2025-2026學(xué)年高二數(shù)學(xué)期末沖刺卷試卷及答案班級(jí)：________姓名：________分?jǐn)?shù)：________考試時(shí)間：120分鐘一、選擇題（每題5分，共40分）1.函數(shù)f(x)=x3-3x2+2的導(dǎo)數(shù)f’(x)是（）A.3x2-6xB.3x2-6x+2C.x3-3x2D.6x-62.已知命題p：?x∈R，x2+1>0，則?p是（）A.?x?∈R，x?2+1>0B.?x?∈R，x?2+1≤0C.?x∈R，x2+1≤0D.?x∈R，x2+1<03.雙曲線x2/4-y2/9=1的漸近線方程是（）A.y=±3/2xB.y=±2/3xC.y=±9/4xD.y=±4/9x4.已知向量a=(1,2,3)，b=(2,-1,0)，則a·b=（）A.0B.1C.-1D.55.函數(shù)f(x)=x-lnx的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A.(0,1)B.(1,+∞)C.(0,+∞)D.(-∞,0)∪(1,+∞)6.已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在拋物線上，且|PF|=3，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是（）A.1B.2C.3D.47.如圖，在正方體ABCD-A?B?C?D?中，異面直線AB?與BC?所成角的大小是（）A.30°B.45°C.60°D.90°8.已知數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和S?=n2-2n，則數(shù)列{a?}的通項(xiàng)公式是（）A.a?=2n-3B.a?=2n+3C.a?=-2n+3D.a?=-2n-3二、填空題（每題5分，共20分）9.計(jì)算定積分∫?1(2x+1)dx=________。10.已知橢圓x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）的離心率e=√3/2，且a=4，則b=________。11.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-1處取得極大值，在x=2處取得極小值，則a+b=________。12.如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，則三棱錐O-ABC的體積是________。三、解答題（共90分）13.（12分）已知函數(shù)f(x)=x3-3x+1。（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,2]上的最大值和最小值。14.（12分）已知橢圓C：x2/16+y2/9=1，過(guò)點(diǎn)P(2,0)作直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)。（1）求橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和離心率；（2）若直線l的斜率為1，求|AB|的長(zhǎng)。15.（12分）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A?B?C?D?中，AB=2，AD=3，AA?=4，E是AA?的中點(diǎn)。（1）求異面直線D?E與BC所成角的正切值；（2）求三棱錐D?-BCD的體積。16.（12分）已知數(shù)列{a?}是等比數(shù)列，且a?=2，a?=8。（1）求數(shù)列{a?}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)b?=a?+log?a?，求數(shù)列{b?}的前n項(xiàng)和T?。17.（12分）已知函數(shù)f(x)=lnx-ax（a∈R）。（1）若函數(shù)f(x)在x=1處取得極值，求a的值；（2）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f(x)的最大值。18.（12分）已知拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線C于A、B兩點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，且|AB|=8，點(diǎn)M到準(zhǔn)線l的距離為4。（1）求拋物線C的方程；（2）若直線AB的斜率為2，求△AOB的面積（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）。19.（12分）如圖，在三棱柱ABC-A?B?C?中，側(cè)棱AA?⊥底面ABC，AB=AC=2，BC=2√3，AA?=3。（1）求證：平面A?BC⊥平面A?ABB?；（2）求直線A?C與平面BCC?B?所成角的正弦值。20.（6分）已知函數(shù)f(x)=x2-2x+3，若對(duì)任意x∈[1,+∞)，f(x)≥kx恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。參考答案一、選擇題1.A2.B3.A4.A5.A6.B7.C8.A二、填空題9.210.211.-312.1/6三、解答題13.（1）解：f’(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)。令f’(x)>0，解得x<-1或x>1；令f’(x)<0，解得-1<x<1。∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-1)和(1,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,1)。（2）解：計(jì)算端點(diǎn)和極值點(diǎn)的函數(shù)值：f(-2)=(-2)3-3×(-2)+1=-8+6+1=-1；f(-1)=(-1)3-3×(-1)+1=-1+3+1=3；f(1)=13-3×1+1=1-3+1=-1；f(2)=23-3×2+1=8-6+1=3?！嗪瘮?shù)f(x)在區(qū)間[-2,2]上的最大值為3，最小值為-1。14.（1）解：由橢圓C：x2/16+y2/9=1得a=4，b=3，c=√(a2-b2)=√(16-9)=√7?！嚅L(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=8，離心率e=c/a=√7/4。（2）解：直線l的方程為y=x-2，代入橢圓方程得x2/16+(x-2)2/9=1。整理得9x2+16(x2-4x+4)=144，即25x2-64x-80=0。設(shè)A(x?,y?)，B(x?,y?)，則x?+x?=64/25，x?x?=-80/25=-16/5?！鄚AB|=√(1+k2)×√[(x?+x?)2-4x?x?]=√(1+1)×√[(64/25)2-4×(-16/5)]=√2×√[(4096/625)+64/5]=√2×√[(4096+8000)/625]=√2×√(12096/625)=√2×109.98/25≈√2×4.399≈6.22（精確計(jì)算：√(12096)=√(144×84)=12√84=12×2√21=24√21，故|AB|=√2×24√21/25=24√42/25）。15.（1）解：∵BC∥AD，∴異面直線D?E與BC所成角等于D?E與AD所成角（或其補(bǔ)角）?！逜A?⊥底面ABCD，AD?底面ABCD，∴AA?⊥AD。E是AA?中點(diǎn)，AA?=4，∴AE=2，AD=3，D?A?=AD=3，D?E=√(D?A?2+A?E2)=√(32+22)=√13。tanθ=A?E/D?A?=2/3。答：異面直線D?E與BC所成角的正切值為2/3。（2）解：三棱錐D?-BCD的體積V=1/3×S△BCD×DD?。S△BCD=1/2×BC×CD=1/2×3×2=3，DD?=AA?=4?！郪=1/3×3×4=4。答：三棱錐D?-BCD的體積為4。16.（1）解：設(shè)等比數(shù)列{a?}的公比為q，由a?=a?q2得8=2q2，解得q=±2。當(dāng)q=2時(shí)，a?=2×2??1=2?；當(dāng)q=-2時(shí)，a?=2×(-2)??1?！鄶?shù)列{a?}的通項(xiàng)公式為a?=2?或a?=2×(-2)??1。（2）解：當(dāng)a?=2?時(shí)，b?=2?+log?2?=2?+n。T?=(21+22+...+2?)+(1+2+...+n)=2(2?-1)/(2-1)+n(n+1)/2=2??1-2+n(n+1)/2。當(dāng)a?=2×(-2)??1時(shí)，b?=2×(-2)??1+log?[2×(-2)??1]（此時(shí)對(duì)數(shù)無(wú)意義，故取q=2）。答：數(shù)列{b?}的前n項(xiàng)和T?=2??1+n(n+1)/2-2。17.（1）解：f’(x)=1/x-a?！吆瘮?shù)f(x)在x=1處取得極值，∴f’(1)=1-a=0，解得a=1。檢驗(yàn)：當(dāng)a=1時(shí)，f’(x)=1/x-1，當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f’(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，f’(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，故x=1是極大值點(diǎn)，符合題意?！郺=1。（2）解：當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=lnx-x，f’(x)=1/x-1。令f’(x)=0，解得x=1。當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f’(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，f’(x)<0，f(x)單調(diào)遞減?！鄁(x)的最大值為f(1)=ln1-1=-1。答：函數(shù)f(x)的最大值為-1。18.（1）解：設(shè)A(x?,y?)，B(x?,y?)，由拋物線定義得|AF|=x?+p/2，|BF|=x?+p/2?！鄚AB|=|AF|+|BF|=x?+x?+p=8。點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為(x?+x?)/2，點(diǎn)M到準(zhǔn)線l的距離為(x?+x?)/2+p/2=4。聯(lián)立得{x?+x?+p=8,(x?+x?)/2+p/2=4}，解得p=4。∴拋物線C的方程為y2=8x。（2）解：焦點(diǎn)F(2,0)，直線AB的方程為y=2(x-2)=2x-4。代入拋物線方程得(2x-4)2=8x，即4x2-16x+16=8x，整理得x2-6x+4=0?！鄕?+x?=6，x?x?=4。|y?-y?|=√[(y?+y?)2-4y?y?]，由y=2x-4得y?+y?=2(x?+x?)-8=12-8=4，y?y?=4x?x?-8(x?+x?)+16=16-48+16=-16?！鄚y?-y?|=√(16+64)=√80=4√5?！鰽OB的面積S=1/2×|OF|×|y?-y?|=1/2×2×4√5=4√5。答：△AOB的面積為4√5。19.（1）證明：∵AB=AC=2，BC=2√3，∴由余弦定理得cos∠BAC=(AB2+AC2-BC2)/(2AB·AC)=(4+4-12)/(2×2×2)=-4/8=-1/2?！唷螧AC=120°，取BC中點(diǎn)D，連接AD，則AD⊥BC。∵AA?⊥底面ABC，BC?底面ABC，∴AA?⊥BC。又AD∩AA?=A，AD、AA??平面A?ABB?，∴BC⊥平面A?ABB?。∵BC?平面A?BC，∴平面A?BC⊥平面A?ABB?。（2）解：以A為原點(diǎn)，AD為x軸，AA?為z軸，過(guò)A作BC的平行線為y軸建立空間直角坐標(biāo)系。則A(0,0,0)，C(1,√3,0)，A?(0,0,3)，B(1,-√3,0)，C?(1,√3,3)。向量A?C=(1,√3,-3)，平面BCC?B?的法向量n=(1,0,0)（或通過(guò)向量BC、BB?求得）。設(shè)直線A?C與平面BCC?B?所成角為θ，則sinθ=|A?C·n|/(|A?C||n|)=|1|/(√(1+3+9)×1)=1/√13=√13/13。答：直線A?C與平面BCC?B?所成角的正弦值為√13/13。20.解：對(duì)任意x∈[1,+∞)，f(x)≥kx恒成立，即x2-2x+3≥kx，整理得k≤x+3/x-2。令g(x)=x+3/x-2，