20252026學(xué)年度上學(xué)期高二年級(jí)期中測評(píng)數(shù)學(xué)試卷考試時(shí)間：2025年11月21日下午14：3016：30試卷滿分：150分★?？荚図樌镒⒁馐马?xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡規(guī)定的位置上.2.答選擇題時(shí)必須使用鉛筆，將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).3.答非選擇題時(shí)，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上.4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效.5.考試結(jié)束后，將試題卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.某直線的斜率為，則此直線的傾斜角為（）A.0 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直線斜率與傾斜角的關(guān)系求解.故選：C.【答案】B【解析】【分析】結(jié)合平行六面體的性質(zhì)，根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算性質(zhì)求解即可.故選：B.A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)互斥事件定義、并事件概率公式直接求解即可.故選：B.4.某次朗誦比賽，9位評(píng)委分別給某選手評(píng)分，最后去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，得到7個(gè)有效分.7個(gè)有效分與9個(gè)原始分比較，一定不變的數(shù)字特征是（）A.平均數(shù) B.中位數(shù) C.眾數(shù) D.方差【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差的概念和性質(zhì)，判斷正確結(jié)果.【詳解】對于A：平均數(shù)有效分={1，1，1，1，1，1，8}，有效平均數(shù)=2.平均數(shù)改變，因此不滿足“一定不變”，故A錯(cuò)誤；對于B：中位數(shù)原始9個(gè)分?jǐn)?shù)排序后，中位數(shù)是第5個(gè)值（奇數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)）.去掉最高分（第9個(gè)）和最低分（第1個(gè)）后，剩余7個(gè)分?jǐn)?shù)排序后為原序列的第2至第8個(gè)值，其中位數(shù)是第4個(gè)值，正好對應(yīng)原序列的第5個(gè)值.因此，無論原始分如何，中位數(shù)一定不變.故B正確；對于C：眾數(shù)眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的值.移除最高和最低分可能改變頻率分布，導(dǎo)致眾數(shù)改變.例如，原始分={1，1，2，3，4，5，6，7，7}，眾數(shù)為1和7（各出現(xiàn)2次）；有效分={1，2，3，4，5，6，7}，所有值出現(xiàn)1次，無眾數(shù)（改變）.因此不滿足“一定不變”，故C錯(cuò)誤；對于D：方差方差衡量數(shù)據(jù)離散程度。移除極端值（最高和最低分）通常會(huì)減小方差，因?yàn)闇p少了數(shù)據(jù)波動(dòng).例如，原始分={1，8，8，8，8，8，8，8，9}，方差大于0；有效分={8，8，8，8，8，8，8}，方差=0（減?。?因此不滿足“一定不變”，故D錯(cuò)誤.故選：B.【答案】A【解析】【分析】求出兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合方向向量求出直線方程.故選：AA. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用空間向量的數(shù)量求出，再利用向量夾角公式求解即得.所以向量與的夾角為.故選：D7.為了關(guān)注學(xué)生的健康成長，某學(xué)校開展了一次高一年級(jí)學(xué)生身高的抽樣調(diào)查，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，將他們的身高劃分成了A，B，C，D，E五個(gè)層次，根據(jù)抽樣結(jié)果得到如下統(tǒng)計(jì)圖，則從圖中能得出的信息是（）A.樣本中A層次身高的女生少于男生B.樣本中B層次身高的學(xué)生人數(shù)最多C.樣本中D層次身高的學(xué)生人數(shù)占總?cè)藬?shù)的17%D.樣本中E層次身高的男生有6人【答案】ABC【解析】【分析】由題中統(tǒng)計(jì)圖可判斷各選項(xiàng)正誤.對于B，因?yàn)槟猩蠦層次身高的人數(shù)比例最大，女生中B層次身高的人數(shù)比例也最大，所以樣本中B層次身高的學(xué)生人數(shù)最多．故B正確；故選：ABC【答案】D【解析】取的中點(diǎn)，連接、，由球的幾何性質(zhì)可知，當(dāng)、、三點(diǎn)共線且點(diǎn)在線段上時(shí)，故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間多面體的外接球半徑的常用方法：①補(bǔ)形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)舛娼蔷嗟鹊哪Ｐ停梢赃€原到正方體或長方體中去求解；②利用球的性質(zhì)：幾何體中在不同面均對直角的棱必然是球大圓直徑，也即球的直徑；③定義法：到各個(gè)頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)帶其他頂點(diǎn)距離也是半徑，列關(guān)系求解即可.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有錯(cuò)選的得0分.9.下列四種抽樣中，不是簡單隨機(jī)抽樣的是（）A.從一個(gè)不透明的盒中，抽取2個(gè)球（盒中每個(gè)球的大小和質(zhì)感一樣）B.一節(jié)公開課，老師點(diǎn)了7位同學(xué)回答問題或板書C.根據(jù)某校學(xué)生的學(xué)籍號(hào)，教務(wù)處利用電腦軟件抽取了20名學(xué)生D.利用投擲硬幣的方法，選出一個(gè)班級(jí)中所有擲出正面的學(xué)生【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)簡單隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)逐一分析即可.【詳解】簡單隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)是總體中的個(gè)體有限，從總體中逐個(gè)進(jìn)行抽取，每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)均等，抽樣是隨機(jī)、無差別的；對于A，從一個(gè)不透明的盒中，抽取2個(gè)球，所有球被抽到的可能性相同，故A是簡單隨機(jī)抽樣；對于B，老師點(diǎn)名有自己主觀的考量，因此每位同學(xué)被抽到的可能性并不相同，故B不是簡單隨機(jī)抽樣；對于C，根據(jù)學(xué)籍號(hào)，并用電腦軟件抽取，避免了人為因素的影響，從客觀角度看，每位同學(xué)被抽到的可能性相同，故C是簡單隨機(jī)抽樣；對于D，利用投擲硬幣的方法，選出一個(gè)班級(jí)中所有擲出正面的學(xué)生，此方法選出的樣本容量不固定，不是簡單隨機(jī)抽樣.故選：BD.【答案】ABD【解析】【分析】結(jié)合兩直線平行性質(zhì)，利用充要條件概念判斷A；利用兩直線垂直建立方程求解即可判斷B；將直線化為斜截式后利用縱截距列不等式求解判斷C；先求出直線關(guān)于原點(diǎn)對稱的直線，利用縱截距列式求解判斷D.故選：ABD【答案】ACD【解析】【分析】由題意，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)公式，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)空間向量公式，可得答案.【詳解】由題意，如圖建系：故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知一組數(shù)據(jù)1，3，5，的平均數(shù)為4，則這組數(shù)據(jù)的方差為________.【答案】5【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)列方程求出的值，再結(jié)合方差的定義即可求解.故答案：.【答案】4【解析】但不喜歡英語興趣小組，故表示的區(qū)域?yàn)?.故答案為：4【答案】【解析】【分析】根據(jù)分式的性質(zhì)，求出參數(shù)之間的等量關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式，求出結(jié)果.故答案為：.四、解答題：本題共5小題.共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.某多選題有，，，四個(gè)選項(xiàng).（1）若已知有且僅有兩個(gè)選項(xiàng)正確，則隨機(jī)任選兩項(xiàng)，能全對的概率是多少；（2）若已知有且僅有三個(gè)選項(xiàng)正確，則隨機(jī)任選兩項(xiàng)，能得分（不是0分）的概率是多少？【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）列出所有選法，共6種，全對的有且只有一種，所以全對的概率為；【小問1詳解】其中只有1種全對，所以全對的概率為；【小問2詳解】若正確答案為其它，同理可得.方法三：假設(shè)選的是，其概率為.16.已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱CC1上的動(dòng)點(diǎn)．（1）求證：A1E⊥BD；（2）若平面A1BD⊥平面EBD，試確定E點(diǎn)的位置．【答案】（1）證明見解析；（2）E為CC1的中點(diǎn).【解析】【分析】以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD1為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.（2）求出面A1BD與面EBD的法向量，根據(jù)法向量垂直計(jì)算即可．【詳解】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)正方體棱長為a，則A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，A1(a，0，a)，C1(0，a，a)．設(shè)E(0，a，e)(0≤e≤a)．（1）＝(－a，a，e－a)，＝(－a，－a，0)，（2）設(shè)平面A1BD，平面EBD的法向量分別為＝(x1，y1，z1)，＝(x2，y2，z2)．∵＝(a，a，0)，＝(a，0，a)，＝(0，a，e)取x1＝x2＝1，得＝(1，－1，－1)，＝(1，－1，)．由平面A1BD⊥平面EBD得⊥.∴2－＝0，即e＝.∴當(dāng)E為CC1的中點(diǎn)時(shí)，平面A1BD⊥平面EBD.（1）求直線的方程和線段長度；（2）；【解析】【小問1詳解】【小問2詳解】【小問3詳解】18.文明城市是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽(yù)稱號(hào)，作為普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要?jiǎng)?chuàng)造者.某市為提高市民對文明城市創(chuàng)建的認(rèn)識(shí)，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識(shí)競賽，從所有答卷中隨機(jī)抽取100份作為樣本，將樣本的成績（滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：[40,50)，[50,60)，，[90,100]得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求頻率分布直方圖中的值及樣本成績的第75百分位數(shù)；（2）求樣本成績的眾數(shù)，中位數(shù)和平均數(shù)；（2）眾數(shù)為75，中位數(shù)為75，平均數(shù)為74；（3）平均數(shù)為62，方差為37.【解析】（2）根據(jù)直方圖，及眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)求法求值；（