就減少10千克,針對這種水產品的銷售情況,銷售單價定為

元時,獲得的利潤最多.

701.利用二次函數(shù)解決幾何問題【例1】

如圖,已知AB=2,C是AB上一點,四邊形ACDE和四邊形CBFG都是正方形,設BC=x.(1)試用x表示AC.(2)設正方形ACDE和正方形CBFG的總面積為S,請寫出用x表示S的函數(shù)解析式,并畫出其圖象.(3)總面積S有最大值還是最小值?這個最大值或最小值是多少?(4)總面積S取最大值或最小值時,點C在AB的什么位置?分析:根據線段和差關系用x表示出正方形ACDE的邊長AC,利用正方形面積公式表示它們的面積,構建二次函數(shù)解決最值問題即可.解:(1)當BC=x時,AC=2-x(0<x<2).(2)S正方形ACDE=(2-x)2,S正方形CBFG=x2,故S=(2-x)2+x2=2x2-4x+4=2(x-1)2+2,畫出函數(shù)S=2(x-1)2+2(0<x<2)的圖象,如圖.(3)由圖象可知,當x=1時,S最小值=2;沒有最大值.(4)當x=1時,總面積S取得最小值,此時點C恰好在AB的中點處.點撥:此題中的圖形為規(guī)則圖形,可直接求面積,對于不規(guī)則圖形的求面積問題,一般通過割補法,將不規(guī)則圖形的面積轉化為規(guī)則圖形面積的和差來求.用二次函數(shù)求最值時,一定要考慮題目的實際意義,確定自變量的取值范圍,圖象也應該只畫出自變量允許范圍內的部分圖象.2.利用二次函數(shù)解決經濟問題【例2】

某化工材料經銷公司購進一種化工原料共7000千克,購進價格為30元/千克,物價部門規(guī)定其銷售價格不得高于70元/千克,也不得低于30元/千克.市場調查發(fā)現(xiàn),價格定為70元/千克時,日均銷售60千克;單價每降低1元,日均多售出2千克,在銷售的過程中,每天還要支出其他費用500元(天數(shù)不足1天時,按整天計算).設銷售價格為x元/千克,日均獲利y元.(1)試求y關于x的二次函數(shù)解析式,并注明x的取值范圍.(2)將(1)中所求出的二次函數(shù)配方成y=a(x-h)2+k的形式,寫出函數(shù)圖象的頂點坐標,畫出草圖,觀察圖形,指出銷售價格定為多少元/千克時日均獲利最多?最多是多少?(3)若將這種化工原料全部售出,比較日均獲利最多和銷售價格最高這兩種方式,哪一種獲總利較多?多多少?分析:(1)由日均獲利=每千克獲利×日均銷售數(shù)量-支出費用,可列出關系式;(2)畫草圖的關鍵是確定拋物線頂點的坐標,這可由二次函數(shù)配方實現(xiàn);(3)在(1)(2)的基礎上通過計算可解.解:(1)若銷售價格為x元/千克,則每千克降價(70-x)元,日均多售出2(70-x)千克,日均銷售量為[60+2(70-x)]千克,每千克獲利為(x-30)元.依題意得y=(x-30)[60+2(70-x)]-500=-2x2+260x-6

500(30≤x≤70).(2)y=-2x2+260x-6

500=-2(x2-130x)-6

500=-2(x-65)2+1

950(30≤x≤70),頂點坐標為(65,1

950).

二次函數(shù)的草圖如圖,經觀察可知,當銷售價格定為65元/千克時,日均獲利最多,最多獲利為1

950元.(3)當日均獲利最多時,銷售價格為65元/千克,日均銷售60+2×(70-65)=70(千克),獲得總利為

=195

000(元).當銷售價格最高為70元/千克時,日均銷售60千克,將這種化工原料全部售完需7

000÷60≈117(天),獲得總利為(70-30)×7

000-117×500=221

500(元).因為221

500>195

000,且221

500-195

000=26

500(元),所以銷售價格最高時獲總利較多,且多獲利26

500元.點撥:為了用圖象更好地表示二次函數(shù)的關系,針對不同的情況要具體分析,如x軸和y軸的單位長度可以不統(tǒng)一,但在同一坐標軸上的單位長度必須統(tǒng)一.123451.某公司準備修建一個長方體的污水處理池,若池底矩形的周長為100m,則池底的最大面積是(

)A.600m2 B.625m2

C.650m2 D.675m2答案解析解析關閉設矩形的一邊長為x

m,則與其相鄰的另一邊長為(50-x)m,若面積為S,則S=x(50-x)=-x2+50x=-(x-25)2+625.∵-1<0,∴S有最大值.當x=25時,最大值為625.故選B.答案解析關閉B123452.在美化校園的活動中,某興趣小組想借助如圖所示的直角墻角(兩邊足夠長),用28m長的籬笆圍成一個矩形花園ABCD(籬笆只圍AB,BC兩邊),設AB=xm.若在P處有一棵樹與墻CD,AD的距離分別是15m和6m,要將這棵樹圍在花園內(含邊界,不考慮樹的粗細),則花園面積S的最大值為(

)A.196m2 B.195m2 C.190m2 D.180m2答案解析解析關閉S=x(28-x)=-x2+28x=-(x-14)2+196,因為在P處有一棵樹與墻CD,AD的距離分別是15

m和6

m,所以x≥6,28-x≥15,所以6≤x≤13.因為a=-1<0,且對稱軸為直線x=14,所以在6≤x≤13范圍內,S隨x的增大而增大,故當x=13時,S有最大值,S最大值=-(13-14)2+196=195(m2).答案解析關閉B123453.老劉準備在某地投資修建一個有30個房間供旅客住宿的旅游度假村,并將其全部利潤用于當?shù)亟ㄔO.據測算,若每個房間的定價為60元/天,則房間將會住滿;每個房間的定價每增加5元/天,就會有一個房間空閑.度假村對旅客住宿的房間每間將支