第二十四章

圓24.2點(diǎn)和圓、直線和圓的位置關(guān)系24.2.2直線和圓的位置關(guān)系（第3課時(shí)）同學(xué)們玩過空竹和悠悠球嗎？在空竹和悠悠球的旋轉(zhuǎn)的那一瞬間，你能從中抽象出什么樣數(shù)學(xué)圖形？1.掌握切線長的定義及切線長定理.

2.初步學(xué)會(huì)運(yùn)用切線長定理進(jìn)行計(jì)算與證明.學(xué)習(xí)重點(diǎn)：掌握切線長定理，初步學(xué)會(huì)運(yùn)用切線長定理進(jìn)行計(jì)算與證明.學(xué)習(xí)難點(diǎn)：學(xué)會(huì)利用方程思想解決幾何問題，體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合思想.問題1

上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了過圓上一點(diǎn)作已知圓的切線(如左圖所示)，如果點(diǎn)P是圓外一點(diǎn)，又怎么作該圓的切線呢？過圓外的一點(diǎn)作圓的切線，可以作幾條？POBAO.PAB切線長定理及應(yīng)用知識點(diǎn)1P1.切線長的定義：

切線上一點(diǎn)到切點(diǎn)之間的線段的長叫作這點(diǎn)到圓的切線長．AO①切線是直線，不能度量.②切線長是線段的長，這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別是圓外一點(diǎn)和切點(diǎn)，可以度量．2.切線長與切線的區(qū)別在哪里？問題2PA為☉O的一條切線，沿著直線PO對折，設(shè)圓上與點(diǎn)A重合的點(diǎn)為B．

OB是☉O的一條半徑嗎？PB是☉O的切線嗎？（利用圖形軸對稱性解釋）

PA、PB有何關(guān)系？

∠APO和∠BPO有何關(guān)系？O.PABBPOA切線長定理

過圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，兩條切線長相等.圓心與這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角.PA、PB分別切☉O于A、BPA=PB∠OPA=∠OPB幾何語言:O.P已知，如圖PA、PB是☉O的兩條切線，A、B為切點(diǎn).求證：PA=PB，∠APO=∠BPO.證明：∵PA切☉O于點(diǎn)A，∴OA⊥PA.同理可得OB⊥PB.∵OA=OB，OP=OP，∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL），∴PA=PB，∠APO=∠BPO.推理驗(yàn)證AB想一想：若連接兩切點(diǎn)A、B，AB交OP于點(diǎn)M.你又能得出什么新的結(jié)論?并給出證明.OP垂直平分AB.證明：∵PA，PB是⊙O的切線,點(diǎn)A，B是切點(diǎn),

∴PA=PB

，∠OPA=∠OPB.

∴△PAB是等腰三角形，PM為頂角的平分線

∴OP垂直平分AB.O.PABM想一想：若延長PO交⊙O于點(diǎn)C，連接CA、CB，你又能得出什么新的結(jié)論?并給出證明.證明：∵PA，PB是⊙O的切線,點(diǎn)A，B是切點(diǎn)，

∴PA=PB

，∠OPA=∠OPB.

∴PC=PC.

∴△PCA≌△PCB，

∴AC=BC.CA=CBO.PABC例1已知：如圖，四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA與⊙O分別相切于點(diǎn)E、F、G、H.求證：AB+CD=AD+BC.·ABCDO證明：∵AB、BC、CD、DA與⊙O分別相切于點(diǎn)E、F、G、H，EFGH∴AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH.∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH.∴AB+CD=AD+BC.切線長定理的應(yīng)用素養(yǎng)考點(diǎn)1BPOAPA、PB是☉O的兩條切線，A,B是切點(diǎn)，OA=3.（1）若AP=4,則OP=

;（2）若∠BPA=60°,則OP=

.56例2為了測量一個(gè)圓形鐵環(huán)的半徑，某同學(xué)采用了如下辦法：將鐵環(huán)平放在水平桌面上，用一個(gè)銳角為30°的三角板和一個(gè)刻度尺，按如圖所示的方法得到相關(guān)數(shù)據(jù)，進(jìn)而可求得鐵環(huán)的半徑，若三角板與圓相切且測得PA=5cm，求鐵環(huán)的半徑．分析：欲求半徑OP，取圓的圓心為O，連OA、OP，由切線性質(zhì)知△OPA為直角三角形，從而在Rt△OPA中由勾股定理易求得半徑．O切線長定理在生活中的應(yīng)用素養(yǎng)考點(diǎn)2BC在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，OQ解：過O作OQ⊥AB于Q，設(shè)鐵環(huán)的圓心為O，連接OP、OA.∵AP、AQ為⊙O的切線，∴AO為∠PAQ的平分線，即∠PAO＝∠QAO.又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°.即鐵環(huán)的半徑為BC如圖,小敏家廚房一墻角處有一自來水管,裝修時(shí)為了美觀,準(zhǔn)備用木板從AB處將水管密封起來,互相垂直的兩墻面與水管分別相切于D、E兩點(diǎn),經(jīng)測量發(fā)現(xiàn)AD和BE的長恰是方程x2-25x+150=0的兩根(單位:cm),則該自來水管的半徑為

cm(AD<BE).

解析：設(shè)圓心為O,連接OD、OE,x2-25x+150=0,(x-10)(x-15)=0,解得x1=10,x2=15,∵AD<BE,∴AD=10,BE=15,設(shè)半徑為r,又AB=AD+BE=25,∴(AD+r)2+(BE+r)2=AB2,∴(10+r)2+(15+r)2=252,解得r=5.5

小明在一家木料廠上班，工作之余想對廠里的三角形廢料進(jìn)行加工：裁下一塊圓形用料，怎樣才能使裁下的圓的面積盡可能大呢？三角形的內(nèi)切圓及作法知識點(diǎn)2問題1:如果最大圓存在，它與三角形三邊應(yīng)有怎樣的位置關(guān)系？

OOOO最大的圓與三角形三邊都相切三角形角平分線的這個(gè)性質(zhì)，你還記得嗎？問題2:如何求作一個(gè)圓，使它與已知三角形的三邊都相切？

(1)如果半徑為r的☉I與△ABC的三邊都相切，那么圓心I應(yīng)滿足什么條件？(2)在△ABC的內(nèi)部，如何找到滿足條件的圓心I呢？

圓心I到三角形三邊的距離相等，都等于r.三角形三條角平分線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)與三角形的三邊距離相等.圓心I應(yīng)是三角形的三條角平分線的交點(diǎn).為什么呢？已知：△ABC.求作：和△ABC的各邊都相切的圓.MND作法：1.作∠B和∠C的平分線BM和CN，交點(diǎn)為O.2.過點(diǎn)O作OD⊥BC.垂足為D.3.以O(shè)為圓心，OD為半徑作圓O.☉O就是所求的圓.做一做ACB1.與三角形三邊都相切的圓叫作三角形的內(nèi)切圓.2.三角形內(nèi)切圓的圓心叫做這個(gè)三角形的內(nèi)心.3.這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的外切三角形.BACI

☉I是△ABC的內(nèi)切圓，點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，△ABC是☉I的外切三角形.例

已知:△ABC(如圖),(1)求作△ABC的內(nèi)切圓☉I(要求:用尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,寫出作法,不要求證明).(2)在題(1)已經(jīng)作好的圖中,若∠BAC=88°,求∠BIC的度數(shù).三角形的內(nèi)切圓的作法素養(yǎng)考點(diǎn)解析：(1)①以A為圓心、任意長為半徑畫圓,分別交AC、AB于點(diǎn)H、G;②分別以H、G為圓心,以大于HG的長為半徑畫圓,兩圓相交于K點(diǎn),連接AK,則AK即為∠BAC的平分線;③同理作出∠ABC的平分線BF,交AK于點(diǎn)I,則I即為△ABC內(nèi)切圓的圓心;④過I作IM⊥BC于M,以I為圓心,IM為半徑畫圓,則☉I即為所求圓.(2)∵∠BAC=88°,∴∠ABC+∠ACB=180°-88°=92°,∴∠IBC+∠ICB=(∠ABC+∠ACB)=×92°=46°,∴∠BIC=180°-46°=134°.△ABC的內(nèi)切圓半徑為r，△ABC的周長為l，求△ABC的面積.（提示：設(shè)內(nèi)心為O，連接OA、OB、OC.）解：設(shè)AB=c，BC=a，AC=b.CAB·ODMNrrr則S△OBC=

ar,S△OBA=

cr,S△OAC=br,S△ABC=S△OBC+S△OBA+S△OAC=

ar+cr+br=

r（a+c+b）=lr.BACI問題1如圖，☉I是△ABC的內(nèi)切圓，那么線段IA，IB,IC有什么特點(diǎn)？線段IA，IB,IC分別是∠A，∠B，∠C的平分線.三角形的內(nèi)心的定義和性質(zhì)知識點(diǎn)3BACI問題2如圖，分別過點(diǎn)作AB、AC、BC的垂線，垂足分別為E、F，G，那么線段IE、IF、IG之間有什么關(guān)系？EFGIE=IF=IG三角形內(nèi)心的性質(zhì)三角形的內(nèi)心在三角形的角平分線上.三角形的內(nèi)心到三角形的三邊距離相等.BACIEFG

IA，IB，IC是△ABC的角平分線，IE=IF=IG.例如圖，△ABC中，∠B=43°，∠C=61°，點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，求∠

BIC的度數(shù).解：連接IB，IC.ABCI∵點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，∴IB，IC分別是∠

B，∠C的平分線，在△IBC中，利用三角形內(nèi)心的性質(zhì)求角度素養(yǎng)考點(diǎn)如圖,在△ABC中,點(diǎn)P是△ABC的內(nèi)心,則∠PBC+∠PCA+∠PAB=

.解析：∵點(diǎn)P是△ABC的內(nèi)心,∴PB平分∠ABC,PA平分∠BAC,PC平分∠ACB,∴∠PBC+∠PCA+∠PAB=90°.90°名稱確定方法圖形性質(zhì)外心：三角形外接圓的圓心內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心三角形三邊中垂線的交點(diǎn)1.OA=OB=OC;2.外心不一定在三角形的內(nèi)部三角形三條角平分線的交點(diǎn)1.到三邊的距離相等；2.OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB;3.內(nèi)心在三角形內(nèi)部ABOABCO1.如圖，一把直尺，60°的直角三角板和光盤如圖擺放，A為60°角與直尺交點(diǎn)，AB=3，則光盤的直徑是（）A．3

B．

C．6 D．解析：設(shè)三角板與圓的切點(diǎn)為C，連接OA、OB，由切線長定理知AB=AC=3，OA平分∠BAC，∴∠OAB=60°，在Rt△ABO中，OB=ABtan∠OAB=

，∴光盤的直徑為

．

DOC

2.如圖，菱形ABOC的邊AB、AC分別與⊙O相切于點(diǎn)D、E．若點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，則∠DOE=

．解析：連接OA，∵四邊形ABOC是菱形，∴BA=BO，∵AB與⊙O相切于點(diǎn)D，∴OD⊥AB，∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴直線OD是線段AB的垂直平分線，∴OA=OB，∴△AOB是等邊三角形，∵AB與⊙O相切于點(diǎn)D，∴OD⊥AB，∴∠AOD=∠AOB=30°，同理，∠AOE=30°，∴∠DOE=∠AOD+∠AOE=

60°．60°A2.如圖，已知點(diǎn)O是△ABC

的內(nèi)心，且∠ABC=60°,∠ACB=80°,則∠BOC=

.1.如圖，PA、PB是☉O的兩條切線，切點(diǎn)分別是A、B，如果AP=4,∠APB=40°,則∠APO=

,PB=

.BPOA第1題BCO第2題20°4110°基礎(chǔ)鞏固題（3）若∠BIC=100°，則∠A=

度.（2）若∠A=80°，則∠BIC=

度.130203.如圖，在△ABC中，點(diǎn)I是內(nèi)心，（1）若∠ABC=50°，∠ACB=70°，∠BIC=_____.ABCI（4）試探索：∠A與∠BIC之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？120°如圖所示，已知在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓與AB交于E，與AC相切于點(diǎn)D.求證：DE∥OC.證明：連接OD，∵AC切⊙O于點(diǎn)D，∴OD⊥AC，∴∠ODC=∠B=90°.在Rt△OCD和Rt△OCB中，OD＝OB，OC＝OC,

∴Rt△ODC≌Rt△OBC（HL），∴∠DOC=∠BOC.∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED，∵∠DOB=∠ODE+∠OED，∴∠BOC=∠OED，∴DE∥OC.能力提升題如圖，△ABC中，I是內(nèi)心，∠A的平分線和△ABC的外接圓相交于點(diǎn)D.求證：DI＝DB.證明：連接BI.∵I是△ABC的內(nèi)心，∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI.∵∠CBD=∠CAD，∴∠BAD=∠CBD.∵∠BID=∠BAD+∠ABI，∠IBD=∠CBI+∠CBD，∴∠BID=∠IBD，∴BD=ID．拓廣探索題切線長切線長定理作用圖形的軸對稱性原理提供了證線段和角相等的新方法輔助線分別連接圓心和切點(diǎn)；連接兩切點(diǎn)；連接圓心和圓外一點(diǎn)三角形內(nèi)切圓運(yùn)用切線長定理，將相等線段轉(zhuǎn)化集中到某條邊上，從而建立方程有關(guān)概念內(nèi)心概念及性質(zhì)應(yīng)用1.經(jīng)過半徑的外端并且

這條半徑的直線是圓的切線.2.如圖,AB是☉O的直徑,BC交☉O于點(diǎn)D,DE⊥AC于點(diǎn)E,要使DE是☉O的切線,還需補(bǔ)充一個(gè)條件,則補(bǔ)充的條件不正確的是(

)A.DE=DO B.AB=ACC.CD=DB D.AC∥OD3.圓的切線垂直于過切點(diǎn)的

.

垂直于

A半徑

4.如圖,AB為☉O的直徑,BC是☉O的切線,AC交☉O于點(diǎn)D,AB=6,BC=8,則BD的長為(

)

A.4 B.4.8 C.5.2 D.65.經(jīng)過圓外一點(diǎn)的圓的切線上,這點(diǎn)和切點(diǎn)之間線段的長,叫做這點(diǎn)到圓的

;從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線,它們的切線長

,這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的

.B切線長

相等

夾角

7.與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的

,內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn),叫做三角形的

.

8.如圖,已知△ABC的內(nèi)切圓☉O與BC邊相切于點(diǎn)D,連接OB,OD.若∠ABC=40°,則∠BOD的度數(shù)是

.

①②③④⑤

內(nèi)切圓

內(nèi)心

70°1.直線和圓相切的性質(zhì)和判定【例1】

如圖,PA是☉O的切線,切點(diǎn)是A,過點(diǎn)A作AH⊥OP,垂足為H,交☉O于點(diǎn)B.求證:PB是☉O的切線.證明:如圖,連接OA,OB.∵PA是☉O的切線,∴∠OAP=90°.∵OA=OB,AB⊥OP,∴∠AOP=∠BOP.又OA=OB,OP=OP,∴△AOP≌△BOP(SAS).∴∠OBP=∠OAP=90°,即PB是☉O的切線.點(diǎn)撥:知切線,連半徑,得垂直,即根據(jù)切線的性質(zhì),當(dāng)已知某條直線是圓的切線時(shí),切線與過切點(diǎn)的半徑垂直,這在解決問題時(shí)起著關(guān)鍵的作用.2.切線長定理【例2】

如圖,P為☉O外一點(diǎn),PA,PB為☉O的兩條切線,A和B是切點(diǎn),弦AC∥OP.求證:BC是☉O的直徑.分析:確定BC是直徑,但題意中未指明BC經(jīng)過圓心,可通過證明對的圓周角為90°,這由切線長的性質(zhì)容易得到.證明:如圖,連接AB,OA,OB,BC.因?yàn)镻A,PB分別與☉O相切于點(diǎn)A,B,所以PA=PB.又因?yàn)镺A=OB,所以O(shè)P是線段AB的垂直平分線,即有OP⊥AB.因?yàn)锳C∥OP,所以AC⊥AB.所以∠BAC=90°.所以BC是☉O的直徑.點(diǎn)撥:由該例我們不難得到如下結(jié)論:過圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線,圓心與這一點(diǎn)的連線垂直平分兩切點(diǎn)間的線段.這樣,結(jié)合等腰三角形的性質(zhì),便于問題的快速解決.123451.下列說法正確的是(

)A.內(nèi)心一定在三角形內(nèi)部,外心一定在三角形外部B.任何三角形只有一個(gè)內(nèi)切圓,任何圓只有一個(gè)外切三角形C.到三角形三邊所在的直線距離相等的點(diǎn)只有一個(gè)D.若PA,PB分別與☉O相切于A,B兩點(diǎn),則PA=PBD6123452.如圖,直線AB與☉O相切于點(diǎn)A,AC,CD是☉O的兩條弦,且CD∥AB,若☉O的半徑為5,CD=8,則弦AC的長為(

)D612345解析

∵直線AB與☉O相切于點(diǎn)A,∴OA⊥AB.∵CD∥AB,∴AO⊥CD,記垂足為點(diǎn)E