一、課程引言：從生活現(xiàn)象到數(shù)學(xué)本質(zhì)的聯(lián)結(jié)演講人課程引言：從生活現(xiàn)象到數(shù)學(xué)本質(zhì)的聯(lián)結(jié)壹基礎(chǔ)鋪墊：位似圖形的定義與核心性質(zhì)貳分步拆解：位似圖形的標(biāo)準(zhǔn)作圖流程叁拓展深化：不同場景下的作圖變式肆易錯(cuò)警示：學(xué)生常見錯(cuò)誤與規(guī)避策略伍實(shí)戰(zhàn)應(yīng)用：從例題到綜合題的能力提升陸目錄課程總結(jié)：位似圖形作圖的核心邏輯柒2025九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊位似圖形作圖步驟詳解課件01課程引言：從生活現(xiàn)象到數(shù)學(xué)本質(zhì)的聯(lián)結(jié)課程引言：從生活現(xiàn)象到數(shù)學(xué)本質(zhì)的聯(lián)結(jié)各位同學(xué)，當(dāng)我們用相機(jī)拍攝景物時(shí)，照片中的圖像與實(shí)際景物存在一種特殊的“縮放”關(guān)系——既保持形狀完全相同，又通過比例放大或縮??；當(dāng)工程師繪制建筑圖紙時(shí)，藍(lán)圖上的每一條線都與實(shí)際建筑成固定比例，且所有對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線都會(huì)匯聚到同一點(diǎn)。這種現(xiàn)象背后，隱藏著初中幾何中一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)：位似圖形。作為九年級(jí)下冊“圖形的相似”章節(jié)的核心內(nèi)容，位似圖形不僅是相似圖形的特殊形式，更是后續(xù)學(xué)習(xí)投影、坐標(biāo)系變換、幾何建模的基礎(chǔ)。今天，我們將從概念出發(fā)，逐步拆解位似圖形的作圖邏輯，通過“理解定義—掌握性質(zhì)—規(guī)范步驟—突破易錯(cuò)點(diǎn)—實(shí)戰(zhàn)應(yīng)用”的遞進(jìn)式學(xué)習(xí)，徹底攻克這一幾何作圖難點(diǎn)。02基礎(chǔ)鋪墊：位似圖形的定義與核心性質(zhì)1從相似圖形到位似圖形的進(jìn)階要理解位似圖形，首先需要回顧相似圖形的定義：形狀相同、大小不一定相同的圖形，它們的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例。但相似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線可能是平行的（如平移后的相似圖形），也可能是發(fā)散的。而位似圖形是相似圖形的“強(qiáng)化版”——它要求所有對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線必交于同一點(diǎn)，這一點(diǎn)就是位似的“核心”，稱為位似中心。位似圖形的嚴(yán)格定義：如果兩個(gè)圖形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行（或在同一直線上），那么這兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)交點(diǎn)叫做位似中心，相似比叫做位似比。2位似圖形的三大核心性質(zhì)掌握性質(zhì)是作圖的前提，位似圖形的關(guān)鍵性質(zhì)可總結(jié)為“三點(diǎn)一線兩比例”：“三點(diǎn)一線”：任意一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)與位似中心共線，即若圖形A與圖形A'位似，位似中心為O，則點(diǎn)O、點(diǎn)A、點(diǎn)A'必在同一直線上。這是位似圖形最本質(zhì)的特征，也是作圖時(shí)確定對(duì)應(yīng)點(diǎn)的根本依據(jù)?！皟杀壤保孩賹?duì)應(yīng)邊的比等于位似比（與相似比一致）；②對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比。例如，若位似比為k，則OA'/OA=k（O為位似中心，A為原圖形點(diǎn)，A'為對(duì)應(yīng)點(diǎn)）?！胺较蚩蛇x”：位似圖形有兩種位置關(guān)系——外位似（位似中心在對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的延長線上，兩圖形在位似中心同側(cè)）和內(nèi)位似（位似中心在對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線上，兩圖形在位似中心異側(cè)）。這一性質(zhì)決定了作圖時(shí)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置可能有兩種選擇。03分步拆解：位似圖形的標(biāo)準(zhǔn)作圖流程分步拆解：位似圖形的標(biāo)準(zhǔn)作圖流程明確了定義和性質(zhì)，接下來進(jìn)入核心環(huán)節(jié)：如何根據(jù)給定條件作出位似圖形？無論題目要求作內(nèi)位似還是外位似圖形，無論位似中心在圖形內(nèi)部、外部還是邊上，作圖的底層邏輯都是“定中心—選比例—找點(diǎn)—連線”。以下以“作△ABC以點(diǎn)O為位似中心，位似比為2的位似圖形△A'B'C'”為例，詳細(xì)演示每一步操作。1第一步：確定位似中心與位似比這是作圖的起點(diǎn)，需明確題目給定的兩個(gè)關(guān)鍵信息：位似中心O：可能是平面內(nèi)任意一點(diǎn)（如題目未指定，需根據(jù)要求選擇，常見情況是選圖形外一點(diǎn)或頂點(diǎn)）；位似比k：若k>1，位似圖形是原圖形的放大；若0<k<1，則是縮??；k=1時(shí)兩圖形重合（無意義）。注意：位似比是對(duì)應(yīng)邊的比，也是對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心距離的比，需區(qū)分“原圖形到新圖形”與“新圖形到原圖形”的比例（如k=2表示新圖形是原圖形的2倍，原圖形到新圖形的比為1:2）。2第二步：連接原圖形頂點(diǎn)與位似中心以△ABC為例，首先用直尺連接位似中心O與各頂點(diǎn)A、B、C，得到三條射線OA、OB、OC（若O在圖形內(nèi)部，則射線可能向相反方向延伸）。這一步的關(guān)鍵是確保連線的準(zhǔn)確性，因?yàn)楹罄m(xù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)必須在這些射線上。注意：若O在△ABC的一條邊上（如邊AB上），則頂點(diǎn)A或B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)可能與O重合（當(dāng)位似比為0時(shí)），但實(shí)際作圖中k≠0，因此需根據(jù)比例計(jì)算具體位置。3第三步：根據(jù)位似比確定對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置根據(jù)性質(zhì)“對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離比等于位似比”，在射線OA、OB、OC上截取點(diǎn)A'、B'、C'，使得OA'/OA=k（外位似）或OA'/OA=-k（內(nèi)位似，負(fù)號(hào)表示方向相反）。具體操作如下：外位似（同向放大/縮?。喝鬹=2，以O(shè)A為例，從O出發(fā)沿OA方向延長，使OA'=2×OA（若原圖形在O的一側(cè)，新圖形在同側(cè)且更遠(yuǎn)）；內(nèi)位似（反向放大/縮?。喝鬹=2，從O出發(fā)沿OA的反方向延長，使OA'=2×OA（新圖形在O的另一側(cè)）。尺規(guī)操作技巧：若沒有刻度直尺，可通過作平行線的方法確定比例。例如，要在射線OA上取點(diǎn)A'使OA'=2×OA，可：3第三步：根據(jù)位似比確定對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置在右側(cè)編輯區(qū)輸入內(nèi)容①在OA外任取一點(diǎn)P，連接AP；13.4第四步：連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)，完成位似圖形 依次連接A'、B'、C'，得到△A'B'C'。此時(shí)需驗(yàn)證： 各對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線是否經(jīng)過O； 對(duì)應(yīng)邊是否平行（或共線）； 測量邊長是否符合位似比（如原邊長AB=3cm，位似比2時(shí)A'B'應(yīng)為6cm）。 示例演示：②過A作AP的平行線交OP延長線于A'（利用平行線分線段成比例定理）。23第三步：根據(jù)位似比確定對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置原△ABC中，O在△外，OA=2cm，OB=3cm，OC=4cm，位似比k=2（外位似）。則OA'=4cm（沿OA方向延長2cm），OB'=6cm（沿OB方向延長3cm），OC'=8cm（沿OC方向延長4cm），連接A'B'C'后，△A'B'C'與△ABC位似，且各對(duì)應(yīng)邊平行（如AB∥A'B'）。04拓展深化：不同場景下的作圖變式拓展深化：不同場景下的作圖變式位似中心的位置、位似比的正負(fù)（內(nèi)/外位似）、原圖形的形狀（三角形、四邊形、多邊形）會(huì)影響作圖細(xì)節(jié)，需針對(duì)性掌握。1位似中心位置的影響位似中心在原圖形外部：最常見的情況，對(duì)應(yīng)點(diǎn)分布在位似中心的同側(cè)（外位似）或異側(cè)（內(nèi)位似），作圖時(shí)射線向單一方向延伸即可。01位似中心在原圖形內(nèi)部：如O在△ABC內(nèi)部，連接OA、OB、OC后，射線需向原圖形外延伸（外位似）或向原圖形內(nèi)縮短（內(nèi)位似，此時(shí)新圖形可能更小且包圍O）。02位似中心在原圖形頂點(diǎn)上：例如O與A重合，此時(shí)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'仍為O（因?yàn)镺A=0，OA'=k×0=0），只需確定B'、C'的位置（在射線OB、OC上，OB'=k×OB，OC'=k×OC）。032內(nèi)位似與外位似的區(qū)別01外位似：對(duì)應(yīng)點(diǎn)與位似中心在原圖形的同側(cè)，位似比k取正值，新圖形與原圖形方向相同（如原△ABC頂點(diǎn)按順時(shí)針排列，新圖形也順時(shí)針）。02內(nèi)位似：對(duì)應(yīng)點(diǎn)與位似中心在原圖形的異側(cè)，位似比k取負(fù)值（或理解為方向相反），新圖形與原圖形方向相反（順時(shí)針變逆時(shí)針）。03例：若k=-2（內(nèi)位似），則OA'=2×OA，但方向與OA相反，相當(dāng)于以O(shè)為中心“翻轉(zhuǎn)”后放大。3多邊形位似作圖的通用方法對(duì)于四邊形、五邊形等多邊形，作圖步驟與三角形一致：在右側(cè)編輯區(qū)輸入內(nèi)容①確定O和k；在右側(cè)編輯區(qū)輸入內(nèi)容②連接O與所有頂點(diǎn)；在右側(cè)編輯區(qū)輸入內(nèi)容③在射線上按比例截取對(duì)應(yīng)點(diǎn)；在右側(cè)編輯區(qū)輸入內(nèi)容④連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)成圖。需注意：多邊形的邊數(shù)越多，越要確保每一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)都嚴(yán)格共線于O，否則圖形將不滿足位似條件。05易錯(cuò)警示：學(xué)生常見錯(cuò)誤與規(guī)避策略易錯(cuò)警示：學(xué)生常見錯(cuò)誤與規(guī)避策略在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生作圖時(shí)易出現(xiàn)以下問題，需重點(diǎn)提醒：1錯(cuò)誤一：位似中心與對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線不共線表現(xiàn)：作圖時(shí)隨意選取對(duì)應(yīng)點(diǎn)，導(dǎo)致O、A、A'不在同一直線上。原因：對(duì)“三點(diǎn)一線”性質(zhì)理解不深，或作圖時(shí)未用直尺嚴(yán)格連線。對(duì)策：強(qiáng)調(diào)位似中心是所有對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的交點(diǎn)，每一步必須用直尺連接O與原頂點(diǎn)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)只能在該射線上。0301022錯(cuò)誤二：位似比方向混淆（內(nèi)/外位似錯(cuò)誤）1表現(xiàn)：要求作外位似圖形時(shí)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)畫在位似中心異側(cè)；或內(nèi)位似時(shí)方向正確但比例錯(cuò)誤。2原因：對(duì)位似比的符號(hào)意義（方向）不理解，或未區(qū)分“放大”與“反向放大”。3對(duì)策：用具體例子演示，如k=2（外位似，同側(cè)放大）與k=-2（內(nèi)位似，異側(cè)放大），對(duì)比兩者圖形位置差異。3錯(cuò)誤三：對(duì)應(yīng)邊不平行（或不共線）對(duì)策：作圖后用三角板驗(yàn)證對(duì)應(yīng)邊是否平行（同位角相等），或測量邊長比例是否符合k值。03原因：可能是對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置計(jì)算錯(cuò)誤（如比例錯(cuò)誤），或連線時(shí)偏移。02表現(xiàn)：作出的圖形相似但對(duì)應(yīng)邊不平行，不符合位似圖形要求。014錯(cuò)誤四：忽略特殊位置的位似中心表現(xiàn)：當(dāng)O在原圖形邊上或頂點(diǎn)時(shí)，誤以為無法作圖或?qū)?yīng)點(diǎn)位置錯(cuò)誤。原因：對(duì)特殊位置的位似中心缺乏練習(xí)，未掌握通用作圖邏輯。對(duì)策：通過專項(xiàng)練習(xí)（如O在△ABC的邊BC上，作位似圖形），強(qiáng)化“無論O在哪里，對(duì)應(yīng)點(diǎn)必在O與原頂點(diǎn)連線上”的核心規(guī)則。06實(shí)戰(zhàn)應(yīng)用：從例題到綜合題的能力提升1基礎(chǔ)例題：作三角形的位似圖形題目：如圖，已知△ABC和點(diǎn)O，以O(shè)為位似中心，位似比為1/2，作△ABC的位似圖形△A'B'C'（外位似）。作圖步驟：連接OA、OB、OC；分別在OA、OB、OC上取點(diǎn)A'、B'、C'，使OA'=(1/2)OA（向O方向縮短）；連接A'B'、B'C'、C'A'，得到△A'B'C'。驗(yàn)證：測量OA'=1/2OA，AB=2A'B'，且AB∥A'B'，確認(rèn)符合位似要求。2綜合例題：坐標(biāo)系中的位似圖形題目：在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(1,2)、B(3,4)、C(5,1)，以原點(diǎn)O為位似中心，位似比為3，作外位似圖形△A'B'C'。分析：坐標(biāo)系中的位似圖形可通過坐標(biāo)變換直接求解——若位似中心為原點(diǎn)，位似比為k，則對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為原坐標(biāo)的k倍（外位似）或-k倍（內(nèi)位似）。解答：A'(1×3,2×3)=(3,6)B'(3×3,4×3)=(9,12)C'(5×3,1×3)=(15,3)連接A'B'C'，即得所求圖形。2綜合例題：坐標(biāo)系中的位似圖形拓展：若位似中心不是原點(diǎn)（如O(2,0)），則需先將坐標(biāo)系平移至O為原點(diǎn)，計(jì)算對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)后再平移回去。例如，A相對(duì)于O的坐標(biāo)為(1-2,2-0)=(-1,2)，外位似比3時(shí)，A'相對(duì)于O的坐標(biāo)為(-1×3,2×3)=(-3,6)，則A'的實(shí)際坐標(biāo)為(2-3,0+6)=(-1,6)。3生活應(yīng)用：地圖縮放中的位似原理案例：某城市地圖的比例尺為1:10000（即位似比1/10000），地圖上兩點(diǎn)間距離為5cm，實(shí)際距離為5×10000=50000cm=500m。若要將地圖放大為原圖的2倍（位似比2），新地圖的比例尺變?yōu)?:5000，此時(shí)圖上5cm對(duì)應(yīng)實(shí)際距離250m（5×5000=25000cm=250m）。意義：通過生活實(shí)例，學(xué)生能更深刻理解位似圖形在測量、設(shè)計(jì)中的應(yīng)用，體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)結(jié)。07課程總結(jié)：位似圖形作圖的核心邏輯課程總結(jié)：位似圖形作圖的核心邏輯回顧整節(jié)課，位似圖形作圖的關(guān)鍵可概括為“一中心、兩比例、三步驟”：一中心：位似中心是所有對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的交點(diǎn)，決定了圖形的“縮放中心”；兩比例：對(duì)應(yīng)邊的比等于位似比，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離比也等于位似比；三步驟：定中心→連頂點(diǎn)→截點(diǎn)→連線（核心操作流程）。位似圖形不僅是幾何作