6．3.5平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示——(教學(xué)方式：深化學(xué)習(xí)課—梯度進(jìn)階式教學(xué))[課時(shí)目標(biāo)]1．掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算．2．能夠用兩個(gè)向量的坐標(biāo)來(lái)解決與向量的模、夾角、垂直有關(guān)的問(wèn)題．平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示設(shè)a，b是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ，則有：項(xiàng)目坐標(biāo)表示數(shù)量積a·b＝____________模|a|＝__________或|a|2＝________兩點(diǎn)間距離公式設(shè)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則|eq\o(P1P2,\s\up6(―→))|＝_______________垂直a⊥b?a·b＝0?______________夾角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝________________|微|點(diǎn)|助|解|關(guān)于平面向量數(shù)量積坐標(biāo)表示的幾個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)兩向量a與b的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是一個(gè)向量，其值可以為正(當(dāng)a≠0，b≠0,0°≤θ＜90°時(shí))，也可以為負(fù)(當(dāng)a≠0，b≠0,90°＜θ≤180°時(shí))，還可以為0(當(dāng)a＝0或b＝0或θ＝90°時(shí))．(2)公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉與a·b＝x1x2＋y1y2都是用來(lái)求兩向量的數(shù)量積的，沒(méi)有本質(zhì)區(qū)別，只是書寫形式上的差異，兩者可以相互推導(dǎo)．(3)若題目中給出的是兩向量的模與夾角，則可直接利用公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解；若已知兩向量的坐標(biāo)，則可選用公式a·b＝x1x2＋y1y2求解．eq\a\vs4\al(基礎(chǔ)落實(shí)訓(xùn)練)1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)兩個(gè)非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，滿足x1y2－x2y1＝0，則向量a，b的夾角為0°.()(2)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a⊥b?x1x2－y1y2＝0.()(3)若兩個(gè)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)和小于零，則兩個(gè)向量的夾角一定為鈍角．()2．已知eq\o(MN,\s\up6(―→))＝(3，－4)，則|eq\o(MN,\s\up6(―→))|等于()A．3 B．4C.eq\r(5) D．53．若向量a＝(4,2)，b＝(6，m)，且a⊥b，則m的值是()A．12 B．3C．－3 D．－124．已知向量a＝(－4,3)，b＝(5,12)，則a·b＝()A．52 B．－3C．－10 D．165．已知a＝(3,4)，b＝(5,12)，則a與b夾角的余弦值為_(kāi)_______．題型(一)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示[例1](1)設(shè)a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，則(a＋2b)·c＝()A．12 B．0C．－3 D．－11(2)已知矩形ABCD中，|eq\o(AB,\s\up6(―→))|＝6，|eq\o(AD,\s\up6(―→))|＝4，若點(diǎn)M，N滿足eq\o(BM,\s\up6(―→))＝3eq\o(MC,\s\up6(―→))，eq\o(DN,\s\up6(―→))＝2eq\o(NC,\s\up6(―→))，則eq\o(AM,\s\up6(―→))·eq\o(NM,\s\up6(―→))等于()A．20 B．15C．9 D．6聽(tīng)課記錄：|思|維|建|模|數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算的技巧(1)進(jìn)行向量的數(shù)量積運(yùn)算時(shí)，通常有兩條途徑：一是先將各向量用坐標(biāo)表示，然后直接進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算；二是先利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算律將原式展開(kāi)，再依據(jù)已知條件計(jì)算．(2)在平面幾何圖形中求數(shù)量積，若幾何圖形規(guī)則易建系，一般先建立坐標(biāo)系，寫出相關(guān)向量的坐標(biāo)，再求數(shù)量積．[針對(duì)訓(xùn)練]1．已知點(diǎn)P(2,4)，Q(1,6)，向量eq\o(EF,\s\up6(―→))＝(2，λ)，若eq\o(PQ,\s\up6(―→))·eq\o(EF,\s\up6(―→))＝0，則實(shí)數(shù)λ的值為()A.eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．2 D．12．矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E，F(xiàn)分別為BC，DC的中點(diǎn)，則eq\o(AE,\s\up6(―→))·eq\o(BF,\s\up6(―→))＝()A．4 B．6C．8 D．10題型(二)向量的模[例2](1)設(shè)平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，則|3a＋b|等于()A.eq\r(5) B.eq\r(6)C.eq\r(17) D.eq\r(26)(2)如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，BC＝2，P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，則|eq\o(PC,\s\up6(―→))＋4eq\o(PD,\s\up6(―→))|的最小值為()A．3eq\r(5) B．6C．2eq\r(5) D．4聽(tīng)課記錄：|思|維|建|模|求向量a＝(x，y)的模的常見(jiàn)思路及方法(1)求模問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化為求模的平方，即a2＝|a|2＝x2＋y2，求模時(shí)，勿忘記開(kāi)方．(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝eq\r(a2)＝eq\r(x2＋y2)，此性質(zhì)可用來(lái)求向量的模，可以實(shí)現(xiàn)實(shí)數(shù)運(yùn)算與向量運(yùn)算的相互轉(zhuǎn)化．[針對(duì)訓(xùn)練]3．已知eq\o(AB,\s\up6(―→))＝(1,3)，eq\o(AC,\s\up6(―→))＝(3，m)，eq\o(AB,\s\up6(―→))·eq\o(BC,\s\up6(―→))＝2，則|eq\o(BC,\s\up6(―→))|＝()A．1 B．2C.eq\r(3) D．34．已知向量a＝(cosθ，sinθ)，向量b＝(eq\r(3)，0)，則|2a－b|的最大值為_(kāi)_______．題型(三)向量的夾角與垂直[例3]設(shè)平面上向量a＝(cosα，sinα)(0°≤α≤90°)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).(1)求a與b的夾角θ.(2)求證：a＋b與a－b垂直．聽(tīng)課記錄：|思|維|建|模|利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求兩向量夾角的步驟(1)利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式求出這兩個(gè)向量的數(shù)量積．(2)利用|a|＝eq\r(x2＋y2)計(jì)算出這兩個(gè)向量的模．(3)由公式cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))直接求出cosθ的值．(4)在[0，π]內(nèi)，由cosθ的值求角θ.[針對(duì)訓(xùn)練]5．(2024·新課標(biāo)Ⅰ卷)已知向量a＝(0,1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，則x＝()A．－2 B．－1C．1 D．27．已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a與b的夾角θ為鈍角，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為_(kāi)___________．課下請(qǐng)完成課時(shí)跟蹤檢測(cè)十一6．3.5平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示課前預(yù)知教材x1x2＋y1y2eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)eq\r(x2－x12＋y2－y12)x1x2＋y1y2＝0eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))[基礎(chǔ)落實(shí)訓(xùn)練]1．(1)×(2)×(3)×2．選D|eq\o(MN,\s\up6(―→))|＝eq\r(32＋－42)＝5.3．選D∵a⊥b，∴4×6＋2m＝0，解得m＝－12.4．選D由已知得a·b＝－20＋36＝16.故選D.5．解析：因?yàn)閍·b＝3×5＋4×12＝63，|a|＝eq\r(32＋42)＝5，|b|＝eq\r(52＋122)＝13，所以a與b夾角的余弦值為eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(63,5×13)＝eq\f(63,65).答案：eq\f(63,65)課堂題點(diǎn)研究[題型(一)][例1]解析：(1)∵a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，∴a＋2b＝(－5,6)．∴(a＋2b)·c＝(－5)×3＋6×2＝－3.(2)因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，建立平面直角坐標(biāo)系如圖．A(0,0)，M(6,3)，N(4,4)．則eq\o(AM,\s\up6(―→))＝(6,3)，eq\o(NM,\s\up6(―→))＝(2，－1)，eq\o(AM,\s\up6(―→))·eq\o(NM,\s\up6(―→))＝6×2－3×1＝9.答案：(1)C(2)C[針對(duì)訓(xùn)練]1．選D由P(2,4)，Q(1,6)可得eq\o(PQ,\s\up6(―→))＝(－1,2)，又eq\o(EF,\s\up6(―→))＝(2，λ)，所以eq\o(PQ,\s\up6(―→))·eq\o(EF,\s\up6(―→))＝－2＋2λ＝0，解得λ＝1.故選D.2.選B建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)榫匦蜛BCD中，AB＝2，AD＝4，E，F(xiàn)分別為BC，DC的中點(diǎn)，所以A(0,0)，B(2，0)，E(2,2)，F(xiàn)(1,4)，則eq\o(AE,\s\up6(―→))＝(2,2)，eq\o(BF,\s\up6(―→))＝(－1,4)，所以eq\o(AE,\s\up6(―→))·eq\o(BF,\s\up6(―→))＝6.[題型(二)][例2]解析：(1)∵a∥b，∴1×y－2×(－2)＝0，解得y＝－4.∴3a＋b＝(1,2)，則|3a＋b|＝eq\r(5).(2)如圖，以B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)AB＝a，BP＝x(0≤x≤a)，因?yàn)锳D＝1，BC＝2，所以P(0，x)，C(2,0)，D(1，a)．所以eq\o(PC,\s\up6(―→))＝(2，－x)，eq\o(PD,\s\up6(―→))＝(1，a－x)，4eq\o(PD,\s\up6(―→))＝(4,4a－4x)．所以eq\o(PC,\s\up6(―→))＋4eq\o(PD,\s\up6(―→))＝(6,4a－5x)．所以|eq\o(PC,\s\up6(―→))＋4eq\o(PD,\s\up6(―→))|＝eq\r(36＋4a－5x2)≥6.所以當(dāng)4a－5x＝0，即x＝eq\f(4,5)a時(shí)，|eq\o(PC,\s\up6(―→))＋4eq\o(PD,\s\up6(―→))|的最小值為6.故選B.答案：(1)A(2)B[針對(duì)訓(xùn)練]3．選B因?yàn)閑q\o(BC,\s\up6(―→))＝eq\o(AC,\s\up6(―→))－eq\o(AB,\s\up6(―→))＝(2，m－3)，則eq\o(AB,\s\up6(―→))·eq\o(BC,\s\up6(―→))＝2＋3(m－3)＝2，則m＝3，所以eq\o(BC,\s\up6(―→))＝(2,0)，則|eq\o(BC,\s\up6(―→))|＝2，故選B.4．解析：由題意得2a－b＝(2cosθ－eq\r(3)，2sinθ)，則|2a－b|＝eq\r(2cosθ－\r(3)2＋2sinθ2)＝eq\r(4cos2θ－4\r(3)cosθ＋3＋4sin2θ)＝eq\r(7－4\r(3)cosθ)，當(dāng)且僅當(dāng)cosθ＝－1時(shí)，|2a－b|取最大值2＋eq\r(3).答案：2＋eq\r(3)[題型(三)][例3]解：(1)由題意知，|a|＝1，|b|＝1，a·b＝－eq\f(1,2)cosα＋eq\f(\r(3),2)sinα，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－\f(1,2)cosα＋\f(\r(3),2)sinα,1×1)＝－eq\f(1,2)cosα＋eq\f(\r(3),2)sinα＝cos(120°－α)．因?yàn)?°≤α≤90°，所以30°≤120°－α≤120°.又0°≤θ≤180°，所以θ＝120°－α，即兩向量的夾角為120°－α.(2)證明：因?yàn)?a＋b)·(a－b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosα－\f(1,2)，sinα＋\f(\r(3),2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosα＋\f(1,2)，sinα－\f(\r(3),2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosα－\f(1,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosα＋\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinα＋\f(\r(3),2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinα－\f(\r(3),2)))＝cos2α－eq\f(1,4)＋sin2α－eq\f(3,4)＝1－eq\f(1,4)－eq\f(3,4)＝0，所以(a＋b)⊥(a－b)．[針對(duì)訓(xùn)練]5．選D因?yàn)閎⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0