8.6.3平面與平面垂直第1課時平面與平面垂直的判定定理——(教學(xué)方式：深化學(xué)習(xí)課—梯度進階式教學(xué))[課時目標(biāo)]1．理解二面角的有關(guān)概念，會作二面角的平面角，能求簡單二面角的平面角的大?。?．了解面面垂直的定義，掌握面面垂直的判定定理，初步學(xué)會用定理證明垂直關(guān)系．1．二面角的有關(guān)概念(1)定義：從一條直線出發(fā)的____________所組成的圖形．(2)相關(guān)概念：①這條直線叫做二面角的____，②兩個半平面叫做____________．(3)畫法：(4)記法：二面角__________或____________或__________或________．(5)二面角的平面角：若有：①O______l；②OA______α，OB______β；③OA____l，OB____l，則二面角α－l－β的平面角是______．(6)二面角的范圍：0°≤α≤180°.(7)直二面角：平面角是直角的二面角．|微|點|助|解|構(gòu)成二面角的平面角的三要素“棱上”“面內(nèi)”“垂直”．即二面角的平面角的頂點必須在棱上，角的兩邊必須分別在兩個半平面內(nèi)，角的兩邊必須都與棱垂直，這三個條件缺一不可．前兩個要素決定了二面角的平面角大小的唯一性，第三個要素決定了平面角所在的平面與棱垂直．2．平面與平面垂直(1)面面垂直的定義定義一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是________，就說這兩個平面互相垂直畫法畫兩個互相垂直的平面時，通常把表示平面的兩個平行四邊形的一組邊畫成垂直．如圖記作α⊥β(2)平面與平面垂直的判定定理文字語言圖形語言符號語言作用如果一個平面過另一個平面的______，那么這兩個平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥β,a?α))?α⊥β證面面垂直|微|點|助|解|(1)面面垂直的判定定理可簡述為“線面垂直?面面垂直”．要證明平面與平面垂直，只需轉(zhuǎn)化為證明直線與平面垂直．(2)觀察空間圖形時，不能以平面的觀點去看待，平面上畫的兩直線成銳角或鈍角，在空間中可能是垂直的．eq\a\vs4\al(基礎(chǔ)落實訓(xùn)練)1．如圖所示的二面角可記為()A．α－β－l B．M－l－NC．l－M－N D．l－β－α2．已知直線l⊥平面α，則經(jīng)過l且和α垂直的平面()A．有一個 B．有兩個C．有無數(shù)個 D．不存在3．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，則()A．α∥γ B．α⊥γC．α與γ相交但不垂直 D．以上都有可能4．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BC－A1的平面角等于______．題型(一)二面角的概念及其大小計算[例1]如圖所示，在△ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC，DE垂直平分SC，且分別交AC，SC于點D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E－BD－C的大小．聽課記錄：|思|維|建|模|1．求二面角大小的步驟簡稱為“一作二證三求”．2．確定二面角的平面角的方法(1)定義法：在二面角的棱上找一個特殊點，在兩個半平面內(nèi)分別過該點作垂直于棱的射線．(2)垂面法：過棱上一點作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個半平面產(chǎn)生交線，這兩條交線所成的角，即為二面角的平面角．[針對訓(xùn)練]1．在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝1，M為AC的中點，沿BM把它折成二面角，折后A與C的距離為1，則二面角C－BM－A的大小為()A．30° B．60°C．90° D．120°2．已知正四棱錐(底面為正方形各側(cè)面為全等的等腰三角形)的體積為12，底面對角線的長為2eq\r(6)，求側(cè)面與底面所成的二面角．題型(二)平面與平面垂直的判定[例2]如圖所示，在四面體ABCS中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC.求證：平面ABC⊥平面SBC.聽課記錄：[變式拓展]本例中，若SA＝SB＝SC＝2，其他條件不變，如何求三棱錐S－ABC的體積呢？|思|維|建|模|證明面面垂直常用的方法(1)定義法：即說明兩個半平面所成的二面角是直二面角；(2)判定定理法：在其中一個平面內(nèi)尋找一條直線與另一個平面垂直，即把問題轉(zhuǎn)化為“線面垂直”；(3)性質(zhì)法：兩個平行平面中的一個垂直于第三個平面，則另一個也垂直于此平面．[針對訓(xùn)練]3.如圖所示，四邊形ABCD是邊長為a的菱形，PC⊥平面ABCD，E是PA的中點，求證：平面BDE⊥平面ABCD.eq\a\vs4\al(課下請完成課時跟蹤檢測三十八)8．6.3平面與平面垂直第1課時平面與平面垂直的判定定理課前預(yù)知教材1．(1)兩個半平面(2)①棱②二面角的面(4)α-l-βα-AB-βP-l-QP-AB-Q(5)①∈②??③⊥⊥∠AOB2．(1)直二面角(2)垂線[基礎(chǔ)落實訓(xùn)練]1．B2．選C經(jīng)過l的任一平面都和α垂直．3．D4．解析：根據(jù)正方體中的位置關(guān)系可知，AB⊥BC，A1B⊥BC，根據(jù)二面角平面角定義可知，∠ABA1即為二面角A-BC-A1的平面角．又AB＝AA1，且AB⊥AA1，所以∠ABA1＝45°.答案：45°課堂題點研究[題型(一)][例1]解：因為E為SC的中點，且SB＝BC，所以BE⊥SC.又DE⊥SC，BE∩DE＝E，BE，DE?平面BDE，所以SC⊥平面BDE.所以BD⊥SC.又SA⊥平面ABC，可得SA⊥BD，SC∩SA＝S，SC，SA?平面SAC，所以BD⊥平面SAC.從而BD⊥AC，BD⊥DE.所以∠EDC為二面角E-BD-C的平面角．設(shè)SA＝AB＝1，在△ABC中，因為AB⊥BC，所以SB＝BC＝eq\r(2)，AC＝eq\r(3)，所以SC＝2.在Rt△SAC中，∠DCS＝30°，所以∠EDC＝60°，即二面角E-BD-C為60°.[針對訓(xùn)練]1.選C如圖，由A′B＝BC＝1，∠A′BC＝90°得A′C＝eq\r(2).因為M為A′C的中點，所以MC＝AM＝eq\f(\r(2),2)，且CM⊥BM，AM⊥BM，所以∠CMA為二面角C-BM-A的平面角．因為AC＝1，MC＝MA＝eq\f(\r(2),2)，所以∠CMA＝90°.2．解：設(shè)正四棱錐為S-ABCD，如圖所示，高為h，底面邊長為a，則2a2＝(2eq\r(6))2，∴a2＝12.又eq\f(1,3)a2h＝12，∴h＝eq\f(36,a2)＝3.設(shè)O為S在底面上的射影，作OE⊥CD于E，連接SE，可知SE⊥CD，∠SEO為所求二面角的平面角．∴tan∠SEO＝eq\f(h,\f(a,2))＝eq\f(3×2,\r(12))＝eq\f(2×3,2\r(3))＝eq\r(3).∴∠SEO＝60°.∴側(cè)面與底面所成二面角的大小為60°.[題型(二)][例2]證明：法一：(利用定義證明)因為∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，所以△ASB和△ASC是等邊三角形，則有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，令其值為a，則△ABC和△SBC為共底邊BC的等腰三角形．取BC的中點D，如圖所示，連接AD，SD，則AD⊥BC，SD⊥BC，所以∠ADS為二面角A-BC-S的平面角．在Rt△BSC中，因為SB＝SC＝a，所以SD＝eq\f(\r(2),2)a，BD＝eq\f(BC,2)＝eq\f(\r(2),2)a.在Rt△ABD中，AD＝eq\f(\r(2),2)a.在△ADS中，因為SD2＋AD2＝SA2，所以∠ADS＝90°，即二面角A-BC-S為直二面角，故平面ABC⊥平面SBC.法二：(利用判定定理)因為SA＝SB＝SC，且∠BSA＝∠CSA＝60°，所以SA＝AB＝AC.所以點A在平面SBC上的射影為△SBC的外心．因為△SBC為等腰直角三角形，所以點A在△SBC上的射影D為斜邊BC的中點．所以AD⊥平面SBC.又因為AD?平面ABC，所以平面ABC⊥平面SBC.[變式拓展]解：由例2可得SD⊥AD.又因為SD⊥BC，AD∩BC＝D，所以SD⊥平面ABC，即SD的長就是頂點S到底面ABC的距離．因為S△ABC＝eq\f(1,2)×BC×AD＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\r(2)＝2