高中2025北京海淀高二（上）期末數(shù)學(xué)一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1．直線x+y﹣1＝0的傾斜角是（）A． B． C． D．2．正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為4，E，F(xiàn)分別是B1C1，AB的中點(diǎn)，則EF的長(zhǎng)是（）A． B． C．4 D．63．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F（2，0），則雙曲線C的漸近線方程為（）A． B． C． D．y＝±3x4．在四面體O﹣ABC中，若，，，，，則＝（）A．（） B．（） C．（） D．（）5．已知直線l：x+y+a＝0與圓O：x2+y2＝4相交于A，B兩點(diǎn)．若圓O上存在一點(diǎn)P，使得四邊形OAPB為菱形，則實(shí)數(shù)a的值是（）A． B．±1 C． D．±26．已知l，m是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，且l?α，α∩β＝m，則“l(fā)∥m”是“l(fā)∥β”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件7．如圖，F(xiàn)是平面上一點(diǎn)，以F為圓心，分別畫出半徑為1，2，3，4，5的同心圓．記半徑為4的圓的一條切線為l，再畫出與l平行的各圓的切線和一條穿過(guò)圓心F與l平行的直線．若以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的拋物線記為M，則A，B，C，D，E這5個(gè)點(diǎn)（）A．都不在拋物線M上 B．只有1個(gè)點(diǎn)在拋物線M上 C．有2個(gè)點(diǎn)在拋物線M上 D．有3個(gè)點(diǎn)在拋物線M上8．已知橢圓W：，點(diǎn)P，Q為橢圓W上不同的兩點(diǎn)．下面兩個(gè)結(jié)論（）①若給定點(diǎn)M（1，0），則對(duì)任意的點(diǎn)P，都存在點(diǎn)Q，使得|PM|+|QM|＝4；②若給定點(diǎn)，則對(duì)任意的點(diǎn)P，都存在點(diǎn)Q，使得|PM||QM|＝1．A．①②均正確 B．①②均錯(cuò)誤 C．①對(duì)②錯(cuò) D．①錯(cuò)②對(duì)9．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為BB1的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)F沿著線段BC1從點(diǎn)B移動(dòng)到點(diǎn)C1，則下列結(jié)論中正確的是（）A．直線D1F與直線AB為異面直線 B．∠D1FA恒為鈍角 C．三棱錐F﹣AD1E體積越來(lái)越大 D．D1F⊥B1C10．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)O（0，0），A（﹣2，0），，則∠OAP的最大值為（）A． B． C． D．二、填空題共5小題，每小題4分，共20分。11．已知向量＝（4，m，0），＝（1，2，12），且，則實(shí)數(shù)m＝，||＝．12．已知圓x2+y2＝r2和圓（x﹣5）2+y2＝9相交于A，B兩點(diǎn)，則半徑r可以是（寫出一個(gè)符合題目要求的取值即可）．13．已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為拋物線上的點(diǎn)，點(diǎn)Q為其準(zhǔn)線上的點(diǎn)，且滿足QF⊥PF．若|PF|＝4，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，△PQF的面積為．14．中國(guó)國(guó)家博物館中的清代仿官窯四方委角象耳瓶向我們展示了我國(guó)古代工匠的高超技藝：瓶唇口，直頸，頸兩側(cè)飾對(duì)稱象耳，方腹委角，高圈足外撇……其中“委角”是一種工藝術(shù)語(yǔ)，指的是將方形器物的尖角抹平，向內(nèi)收縮，如同把角折起來(lái)．如圖，該瓶的瓶身相當(dāng)于是在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中抹去八個(gè)形狀與大小都相同的三棱錐．在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝x，AA1＝2，E為AA1的中點(diǎn)，F(xiàn)與G分別是棱AD與棱AB上的點(diǎn)，且滿足AE＝AF＝AG．已知委角之后的瓶身體積是長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1體積的，則長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1的體對(duì)角線長(zhǎng)度為．15．已知曲線C：x2﹣|x|＝λ（y2﹣|y|），給出下列四個(gè)結(jié)論：①對(duì)任意λ∈R，曲線C關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱；②當(dāng)λ＝1時(shí)，曲線C是由兩條直線和一個(gè)正方形組成的圖形；③當(dāng)λ＝﹣1時(shí)，曲線C上任意兩點(diǎn)距離的最大值為；④當(dāng)λ＜0時(shí)，曲線C圍成的區(qū)域面積最小值為4．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．三、解答題共4小題，共40分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。16．（8分）如圖，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC，點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：B1C∥平面A1BM；（Ⅱ）若平面A1ACC1⊥平面ABC，求證：BM⊥AC1．17．（11分）已知圓C的圓心為C（3，0），且過(guò)點(diǎn)，直線l的方程為y＝kx﹣2．（Ⅰ）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）若直線l與圓C相切，求k的值；（Ⅲ）若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿足|PO|＝2|PC|，且點(diǎn)P在直線l上，求k的取值范圍．18．（11分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥AB，BC⊥AB，AD∥BC，PA＝AD＝2，，BC＝1，E為PD的中點(diǎn)，平面BCE與棱PA交于點(diǎn)F．（Ⅰ）求證：F為PA的中點(diǎn)；（Ⅱ）若G為CD的中點(diǎn)，再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求二面角A﹣FG﹣E的余弦值．條件①：BC⊥PB；條件②：．19．（10分）設(shè)曲線W：F（x，y）＝0，對(duì)曲線W進(jìn)行如下變換：將W上的任意一點(diǎn)P（x，y）沿著向量＝（h，k）平移，得到點(diǎn)P′（x+h，y+k），稱該變換為T（h，k）變換，得到的曲線記為W′．（Ⅰ）若曲線W：x+y+1＝0，對(duì)W進(jìn)行T（﹣1，0）變換，直接寫出曲線W′的方程；（Ⅱ）若曲線經(jīng)過(guò)T（h，k）變換后得到的曲線W′關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．（i）直接寫出h+k的值和W′的離心率；（ii）已知點(diǎn)A（3，0），過(guò)曲線W′的右焦點(diǎn)M作直線l與曲線W′交于P，Q兩點(diǎn)．①記△MAP，△MAQ的面積分別為S1，S2，若S1＝2S2，求直線l的斜率；②直線AP，AQ分別與直線x＝5交于D，E兩點(diǎn)，若，求直線l的斜率．

參考答案一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1．【分析】化一般方程為斜截式，求得直線的斜率，再由斜率等于傾斜角的正切值求解．【解答】解：由直線x+y﹣1＝0，得y＝﹣，可得直線的斜率為，設(shè)傾斜角為α（0≤α＜π）， 則tan，．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線的傾斜角，考查直線傾斜角與斜率的關(guān)系，是基礎(chǔ)題．2．【分析】用向量的方法可得的表達(dá)式，兩邊平方可得2的表達(dá)式，進(jìn)而求出EF的值．【解答】解：正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為4，E，F(xiàn)分別是B1C1，AB的中點(diǎn)，連接B1F，由題意可得B1F|＝＝＝2，＝++，且?＝?＝0，＜，＞＝，可得2＝2+2+2+2?+2?+2?＝22+42+22+0+0+2||?||cos＝24+2×2×2×（﹣）＝20，所以EF＝||＝＝2．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中兩點(diǎn)間的距離的求法及向量的方法求線段的值，屬于中檔題．3．【分析】由題意得到a2＝1，c＝2，雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，求得b＝，代入雙曲線的漸近線方程即可求解．【解答】解：雙曲線的右焦點(diǎn)為（2，0），則a2＝1，c＝2，雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，所以，所以雙曲線的漸近線為y＝±＝±．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了雙曲線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．4．【分析】可畫出圖形，連接OM，根據(jù)條件知M為AB的中點(diǎn)，N為OC的中點(diǎn)，然后根據(jù)向量減法及數(shù)乘的幾何意義和向量加法的平行四邊形法則即可得解．【解答】解：如圖，∵，，∴M是邊AB的中點(diǎn)，N是邊OC的中點(diǎn)，連接OM，則：＝．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量減法和數(shù)乘的幾何意義，向量加法的平行四邊形法則，是基礎(chǔ)題．5．【分析】求出圓的圓心與半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：圓O：x2+y2＝4，圓的圓心（0，0），半徑為2，直線l：x+y+a＝0與圓O：x2+y2＝4相交于A，B兩點(diǎn)．若圓O上存在一點(diǎn)P，使得四邊形OAPB為菱形，可得：，解得a＝±．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，是中檔題．6．【分析】由題意分l∥m和l∥β判斷出“l(fā)∥m”是“l(fā)∥β”的充要條件．【解答】解：因?yàn)閘?α，α∩β＝m，因?yàn)閘∥m，l?β，所以l∥β，可得“l(fā)∥m”是“l(fā)∥β”的充分條件；因?yàn)閘∥β，l?α，α∩β＝m，可得l∥m，所以“l(fā)∥m”是“l(fā)∥β”的必要條件，綜上所述：“l(fā)∥m”是“l(fā)∥β”的充要條件．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查充要條件的判斷方法，屬于基礎(chǔ)題．7．【分析】由題意，建立平面直角坐標(biāo)系，得到拋物線和同心圓的方程，將拋物線和同心圓的方程聯(lián)立，可得y＝﹣2±r，再逐一驗(yàn)證即可．【解答】解：不妨以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D且平行于直線l的直線為x軸，過(guò)點(diǎn)D且垂直于直線l的直線為y軸，此時(shí)p＝4，則拋物線的方程為x2＝8y，易知該同心圓的方程為x2+（y﹣2）2＝r2，聯(lián)立，解得y＝﹣2±r，當(dāng)r＝2時(shí)，y＝0，該點(diǎn)為點(diǎn)D；當(dāng)r＝3時(shí)，y＝1，該點(diǎn)為點(diǎn)E；當(dāng)r＝4時(shí)，y＝2，該點(diǎn)不存在；當(dāng)r＝5時(shí)，y＝3，該點(diǎn)為點(diǎn)B，綜上所述，有3個(gè)點(diǎn)在拋物線M上．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的方程，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力，屬于中檔題．8．【分析】由題意，設(shè)點(diǎn)P為橢圓在第一象限上一點(diǎn)，點(diǎn)Q為點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的一點(diǎn)，根據(jù)橢圓的定義即可判斷①；取點(diǎn)Q，P分別在橢圓左，右頂點(diǎn)，代入公式即可判斷②．【解答】解：設(shè)橢圓W的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，因?yàn)闄E圓W的方程為，所以F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0），對(duì)于①：易知定點(diǎn)M為橢圓W的右焦點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P為橢圓在第一象限上一點(diǎn)，點(diǎn)Q為點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的一點(diǎn)，此時(shí)四邊形PF1QM為平行四邊形，所以|PM|+|QM|＝|PF1|+|PM|＝2a＝4，故①正確；對(duì)于②：易知點(diǎn)在橢圓外，當(dāng)點(diǎn)Q，P分別在橢圓左，右頂點(diǎn)時(shí)，此時(shí)P（﹣2，0），Q（2，0），則|PM||PN|＝（﹣2）（2+）＝1，故②正確．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的方程，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力，屬于中檔題．9．【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)，針對(duì)各個(gè)選項(xiàng)分別求解即可．【解答】解：易知AD1∥BC1，∴直線D1F與直線AB為共面直線，∴A選項(xiàng)錯(cuò)誤；易知C1D1⊥AD1，當(dāng)F與C1重合時(shí)，∠D1FA為銳角，∴B選項(xiàng)錯(cuò)誤；∵AD1∥BC1，又BC1?平面AD1E，AD1?平面AD1E，∴BC1∥平面AD1E，又F在BC1上，∴F到平面AD1E的距離為定值，又三角形AD1E也為定值，∴三棱錐F﹣AD1E體積為定值，∴C選項(xiàng)錯(cuò)誤；∵當(dāng)F與C1重合時(shí)，D1C1⊥平面BCC1B1，從而可得D1F⊥B1C，∴當(dāng)F與C1不重合時(shí)，D1F在平面BCC1B1內(nèi)的射影為BC1，又BC1⊥B1C，∴根據(jù)三垂線定理可得D1F⊥B1C，∴綜合可得D1F⊥B1C，∴D選項(xiàng)正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，屬中檔題．10．【分析】根據(jù)題意，設(shè)P的坐標(biāo)為（x，y），則x＝cosθ，y＝sinθ，分析可得點(diǎn)P的軌跡為橢圓，設(shè)直線l是經(jīng)過(guò)點(diǎn)A且與該橢圓相切的直線，且直線l的斜率為k，聯(lián)立直線l與橢圓的方程，求出k的值，可得直線l的傾斜角，進(jìn)而分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)P的坐標(biāo)為（x，y），則x＝cosθ，y＝sinθ，變形可得+x2＝1，即P的軌跡為橢圓，設(shè)直線l是經(jīng)過(guò)點(diǎn)A且與該橢圓相切的直線，且直線l的斜率為k，此時(shí)直線l的方程為y＝k（x+2），聯(lián)立直線l與橢圓的方程，有，變形可得：k（x+2）2+3x2﹣3＝0，即（k2+3）x2+4k2x+4k2﹣3＝0，直線l與橢圓相切，則有Δ＝16k4﹣4（k2+3）（4k2﹣3）＝9﹣9k2＝0，解可得k＝±1，此時(shí)直線l的切斜角為或，當(dāng)且僅當(dāng)P為切點(diǎn)，∠OAP最大值，此時(shí)∠OAP＝．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系以及軌跡方程的求法，注意橢圓的方程，屬于中檔題．二、填空題共5小題，每小題4分，共20分。11．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合向量垂直的性質(zhì)，以及向量模公式，即可求解．【解答】解：向量＝（4，m，0），＝（1，2，12），且，則4+2m+0＝0，解得m＝﹣2，故，所以||＝．故答案為：﹣2；13．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量垂直的性質(zhì)，以及向量模公式，屬于基礎(chǔ)題．12．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合圓心距與兩圓的位置關(guān)系，即可求解．【解答】解：圓x2+y2＝r2，則圓心C1（0，0），半徑r1＝r，圓（x﹣5）2+y2＝9，則圓心C2（5，0），半徑r2＝3，|C1C2|＝5，圓x2+y2＝r2和圓（x﹣5）2+y2＝9相交于A，B兩點(diǎn)，則|r﹣3|＜5＜r+3，解得2＜r＜8．故答案為：3（2＜r＜8均可，答案不唯一）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．13．【分析】由拋物線的性質(zhì)，結(jié)合直線與拋物線的位置關(guān)系及三角形的面積公式求解．【解答】解：已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，則F（1，0），設(shè)P（x0，y0），則，即，不妨設(shè)y0＞0，即，則，則Q（﹣1，t），則，即，則，則＝，即△PQF的面積為．故答案為：3；．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線的性質(zhì)，重點(diǎn)考查了直線與拋物線的位置關(guān)系及三角形的面積公式，屬中檔題．14．【分析】根據(jù)長(zhǎng)方體與三棱錐的體積公式，建立方程，即可求解．【解答】解：根據(jù)題意可得，解得x＝，∴長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1的體對(duì)角線長(zhǎng)度為＝4．故答案為：4【點(diǎn)評(píng)】本題考查幾何體的體積問(wèn)題，屬基礎(chǔ)題．15．【分析】由題意，將將（x，﹣y），（﹣x，y），（﹣x，﹣y）代入曲線C的方程中即可判斷①；將λ的值代入曲線方程中，作出函數(shù)圖象即可判斷②③；因?yàn)榍€C的方程為（|x|﹣）2﹣λ（|y|﹣）2＝，曲線恒在邊長(zhǎng)為2的正方形內(nèi)，進(jìn)而可判斷④．【解答】解：對(duì)于①：將（x，﹣y），（﹣x，y），（﹣x，﹣y）代入曲線C的方程中，方程不變，所以對(duì)任意λ∈R，曲線C關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱，故①正確；對(duì)于②：當(dāng)λ＝1時(shí)，曲線C為x2﹣|x|＝y(tǒng)2﹣|y|，整理得（|x|+|y|﹣1）（|x|﹣|y|）＝0，即|x|+|y|＝1，|x|＝|y|，作出函數(shù)圖象如下所示：則曲線C是由兩條直線和一個(gè)正方形組成的圖形，故②正確；對(duì)于③：當(dāng)λ＝﹣1時(shí)，曲線C為x2﹣|x|＝|y|﹣y2，即x2+y2﹣|x|﹣|y|＝0，則曲線C：，作出函數(shù)圖象如下所示：此時(shí)曲線上兩點(diǎn)的最大值即為|AB|＝，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④：當(dāng)λ→0時(shí)，﹣1＜x＜1；當(dāng)λ→﹣∞時(shí)，﹣1＜y＜1，曲線C的方程為（|x|﹣）2﹣λ（|y|﹣）2＝，此時(shí)，所以曲線恒在邊長(zhǎng)為2的正方形內(nèi)，則曲線C圍成的區(qū)域面積最小值不為4，故④錯(cuò)誤．故答案為：①②③．【點(diǎn)評(píng)】本題考查曲線與方程，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力，屬于中檔題．三、解答題共4小題，共40分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。16．【分析】（Ⅰ）連接AB1，設(shè)AB1交A1B于O，由題意可得以O(shè)M∥B1C，再由線面平行的判定定理可得結(jié)論；（Ⅱ）由面面垂直的性質(zhì)及線面垂直的判定定理可證得結(jié)論．【解答】（Ⅰ）證明：連接AB1，設(shè)AB1交A1B于O，由題意可得O為AB1的中點(diǎn)，連接OM，而點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)，在△AB1C中，可得OM為中位線，所以O(shè)M∥B1C，又因?yàn)镺M?平面A1BM，B1C?平面A1BM，所以B1C∥平面A1BM；（Ⅱ）證明：AB＝BC，點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)，可得BM⊥平面A1ACC1又因?yàn)槠矫鍭1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，BM?平面ABC，所以BM⊥平面A1ACC1，而AC1?平面A1ACC1，所以BM⊥AC1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行的判定定理的應(yīng)用及線面垂直的判定定理的應(yīng)用，屬于中檔題．17．【分析】（Ⅰ）求解圓的半徑，即可得到圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）利用圓的圓心到直線的距離等于半徑，即可求k的值；（Ⅲ）求解P的軌跡方程，列出不等式，轉(zhuǎn)化求k的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）已知圓C的圓心為C（3，0），且過(guò)點(diǎn)，可知圓的半徑為：＝3，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程（x﹣3）2+y2＝9；（Ⅱ）直線l的方程為y＝kx﹣2．直線l與圓C相切，可得＝3，解得k＝；（Ⅲ）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿足|PO|＝2|PC|，設(shè)P（x，y），可得＝2，可得（x﹣4）2+y2＝4，且點(diǎn)P在直線l上，所以，解得k∈[0，]．k的取值范圍[0，]．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，是中檔題．18．【分析】（Ⅰ）易證AD∥平面BCEF，再由線面平行的性質(zhì)定理知AD∥EF，然后根據(jù)中位線定理的逆定理，即可得證；（Ⅱ）選擇條件①或②：先證AB，AD，AP兩兩垂直，再以A為原點(diǎn)建系，利用向量法求二面角即可．【解答】（Ⅰ）證明：因?yàn)锳D∥BC，AD?平面BCEF，BC?平面BCEF，所以AD∥平面BCEF，又AD?平面PAD，平面PAD∩平面BCEF＝EF，所以AD∥EF，因?yàn)镋是PD的中點(diǎn)，所以F為PA的中點(diǎn)．（Ⅱ）解：選擇條件①：因?yàn)锽C⊥PB，BC⊥AB，PB∩AB＝B，PB、AB?平面PAB，所以BC⊥平面PAB，又AD∥BC，所以AD⊥平面PAB，因?yàn)镻A⊥AB，所以AB，AD，AP兩兩垂直，故以A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），F(xiàn)（0，0，1），E（0，1，1），G（，，0），所以＝（0，0，1），＝（，，﹣1），＝（0，1，0），設(shè)平面AFG的法向量為＝（x，y，z），則，取y＝1，則z＝0，x＝﹣，所以＝（﹣，1，0），設(shè)平面EF