。第頁(yè)《線性代數(shù)》試題02一、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共30分）1．設(shè)經(jīng)過(guò)初等行變換變?yōu)?，則（）.(下面的分別表示矩陣的秩)。；；；無(wú)法判定與之間的關(guān)系。2．設(shè)為階方陣且，則（）。中有一行元素全為零；有兩行（列）元素對(duì)應(yīng)成比例；中必有一行為其余行的線性組合；的任一行為其余行的線性組合。3.設(shè)是階矩陣(),,則下列結(jié)論一定正確的是()4．下列不是維向量組線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是（）結(jié)論：矩陣乘法不一定滿足交換律。矩陣，卻有， 從而不能由得出或的結(jié)論。存在一組不全為零的數(shù)使得；結(jié)論：矩陣乘法不一定滿足交換律。矩陣，卻有， 從而不能由得出或的結(jié)論。不存在一組不全為零的數(shù)使得的秩等于；中任意一個(gè)向量都不能用其余向量線性表示5．設(shè)階矩陣，若矩陣的秩為，則必為（）。1；；；.6．四階行列式的值等于（）。；；；.7．設(shè)為四階矩陣且，則的伴隨矩陣的行列式為（）。；；；8．設(shè)為階矩陣滿足，為階單位矩陣,則（）；；；9．設(shè)，是兩個(gè)相似的矩陣，則下列結(jié)論不正確的是（）。與的秩相同；與的特征值相同；與的特征矩陣相同；與的行列式相同；10．設(shè)為階矩陣,則以為特征值是的（）。充分非必要條件；必要非充分條件；既非充分又非必要條件；充分必要條件；二、填空題（每小題3分，共18分）1．計(jì)算行列式。_______________________。二次型對(duì)應(yīng)的對(duì)稱矩陣為。已知，，是歐氏空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，則向量在這組基下的坐標(biāo)為。已知矩陣的特征值為則___________。略6．設(shè)均為3維列向量，記矩陣，。如果，則。三、(8分),求。（10分）設(shè)向量組，，，，。試求它的秩及一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，并把其余向量用該極大無(wú)關(guān)組線性表示。五、（12分）討論線性方程組解的情況，并在有無(wú)窮多解時(shí)求其解。（14分）設(shè)，要求：求出的所有特征值和特征向量；（2）求正交矩陣，使得為對(duì)角矩陣。七、（8分）對(duì)任意的矩陣,證明：(1)為對(duì)稱矩陣,為反對(duì)稱矩陣；(2)可表示為一個(gè)對(duì)稱矩陣和一個(gè)反對(duì)稱矩陣之和?！毒€性代數(shù)》試題02參考答案一、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共30分）12345678910BCDABDCCCD二、填空題（每小題3分，共18分）略略五、解：對(duì)方程組的增廣矩陣進(jìn)行如下初等行變換：當(dāng)即系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩均為3，此時(shí)方程組有唯一解?！?分）當(dāng)系數(shù)矩陣的秩為1，增廣矩陣的秩為2，此時(shí)方程組無(wú)解?！?分）當(dāng)此時(shí)方程組有無(wú)窮多組解。對(duì)方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換：故原方程組與下列方程組同解:令可得上述非齊次線性方程組的一個(gè)特解;它對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系含有一個(gè)元素，令可得為該齊次線性方程組的一個(gè)解，它構(gòu)成該齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系。此時(shí)原方程組的通解為……（12分）六、解：（1）由于的特征多項(xiàng)式故的特征值為，。……（3分）當(dāng)時(shí)，由，即：得基礎(chǔ)解系為，故屬于特征值的所有特征向量為,不全為零的任意常數(shù)?！?分）當(dāng)時(shí)，由，即：得基礎(chǔ)解系為，故屬于特征值的所有特征向量為,為非零的任意常數(shù)。……（8分）（2）將正交化可得：。再將其單位化得：將單位化得：……（12分）則是的一組單位正交的特征向量。令則是一個(gè)正交矩陣，且……（14分）七、證明：（1）因?yàn)?因此為對(duì)稱矩陣。……（2分）同