計數(shù)原理6.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理第一課時人教A版選擇性必修第三冊第六章第一單元課時目標(1)能在實際計數(shù)問題中,用自己的語言解釋分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理,發(fā)展數(shù)學抽象素養(yǎng).(2)能通過具體實例,說明分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理之間的聯(lián)系與區(qū)別,發(fā)展數(shù)學運算、邏輯推理等素養(yǎng).(3)能根據(jù)實際問題的特征,通過對“完成一件什么事”的分析,正確選擇原理解決簡單的實際問題發(fā)展數(shù)學運算素養(yǎng).0.創(chuàng)設(shè)情境，引出問題“數(shù)的方法去計數(shù)”【引例】①從數(shù)字1到20，一共用了多少個1？②連續(xù)擲一枚骰子兩次，會有多少種不同的結(jié)果？（1）枚舉法：{1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12 、13、14、15、16、17、18、19、20}列表法樹狀圖川A

復(fù)雜的計數(shù)問題，怎么辦？“算的方法去計數(shù)”【材料】截止2023年8月底，成都機動車保有量超過北京躍居第一.2024年末，成都市機動車保有量764.0萬輛，比上年末增長7.8%.按照公安部《機動車登記規(guī)定》，成都市公安局交通管理局決定于2022年4月7日用小型汽車川G發(fā)牌機關(guān)代號(新能源小汽車仍使用川A號牌).0.創(chuàng)設(shè)情境，引出問題1.分類加法計數(shù)原理【問題1】(1)用一個大寫的英文字母或一個阿拉伯數(shù)字給學術(shù)報告廳里的座位編號,總共能夠編出多少種不同的號碼?(2)從成都到北京,一天中,乘坐飛機或火車或動車，飛機有4班,火車有3班,動車有5班.一天中從成都到北京有多少種不同的方法?給一個座位編號有什么要求用一個英文字母或一個阿拉伯數(shù)字有多少種完成的方法方案1：方案2：用英文字母編號用阿拉伯數(shù)字編號2610總方法數(shù)：N=

26+10=36完成一件什么事（1）完成一件什么事有什么要求(2)從成都到北京乘坐飛機或火車或動車有多少種完成的方法方案1：方案2：方案3：乘坐飛機乘坐火車乘坐動車435總方法數(shù)：N=4+3+5=12

弄明白“怎樣才算完成一件事”【追問】這一類問題有何共同特征？（1）用一個大寫的英文字母或一個阿拉伯數(shù)字給學術(shù)報告廳里的座位編號,總共能夠編出多少種不同的號碼?（2）從成都到北京,一天中,乘坐飛機或火車或動車，飛機有4班,火車有3班,動車有5班.一天中從成都到北京有多少種不同的方法?1.都是要完成一件事；2.用任何一類方法都能直接完成這件事；3.都是采用加法運算.1.分類加法計數(shù)原理完成一件事有n類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法;在第2類方案中有m2種不同的方法;……在第

n類方案中有mn種不同的方法;那么完成這件事共有

N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法．每類方案中的方法各不相同，用任何一種方法都可以完成這件事.1.分類加法計數(shù)原理1.分類加法計數(shù)原理【例1】在填寫高考志愿時，你了解到A,B兩所大學各有一些自己感興趣的強項專業(yè)，如果只能選一個專業(yè)，那么你共有多少種選擇？A大學B大學生物學數(shù)學化學會計學醫(yī)學信息技術(shù)學物理學法學工程學6+4-1=9【變式】在例1中，如果數(shù)學也是A大學的強項專業(yè)，那么A大學有6個專業(yè)可以選擇，B大學有4個專業(yè)可以選擇，應(yīng)用加法計數(shù)原理，得到能選的專業(yè)種數(shù)為6+4=10.這種算法正確嗎？（只考慮專業(yè)的不同）A大學B大學生物學數(shù)學化學會計學醫(yī)學信息技術(shù)學物理學法學工程學數(shù)學注：使用加法原理時，分類應(yīng)做到不重不漏5+4=91.分類加法計數(shù)原理

法1：列舉法:注意順序，注意不要遺漏法2：樹狀圖9種............9種2.分步乘法計數(shù)原理

完成一件什么事有什么要求給一個座位編號用一個英文字母和一個阿拉伯數(shù)字有多少種完成的方法第1步：第2步：用英文字母編號用阿拉伯數(shù)字編號69總方法數(shù)：N=6×9=542.分步乘法計數(shù)原理【問題2】（2）要從成都到上海，飛機有4個班次，一天后，再從上海到北京，火車有3個班次。乘這些交通工具從成都經(jīng)上海到北京，共有多少種不同方法？先乘飛機從成都到上海，再乘火車到北京完成一件什么事有什么要求從成都經(jīng)上海到北京有多少種完成的方法第1步：第2步：乘飛機到上海乘坐火車到北京43總的方法數(shù)：N=4×3=12成都上海北京2.分步乘法計數(shù)原理【問題2】（3）要從成都到上海，飛機有4個班次，一天后，再從上海到北京，火車有3個班次，一天后，再從北京直接回到成都，動車有5個班次。乘這些交通工具從成都經(jīng)上海到北京再回到成都，共有多少種不同方法？完成一件什么事有什么要求從成都經(jīng)上海到北京再回到成都先乘飛機從成都到上海，再乘火車到北京，最后乘動車回成都有多少種完成的方法第1步：第2步：第3步：乘飛機到上海乘坐火車到北京乘動車回到成都435總的方法數(shù)：N=4×3×5=602.分步乘法計數(shù)原理

1.都是要完成一件事；2.需要分成幾個步驟才能完成完成這件事；3.都是采用乘法運算.2.分步乘法計數(shù)原理完成一件事有n類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法;在第2類方案中有m2種不同的方法;……在第

n類方案中有mn種不同的方法;那么完成這件事共有

N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法．每類方案中的方法各不相同，用任何一種方法都可以完成這件事.1.分類加法計數(shù)原理完成一件事需要n個步驟，在第1步有m1種不同的方法;在第2步有m2種不同的方法;……在第

n步有mn種不同的方法;那么完成這件事共有

N＝m1×m2×…×mn種不同的方法．注意：無論第1步采用哪種方法，與之對應(yīng)的第2步都有相同的方法數(shù).各個個步驟相互依存,只有各個步驟都完成了,這件事才算完成.2.分步乘法計數(shù)原理2.分步乘法計數(shù)原理分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理相同點區(qū)別注意都是用來計算“完成一件事”的不同方法種數(shù)的問題類類獨立，不重不漏步步相依，步驟完整分類完成，類類相加分步完成，步步相乘任何一類中的任何一種方法都能獨立完成這件事只有依次完成每一個步驟，才能完成這件事（每步中的每一種方法不能獨立完成這件事）【追問2】兩個計數(shù)原理有何異同？選擇使用其中一個原理而不是另一個原理的關(guān)鍵是什么？2.分步乘法計數(shù)原理【例1】書架的第一層放有4本不同的計算機書，第二層放有3本不同的文藝書，第三層放有2本不同的體育書.（1）從書架上任取1本書，有多少種取法？（2）從書架的第一、二、三層各取1本書,有多少種不同的取法?

解：(1)根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得：N＝4＋3+2＝9；(2)根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得：N＝4×3×2＝24.3.計數(shù)原理應(yīng)用【例1】書架的第一層放有4本不同的計算機書，第二層放有3本不同的文藝書，第三層放有2本不同的體育書.（3）從書架上任取2種不同類型的書各1本,有多少種不同的取法？注：有些較復(fù)雜的問題往往需要先“分類”，再在每一類中“分步”,綜合應(yīng)用分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理．先分類再分步第一類：1層、2層各取一本：有4×3=12種方法；第二類：1層、3層各取一本：有4×2=8種方法；第三類：2層、3層各取一本：有3×2=6種方法.N=4×3＋4×2＋3×2＝26.3.計數(shù)原理應(yīng)用省、自治區(qū)直轄市簡稱發(fā)牌機關(guān)代號序號五位序號的編碼規(guī)則：（1）由10個阿拉伯數(shù)字和除O,I之外

的24個英文字母組成；（2）最多只能有兩個英文字母.川A

析：①無字母：10×10×10×10×10=100000(種)②1個字母：(24×10×10×10×10)×5=1200000(種)③2個字母：(24×24×10×10×10)×10=5760000(種)共100000+1200000+5760000=7060000(種)【情景再現(xiàn)】3.計數(shù)原理應(yīng)用1.解答計數(shù)問題的一般思路：方法的分類過程的分步利用加法原理進行計數(shù)利用乘法原理進行計數(shù)怎樣才算完成這件事弄明白完成一件什么事有什么要求審題：歸納總結(jié)2.復(fù)雜的問題“先分類、再在每一類中分步”分類要做到不重不漏.分步要做到步驟完整.即完成了所有步驟,恰好完成這件事計數(shù)原理6.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理第二課時人教A版選擇性必修第三冊第六章第一單元課時目標(1)能通過實例，說明“分類加法計數(shù)原理”與“分步乘法計數(shù)原理”的區(qū)別與聯(lián)系,提升分析和解決問題的能力.(2)通過實際問題,能正確使用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理解決簡單的計數(shù)問題.回憶：分類計數(shù)原理加法與分步乘法計數(shù)原理的異同？相同點回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法總數(shù)的問題不同點分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理針對的是“分類”問題，其中各種方法相互獨立，用任何一種方法都可以做完這件事；針對的是“分步”問題，各個步驟中的方法相互依存，只有各個步驟都完成才算做完這件事．0.復(fù)習回顧1.解答計數(shù)問題的一般思路：方法的分類過程的分步利用加法原理進行計數(shù)利用乘法原理進行計數(shù)怎樣才算完成這件事弄明白完成一件什么事有什么要求審題：2.復(fù)雜的問題“先分類、再在每一類中分步”分類要做到不重不漏.分步要做到步驟完整.即完成了所有步驟,恰好完成這件事0.復(fù)習回顧【例1】要從甲、乙、丙3幅不同的畫中選出2幅,分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，問共有多少種不同的掛法?法三：分類加法計數(shù)原理2+2+2=6

第

1

類：甲在左(

2種方法：甲乙、甲丙)

第

2

類：乙在左(

2種方法：乙丙、乙甲)

第3類：丙在左(

2種方法：丙甲、丙乙)法四：樹狀圖列舉法法一：分步乘法計數(shù)原理3×2=6

第

1

步：選出

2

幅畫(

3種：甲乙、甲丙、乙丙)

第

2

步：對

2

幅畫確定左右(各

2

種掛法)法二：分步乘法計數(shù)原理3×2=6

第

1

步：選

1

幅掛左邊(

3種：甲、乙、丙)

第

2

步：選

1

幅掛右邊(各

2

種選擇)1.兩個計數(shù)原理的簡單應(yīng)用法1：可以分三個步驟完成：第1步，選首字符；第2步，選中間字符；第3步，選最后一個字符．∴總的不同名稱的個數(shù)是13×9×9＝1053（首字符又可以分為兩類）7＋6＝1399法2:分成兩類：第一類：首字符用A~G給程序命名：7×9×9＝567.第二類：首字符用U~Z給程序命名：6×9×9＝486.∴總的不同名稱的個數(shù)是567＋486＝1053.【例2】給程序模塊命名，需要用3個字符，其中首字符要求用字母A~G或U~Z，后兩個要求用數(shù)字1~9，最多可以給多少個程序命名？1.兩個計數(shù)原理的簡單應(yīng)用【例3】P7—例6電子元件很容易實現(xiàn)電路的通與斷、電位的高與底等兩種狀態(tài)，而這也是最容易控制的兩種狀態(tài)。因此計算機內(nèi)部就采用了每一位只有0或1兩種數(shù)字的計數(shù)法，即二進制，為了使計算機能夠識別字符，需要對字符進行編碼，每個字符可以用一個或多個字節(jié)來表示，其中字節(jié)是計算機中數(shù)據(jù)存儲的最小計量單位，每個字節(jié)由８個二進制位構(gòu)成，問（1）一個字節(jié)（8位）最多可以表示多少個不同的字符？（2）計算機漢字國標碼（GB碼）包含了6763個漢字，一個漢字為一個字符，要對這些漢字進行編碼，每個漢字至少要用多少個字節(jié)表示？第1位第2位第3位第8位2種2種2種2種……1.兩個計數(shù)原理的簡單應(yīng)用

完成教材P7—練習1----5；P7-4.在1，2，…，500中，被5除余2的數(shù)共有多少個？法1：分三類①一位數(shù)時：2個；②兩位數(shù)時：9×2＝18個；③三位數(shù)時：4×10×2＝80個.所以滿足條件的數(shù)共有100個.被5除余2的正整數(shù)的個位是2或7.法2：被5除余2的數(shù)可以表示為5k＋2(k為整數(shù)).

由1≤5k＋2≤500，解得0≤k≤99，

滿足條件的k值有100個，所以滿足條件的數(shù)共有100個.1.兩個計數(shù)原理的簡單應(yīng)用

.完成教材P11—練習1----4；P11—習題6.11---7

【例4】自學教材P8—例7P11—1.乘積(a1+a2+a3)(b1+b2+b3)(c1+c2+c3+c4+c5)展開后共有多少項?P11—4.任意畫一條直線，在直線上任取n個分點.(1)從這n個分點中任取2個點形成一條線段，可得到多少條線段？(2)從這n個分點中任取2個點形成一個向量，可得到多少個向量？可以分三個步驟完成：第1步:從第一個括號中選一個：3種；第2步:從第二個括號中選一個：3種；第3步:從第三個括號中選一個：4種；1.兩個計數(shù)原理的簡單應(yīng)用P12--8.(1)4名同學分別報名參加學校的足球隊、籃球隊、乒乓球隊，每人限報其中的一個運動隊，不同報法的種數(shù)是是34還是43？[變式]4名同學分別報名參加學校的足球隊、籃球隊、乒乓球隊，每個運動隊只選一名學生參加，不同的結(jié)果有____種.析：人選運動隊，每人有3種選擇，共3×3×3×3=34=81析：運動隊選人，每隊有4種選擇，共4×4×4=43=64(2)3個班分別從5個景點中選擇一處游覽，不同選法的種數(shù)是35還是53？析：各班選景點，每班有5種選擇，共5×5×5=53=125[變式]火車上有10名乘客，沿途有5個車站，乘客下車的可能方式有_____種.510析：乘客選車站，每人有5種選擇1.兩個計數(shù)原理的簡單應(yīng)用計數(shù)原理6.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理第三課時人教A版選擇性必修第三冊第六章第一單元1.組數(shù)問題【例1】用0,1,2,3,4五個數(shù)字，(1)可以排成多少個三位數(shù)字的電話號碼？(2)可以排成多少個三位數(shù)？[解]

(1)三位數(shù)字的電話號碼，首位可以是0，數(shù)字也可以重復(fù)，每個位置都有5種排法，共有5×5×5＝53＝125(個)．(2)三位數(shù)的首位不能為0，但可以有重復(fù)數(shù)字，首先考慮首位的排法，除0外共有4種方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100(個)．1.組數(shù)問題【例1】用0,1,2,3,4五個數(shù)字，(3)可以排成多少個能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？(3)

[解]

(法1)①若個位為0，則依次確定百位、十位，共4×3=12種選法；②若個位不為0，可取2,4，再依次確定百位、十位，共2×3×3=18種選法；綜上，共12+18=30個無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)偶數(shù).

個位取偶數(shù)百位不為0(法2)依次確定個位、百位、十位，共3×4×3=36種選法；排除百位為0的選法共2×3=6種，綜上，共36－6=30種選法.(法3)①個位為0，共4×3=12種選法；②個位為2，共3×3=9種選法；③個位為4，共3×3=9種選法；綜上，共12+9+9=30種選法1.組數(shù)問題【例1】用0,1,2,3,4五個數(shù)字，(4)可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)？[解](4)完成“組成無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)”這件事，可以分四步：第一步定個位，只能從1,3中任取一個，有2種方法；第二步定首位，把1,2,3,4中除去個位用過的一個還有3個，可任取一個，有3種方法；第三步，第四步把剩下的包括0在內(nèi)的3個數(shù)字，先排百位有3種方法，再排十位有2種方法．由分步乘法計數(shù)原理知共有2×3×3×2＝36(個)．【練習】由0,1,2,3,4,5可組成多少個無重復(fù)數(shù)字且比2000大的四位偶數(shù)?(法1)按個位進行分類，依次確定千位、百位、十位，①個位為0：___0，共4×4×3=48種選法；②個位為2：___2，共3×4×3=36種選法；③個位為4：___4，共3×4×3=36種選法，共120個.(法2)按千位分兩類(2/4或3/5)，依次確定千、個、百、十位，共2×2×4×3+2×3×4×3=48+72=120種選法.(法2)第1步：考慮千位和個位：有3×4－2=12種選擇；第2步：考慮百位，有4種選擇；第3步：考慮個位，有3種選擇；共(3×4－2)×4×3=120(個).個位取偶數(shù)千位不取0,11.組數(shù)問題解決組合數(shù)問題的方法1．對于組數(shù)問題，一般按特殊位置（一般指末位和首位）由誰占領(lǐng)分類，分類中再按特殊位置（或者特殊元素）優(yōu)先的方法分步完成．如果正面分類較多，可采用間接法從反面求解．2．解決組數(shù)問題時，應(yīng)特別注意其限制條件，有些條件是隱藏的，要善于挖掘．排數(shù)時，要注意特殊元素、特殊位置優(yōu)先的原則.[提醒]數(shù)字“0”不能排在兩位數(shù)字或兩位數(shù)字以上的數(shù)的最高位.1.組數(shù)問題2.選(抽)取與分配問題——直接法【例2.1】現(xiàn)有3名醫(yī)生、5名護士、2名麻醉師．(1)從中選派1名去參加外出學習，有多少種不同的選法？(2)從這些人中選出1名醫(yī)生、1名護士和1名麻醉師組成1個醫(yī)療小組，有多少種不同的選法？2.選(抽)取與分配問題——間接法【例2.2】高三年級的三個班到甲、乙、丙、丁四個工廠進行社會實踐，其中工廠甲必須有班級去，每班去何工廠可自由選擇，則不同的分配方案有__________種.(間接法)先計算3個班級自由選擇去何工廠的總數(shù)，再排除甲工廠無人去的情況，即有4×4×4－3×3×3＝37種分配方案．【變式】安排甲、乙、丙3名護士去6所醫(yī)院實習，每所醫(yī)院至多2人，則不同的分配方案共有________種.(間接法)先計算3名護士自由選擇去何醫(yī)院的總數(shù)，再排除3人到同一所醫(yī)院的情況，即有6×6×6－6＝210種分配方案.【例2.3】7名學生中，3名會下象棋但不會下圍棋，2名會下圍棋但不會下象棋，2名既會下象棋又會下圍棋，現(xiàn)從這7人中選出2人分別參加象棋比賽和圍棋比賽，共有____種不同的選法.3象2圍2多(法2)共3×2+2×2+3×2+2×1=18種選法.分區(qū)法(法1)第1步：選出會象棋的，有5種選擇；第2步：選出會圍棋的，有4種選擇；共5×4=20種選法.其中同個多面手2次均被選中的情況應(yīng)排除，故有20－2=18種選法排除法2.選(抽)取與分配問題——“多面手”問題2.選(抽)取與分配問題——“多面手”問題(法3)以“多面手”是否入選進行分類：①“多面手”不入選：先選會象棋的，再選會圍棋的，共3×2=6種選法;②“多面手”只有1名入選：先選多面手，再選另一名，共2×2+2×3=10種選法;③“多面手”2名都入選：有2種選法.綜上，共6+10+2=18種選法.【例2.3】7名學生中，3名會下象棋但不會下圍棋，2名會下圍棋但不會下象棋，2名既會下象棋又會下圍棋，現(xiàn)從這7人中選出2人分別參加象棋比賽和圍棋比賽，共有____種不同的選法.3象2圍2多【變式】某藝術(shù)小組有9人，每人至少會鋼琴和小號中的1種樂器，其中8人會鋼琴，5人會小號，從中選出會鋼琴和會小號的各1人，有____種不同的選法.(排除法)先選出會鋼琴的，有8種選擇;再選出會小號的，有5種選擇;共8×5=40種選法.排除其中同個多面手2次均被選中的情況，故有40－3=37種選法.(分區(qū)法)共5×3+3×2+5×2+3×2=37種選法.5鋼2小3多多A

多A多B

多B多C多C2.選(抽)取與分配問題——“多面手”問題3.涂色/種植問題【例3.1】如圖，要給標有字母A、B、C、D等的區(qū)域涂色，每格涂一色，同種顏色可用多次，但相鄰區(qū)域涂不同色.(1)若圖①有5種顏色可選，則不同的涂色方案有

種.析：依次涂A,B,C,D，共5×4×3×3=180種.5343CBAD圖①ABCD5343ABDC5343依次涂B,C,A,D，共5×4×3×3=180種.3.涂色/種植問題【例3.2】如圖，要給標有字母A、B、C、D等的區(qū)域涂色，每格涂一色，同種顏色可用多次，但相鄰區(qū)域須涂不同色.(2)若圖②有5種顏色可選，則不同的涂色方案有_____種；析：分步依次涂A,B,C,D,E，考慮B,D是否同色.①B,D同色：共5×4×3×1×3=180種涂法;②B,D不同色：共5×4×3×2×2=240種涂法.ABCDE543？圖②3或分步依次涂C,B,A,D,E，考慮B,D是否同色.【例3.3】將一個四棱錐的每個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端點顏色不同，如果只有5種顏色可供使用，求共有多少種不同的染色方法？SDCBA涂S點涂A點涂D點涂B、C點5437N＝5×4×3×7＝420（種）3.涂色/種植問題【例3.4】將3種作物全部種植在如圖所示的5塊試驗田中，每塊種植一種作物，且相鄰的試驗田不能種同一種作物，則不同的種植方法共有________種.析：依次種植5塊田，使得相鄰試驗田種不同作物，

共3×2×2×2×2=48種種法.其中只種2種作物的情況應(yīng)排除，共3×2=6種，故符合題意的種法共48－6=42種.3.涂色/種植問題課堂練習【練習1】如圖，要給地圖上標有字母A、B、C、D等的區(qū)域涂色，每格涂一色，同種顏色可使用多次，但相鄰區(qū)域須涂不同色，若圖③有5種顏色可選，則不同的涂色方案有____種；析：D的涂法取決于A,C是否同色分步依次涂A,B,C,D，考慮A,C是否同色①A,C同色：共5×4×1×4=80種涂法.②A,C不同色：共5×4×3×3=120種涂法.綜上，共有80+120=200種.或分步依次涂B,A,D,C，考慮B,D是否同色.54？圖③ADBC【練習2】用1,2,3三個數(shù)字組成一個四位數(shù)，規(guī)定這三個數(shù)必須全部使用且同一數(shù)字不能相鄰出現(xiàn)，這樣的四位數(shù)有_____個.3×2×2×2－6=18個.課堂練習【練習3】給圖④的5個頂點涂色，同一條線段的兩個端點不能同色，有4種顏色可選，則不同的涂色方法有___種.4322(法1)分步依次涂E,A,B,C,D；E(4)→A(3)→B(2)→C(2)→D(2)共4×3×2×2×2=96種.2圖④(法2)分步依次涂A,B,C,D,EA(4)→B(3)→C(與A同色?)→D(與B同色?)→E(?)分四類注：從與其有最多相鄰的區(qū)域或點開始考慮.課堂練習①按相對區(qū)域/頂點/面是否同色分類②空間平面化→平面區(qū)域涂色③按A,B,C,D…順序或從有最