一、知識(shí)鋪墊：二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的基本邏輯演講人知識(shí)鋪墊：二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的基本邏輯總結(jié)：從“相切”看二次函數(shù)的核心關(guān)聯(lián)常見(jiàn)誤區(qū)與深化理解相切條件的應(yīng)用：從理論到實(shí)踐相切條件的雙重驗(yàn)證：代數(shù)與幾何的統(tǒng)一目錄2025九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)二次函數(shù)圖像與x軸相切條件判斷課件引言：從“拋物線的相遇”說(shuō)起各位同學(xué)，當(dāng)我們?cè)诰拍昙?jí)接觸二次函數(shù)時(shí)，已經(jīng)知道它的圖像是一條拋物線。這條曲線與x軸的位置關(guān)系，就像兩個(gè)朋友的相遇——有時(shí)擦肩而過(guò)（無(wú)交點(diǎn)），有時(shí)牽手同行（兩個(gè)交點(diǎn)），而最特別的是“剛好觸碰到”的瞬間（一個(gè)交點(diǎn)）。今天我們要深入探討的，正是這種“剛好觸碰到”的特殊情形——二次函數(shù)圖像與x軸相切的條件。在正式學(xué)習(xí)前，我想先問(wèn)大家一個(gè)問(wèn)題：你們是否觀察過(guò)生活中的拋物線？比如籃球拋出的軌跡、噴泉的水線，或者橋梁的拱頂。這些拋物線有的會(huì)“吻”到地面（x軸）后彈起，有的則高高掠過(guò)。這種“吻”的瞬間，就是數(shù)學(xué)中“相切”的直觀體現(xiàn)。接下來(lái)，我們將從代數(shù)和幾何兩個(gè)維度，逐步揭開(kāi)這個(gè)現(xiàn)象背后的數(shù)學(xué)規(guī)律。01知識(shí)鋪墊：二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的基本邏輯知識(shí)鋪墊：二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的基本邏輯要理解“相切”的條件，首先需要回顧二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的本質(zhì)。1二次函數(shù)的代數(shù)表達(dá)與圖像特征二次函數(shù)的一般形式是(y=ax^2+bx+c)（(a\neq0)），其圖像是一條拋物線。拋物線的開(kāi)口方向由二次項(xiàng)系數(shù)(a)決定：當(dāng)(a>0)時(shí)，開(kāi)口向上；當(dāng)(a<0)時(shí)，開(kāi)口向下。拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(\left(-\frac{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right))，這是拋物線的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)。2二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的代數(shù)本質(zhì)x軸上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)(y=0)，因此二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題，等價(jià)于求解方程(ax^2+bx+c=0)的實(shí)數(shù)根。根據(jù)一元二次方程根的判別式(\Delta=b^2-4ac)，我們知道：當(dāng)(\Delta>0)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，對(duì)應(yīng)拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；當(dāng)(\Delta=0)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根（即一個(gè)實(shí)根），對(duì)應(yīng)拋物線與x軸有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)(\Delta<0)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根，對(duì)應(yīng)拋物線與x軸無(wú)交點(diǎn)。這里的“一個(gè)公共點(diǎn)”，就是我們今天的核心——“相切”。3從幾何視角理解“相切”拋物線與x軸相切，意味著拋物線僅在某一點(diǎn)與x軸接觸，且在該點(diǎn)處拋物線不會(huì)穿過(guò)x軸（即該點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)）。例如，開(kāi)口向上的拋物線若頂點(diǎn)在x軸上，那么它只會(huì)在頂點(diǎn)處與x軸接觸一次；開(kāi)口向下的拋物線同理。因此，“相切”的幾何本質(zhì)是：拋物線的頂點(diǎn)位于x軸上。02相切條件的雙重驗(yàn)證：代數(shù)與幾何的統(tǒng)一相切條件的雙重驗(yàn)證：代數(shù)與幾何的統(tǒng)一既然“相切”對(duì)應(yīng)方程有兩個(gè)相等實(shí)根（代數(shù)）和頂點(diǎn)在x軸上（幾何），我們需要證明這兩個(gè)條件是等價(jià)的，從而形成完整的判斷邏輯。1代數(shù)條件：判別式(\Delta=0)從方程(ax^2+bx+c=0)的求根公式(x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a})可知，當(dāng)(\Delta=0)時(shí)，根為(x=-\frac{2a})（重根）。此時(shí)，拋物線與x軸僅在(\left(-\frac{2a},0\right))處相交，這是唯一的交點(diǎn)，符合“相切”的定義。示例1：判斷二次函數(shù)(y=x^2-2x+1)的圖像是否與x軸相切。解：計(jì)算判別式(\Delta=(-2)^2-4\times1\times1=4-4=0)，因此(\Delta=0)，該拋物線與x軸相切，切點(diǎn)為(x=-\frac{-2}{2\times1}=1)，即點(diǎn)((1,0))。2幾何條件：頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為0拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(\left(-\frac{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right))，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為(\frac{4ac-b^2}{4a})。若頂點(diǎn)在x軸上，則縱坐標(biāo)必須為0，即(\frac{4ac-b^2}{4a}=0)。兩邊同乘(4a)（(a\neq0)），得(4ac-b^2=0)，即(b^2=4ac)，這與判別式(\Delta=b^2-4ac=0)完全一致。示例2：已知二次函數(shù)(y=2x^2+bx+8)的圖像與x軸相切，求(b)的值。2幾何條件：頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為0解：方法一（代數(shù)）：由(\Delta=b^2-4\times2\times8=0)，得(b^2-64=0)，故(b=\pm8)。方法二（幾何）：頂點(diǎn)縱坐標(biāo)(\frac{4\times2\times8-b^2}{4\times2}=0)，即(64-b^2=0)，同樣得(b=\pm8)。3兩種條件的等價(jià)性總結(jié)通過(guò)上述推導(dǎo)可知，“判別式(\Delta=0)”與“頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為0”是完全等價(jià)的條件。這體現(xiàn)了代數(shù)與幾何的內(nèi)在統(tǒng)一：代數(shù)上的“重根”對(duì)應(yīng)幾何上的“頂點(diǎn)在x軸”，二者共同刻畫(huà)了拋物線與x軸相切的本質(zhì)。03相切條件的應(yīng)用：從理論到實(shí)踐相切條件的應(yīng)用：從理論到實(shí)踐理解相切條件后，我們需要學(xué)會(huì)在不同情境中應(yīng)用這一知識(shí)，解決具體問(wèn)題。1已知函數(shù)表達(dá)式，判斷是否相切這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是計(jì)算判別式(\Delta)，若(\Delta=0)，則相切；否則不相切。示例3：判斷(y=-3x^2+6x-3)與x軸的位置關(guān)系。解：計(jì)算(\Delta=6^2-4\times(-3)\times(-3)=36-36=0)，因此該拋物線與x軸相切，切點(diǎn)為(x=-\frac{6}{2\times(-3)}=1)，即點(diǎn)((1,0))。2已知相切，求參數(shù)值這類(lèi)問(wèn)題需要利用(\Delta=0)建立方程，解出未知參數(shù)。示例4：若二次函數(shù)(y=kx^2+(k-2)x+1)的圖像與x軸相切，求(k)的值。解：由相切條件(\Delta=0)，得((k-2)^2-4\timesk\times1=0)，展開(kāi)得(k^2-4k+4-4k=0)，即(k^2-8k+4=0)。解得(k=\frac{8\pm\sqrt{64-16}}{2}=\frac{8\pm\sqrt{48}}{2}=4\pm2\sqrt{3})。注意：此處需確保二次項(xiàng)系數(shù)(k\neq0)，而(4\pm2\sqrt{3})均不為0，故解有效。3實(shí)際問(wèn)題中的相切分析二次函數(shù)在實(shí)際生活中常用來(lái)描述拋物線型軌跡，如投擲物體的運(yùn)動(dòng)路徑、拱橋的形狀等。判斷這類(lèi)問(wèn)題中的“相切”，本質(zhì)仍是判斷頂點(diǎn)是否在x軸（或指定直線）上。示例5：一位同學(xué)投擲鉛球，其運(yùn)動(dòng)軌跡可近似為二次函數(shù)(y=-\frac{1}{12}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{5}{3})（單位：米，(x)為水平距離，(y)為高度）。問(wèn)鉛球是否會(huì)觸碰到地面（x軸）？若觸碰，是“輕輕擦過(guò)”（相切）還是“砸出兩個(gè)坑”（兩個(gè)交點(diǎn)）？解：地面對(duì)應(yīng)(y=0)，即解方程(-\frac{1}{12}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}=0)。兩邊乘-12得(x^2-8x-20=0)，計(jì)算判別式(\Delta=(-8)^2-4\times1\times(-20)=64+80=144>0)，因此有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，說(shuō)明鉛球會(huì)落地兩次？這顯然不符合實(shí)際——因?yàn)殂U球投擲后只會(huì)落地一次。3實(shí)際問(wèn)題中的相切分析這里的問(wèn)題出在哪里？原來(lái)，二次函數(shù)描述的是鉛球從出手到落地的完整軌跡，但實(shí)際中(x)應(yīng)取非負(fù)值（水平距離不能為負(fù)）。解方程得(x=\frac{8\pm\sqrt{144}}{2}=\frac{8\pm12}{2})，即(x=10)或(x=-2)。由于(x=-2)無(wú)實(shí)際意義，因此鉛球僅在(x=10)米處落地，此時(shí)軌跡與x軸有一個(gè)有效交點(diǎn)，但代數(shù)上判別式(\Delta>0)，說(shuō)明存在兩個(gè)數(shù)學(xué)上的交點(diǎn)，其中一個(gè)是“虛擬”的（負(fù)水平距離）。這提醒我們：實(shí)際問(wèn)題中需結(jié)合變量的實(shí)際意義，對(duì)解進(jìn)行篩選。但“相切”的條件（(\Delta=0)）在數(shù)學(xué)上是嚴(yán)格的，無(wú)論變量是否有實(shí)際限制，只要(\Delta=0)，拋物線就與x軸僅有一個(gè)公共點(diǎn)。04常見(jiàn)誤區(qū)與深化理解常見(jiàn)誤區(qū)與深化理解在學(xué)習(xí)過(guò)程中，同學(xué)們?nèi)菀壮霈F(xiàn)以下誤區(qū)，需要特別注意：1忽略二次項(xiàng)系數(shù)(a\neq0)例如，若題目給出“函數(shù)(y=ax^2+bx+c)與x軸相切”，隱含條件是(a\neq0)（否則是一次函數(shù)，圖像為直線，與x軸要么相交要么平行，不存在“相切”）。示例6：若函數(shù)(y=(m-1)x^2+2x+1)與x軸相切，求(m)的值。錯(cuò)誤解法：直接令(\Delta=2^2-4(m-1)\times1=0)，得(4-4m+4=0)，即(m=2)。1忽略二次項(xiàng)系數(shù)(a\neq0)正確解法：除了(\Delta=0)，還需(m-1\neq0)（即(m\neq1)）。而(m=2)滿足(m\neq1)，故解正確。若題目改為(y=(m^2-1)x^2+2x+1)，則需(m^2-1\neq0)，即(m\neq\pm1)。2混淆“頂點(diǎn)在x軸”與“函數(shù)值為0”頂點(diǎn)在x軸上時(shí)，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0，但函數(shù)在其他點(diǎn)的函數(shù)值可能為正或負(fù)（取決于開(kāi)口方向）。例如，(y=(x-1)^2)的頂點(diǎn)在((1,0))，開(kāi)口向上，當(dāng)(x\neq1)時(shí)，(y>0)，這說(shuō)明“相切”點(diǎn)是函數(shù)的最小值點(diǎn)（或最大值點(diǎn)）。3誤用判別式符號(hào)部分同學(xué)可能記錯(cuò)判別式與根的關(guān)系，例如認(rèn)為(\Delta\geq0)時(shí)拋物線與x軸相切。需明確：(\Delta>0)對(duì)應(yīng)兩個(gè)交點(diǎn)，(\Delta=0)對(duì)應(yīng)一個(gè)交點(diǎn)（相切），(\Delta<0)對(duì)應(yīng)無(wú)交點(diǎn)。05總結(jié)：從“相切”看二次函數(shù)的核心關(guān)聯(lián)總結(jié)：從“相切”看二次函數(shù)的核心關(guān)聯(lián)回顧整節(jié)課，我們圍繞“二次函數(shù)圖像與x軸相切的條件”展開(kāi)，主要收獲如下：1知識(shí)層面相切的代數(shù)條件：判別式(\Delta=b^2-4ac=0)；01相切的幾何條件：拋物線的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為0（即頂點(diǎn)在x軸上）；02兩者等價(jià)，共同揭示了代數(shù)方程與幾何圖像的內(nèi)在聯(lián)系。032思想方法層面數(shù)形結(jié)合：通過(guò)代數(shù)計(jì)算（判別式）驗(yàn)證幾何現(xiàn)象（頂點(diǎn)位置），體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中“數(shù)”與“形”的統(tǒng)一；01分類(lèi)討論：根據(jù)判別式符號(hào)，將二次函數(shù)與x軸的位置關(guān)系分為三類(lèi)（無(wú)交點(diǎn)、一個(gè)交點(diǎn)、兩個(gè)交點(diǎn)），培養(yǎng)邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性；02實(shí)際應(yīng)用：將數(shù)學(xué)知識(shí)與生活情境結(jié)合（如運(yùn)動(dòng)軌跡、工程設(shè)計(jì)），體會(huì)數(shù)學(xué)的實(shí)用性。033學(xué)習(xí)建議多畫(huà)圖：通過(guò)繪制拋物線圖像，直觀感受相切時(shí)的頂點(diǎn)位置；多練習(xí)：通過(guò)不同類(lèi)型的題目（判斷相切