江蘇南京大學(xué)本科數(shù)學(xué)公務(wù)員考試試卷考試時長：120分鐘滿分：100分班級：__________姓名：__________學(xué)號：__________得分：__________試卷名稱：江蘇南京大學(xué)本科數(shù)學(xué)公務(wù)員考試試卷考核對象：報考公務(wù)員的南京大學(xué)本科數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生題型分值分布：-判斷題（10題，每題2分）總分20分-單選題（10題，每題2分）總分20分-多選題（10題，每題2分）總分20分-案例分析（3題，每題6分）總分18分-論述題（2題，每題11分）總分22分總分：100分---一、判斷題（每題2分，共20分）1.函數(shù)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)。2.級數(shù)∑_{n=1}^∞(1/n)是收斂的。3.若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則必存在c∈(a,b)使得f(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)。4.向量空間中的基是線性無關(guān)的且能生成整個空間。5.矩陣的秩等于其行向量組的秩。6.若A是可逆矩陣，則det(A)≠0。7.偏導(dǎo)數(shù)f_{x}(x,y)存在意味著函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處可微。8.若級數(shù)∑_{n=1}^∞a_n收斂，則∑_{n=1}^∞a_n^2也收斂。9.拉格朗日中值定理要求函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間上可導(dǎo)。10.若向量組線性相關(guān)，則其中任意向量都可由其他向量線性表示。二、單選題（每題2分，共20分）1.函數(shù)f(x)=x^3-3x+1的極值點(diǎn)個數(shù)為（）。A.0B.1C.2D.32.級數(shù)∑_{n=1}^∞(-1)^n/n^2的斂散性為（）。A.發(fā)散B.條件收斂C.絕對收斂D.無法判斷3.函數(shù)f(x)=e^x在區(qū)間[0,1]上的平均值是（）。A.e-1B.1C.e/2D.1/e4.若向量組{(1,0,1),(0,1,1),(1,1,k)}線性無關(guān)，則k的取值為（）。A.0B.1C.2D.任意值5.矩陣A=[12;34]的逆矩陣為（）。A.[1-2;-34]B.[-42;3-1]C.[4-2;-31]D.[12;-34]6.函數(shù)f(x,y)=x^2+y^2在點(diǎn)(0,0)處的梯度為（）。A.(0,0)B.(1,1)C.(2,2)D.(0,1)7.若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)且單調(diào)遞增，則其反函數(shù)存在且單調(diào)（）。A.遞增B.遞減C.不確定D.無法判斷8.矩陣A的秩為3，則其伴隨矩陣的秩為（）。A.0B.1C.3D.49.若向量場F(x,y)=(-y,x)在平面內(nèi)做功，則其保守性為（）。A.保守B.非保守C.無法判斷D.依賴路徑10.級數(shù)∑_{n=1}^∞(1/n!)的收斂半徑為（）。A.1B.2C.∞D(zhuǎn).0三、多選題（每題2分，共20分）1.下列函數(shù)中在x→0時等價于1的是（）。A.sin(x)B.1-x^2C.e^x-1D.tan(x)2.矩陣A可逆的充要條件是（）。A.det(A)≠0B.A的行向量組線性無關(guān)C.A的列向量組線性無關(guān)D.A有n個非零特征值3.若函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處可微，則（）。A.偏導(dǎo)數(shù)存在B.全微分存在C.曲面在該點(diǎn)有切平面D.函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)4.下列級數(shù)中絕對收斂的是（）。A.∑_{n=1}^∞(-1)^n/nB.∑_{n=1}^∞(1/n^2)C.∑_{n=1}^∞(1/n^3)D.∑_{n=1}^∞(-1)^n/n^25.向量空間R^3的基可以是（）。A.{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}B.{(1,1,1),(1,0,1),(0,1,1)}C.{(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}D.{(1,1,1),(1,1,0),(1,0,1)}6.矩陣A的秩為2，則其（）。A.可逆B.有兩個線性無關(guān)的列向量C.行向量組線性無關(guān)D.伴隨矩陣的秩為27.下列函數(shù)中在[0,1]上可積的是（）。A.f(x)=1/xB.f(x)=sin(x)C.f(x)=x^2D.f(x)=1/(x+1)8.若向量場F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j是保守場，則（）。A.?P/?y=?Q/?xB.F的旋度為0C.F沿任意閉曲線做功為0D.F存在勢函數(shù)9.級數(shù)∑_{n=1}^∞a_n收斂的必要條件是（）。A.a_n→0（n→∞）B.a_n單調(diào)遞減C.a_n^2收斂D.a_n絕對收斂10.下列命題正確的是（）。A.若A可逆，則det(A^T)=det(A)B.若A可逆，則A的轉(zhuǎn)置也可逆C.若A不可逆，則det(A)=0D.若A可逆，則A的逆矩陣也可逆四、案例分析（每題6分，共18分）1.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2，求其極值點(diǎn)及對應(yīng)的極值。2.向量組{(1,1,1),(1,2,3),(1,3,6)}是否線性相關(guān)？若線性相關(guān)，求其中一個向量由其他向量線性表示的表達(dá)式。3.計算二重積分?_{D}xy^2dA，其中D是由x=0，y=0，x+y=1圍成的區(qū)域。五、論述題（每題11分，共22分）1.證明：若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)且單調(diào)遞增，則其反函數(shù)存在且單調(diào)遞增。2.討論向量場的保守性與路徑無關(guān)性的關(guān)系，并舉例說明。---標(biāo)準(zhǔn)答案及解析一、判斷題1.×（極值點(diǎn)也可能是邊界點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)，如f(x)=|x|在x=0處有極值但不可導(dǎo)）2.×（調(diào)和級數(shù)發(fā)散）3.√（拉格朗日中值定理）4.√（基的定義）5.√（矩陣秩等于其行向量組的秩）6.√（可逆矩陣的行列式非零）7.×（可導(dǎo)不一定可微，如f(x)=|x|在x=0處可導(dǎo)但不可微）8.√（絕對收斂的子級數(shù)必收斂）9.√（拉格朗日中值定理的條件）10.√（線性相關(guān)向量組中至少一個向量可由其他向量線性表示）二、單選題1.C（f'(x)=3x^2-6x，駐點(diǎn)x=0,2，f(0)=2，f(2)=0，極值點(diǎn)為0,2）2.C（絕對收斂）3.A（平均值為∫_0^1(x^3-3x+1)dx=e-1）4.C（行列式為1，k=2時秩為3）5.B（det(A)=-2≠0，A^(-1)=(-42;3-1)）6.B（?f=(2x,2y)|(0,0)=(1,1)）7.A（反函數(shù)存在且單調(diào)遞增）8.C（秩為n-1時伴隨矩陣秩為1）9.A（F是保守場，?×F=0）10.C（收斂半徑R=1/lim_{n→∞}|a_{n+1}/a_n|=∞）三、多選題1.A,B,C（sin(x)≈x，1-x^2≈1，e^x-1≈x）2.A,B,C（det(A)≠0?行/列向量組線性無關(guān)?A可逆）3.A,B,C,D（可微?偏導(dǎo)數(shù)存在?全微分存在?連續(xù)且切平面存在）4.B,C,D（p級數(shù)收斂當(dāng)p>1）5.A,B（標(biāo)準(zhǔn)基和線性無關(guān)向量組）6.B,D（秩為2?有兩個線性無關(guān)列向量?伴隨矩陣秩為2）7.B,C,D（sin(x),x^2,(x+1)^(-1)在[0,1]上黎曼可積）8.A,B,C,D（保守場?旋度為0?沿閉曲線做功為0?存在勢函數(shù)）9.A（必要條件）10.A,B,C,D（均為線性代數(shù)基本性質(zhì)）四、案例分析1.解：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，駐點(diǎn)x=0,2，f''(x)=6x-6，f''(0)=-6<0（極小值），f''(2)=6>0（極大值），極小值為f(0)=2，極大值為f(2)=0。2.解：向量組線性相關(guān)?行列式為0，det=[111;123;136]=0，取第三個向量=第一個向量+第二個向量，即(1,3,6)=(1,1,1)+(1,2,3)。3.解：積分區(qū)域D：0≤x≤1，0≤y≤1-x，?_Dxy^2dA=∫_0^1x∫_0^{1-x}y^2dydx=∫_0^1x[(1-x)^3/3]dx=1/12。五、論述題1.證明：設(shè)f在[a,b]上連續(xù)且單調(diào)遞增，對任意y∈f([a,b])，