晉江僑聲中學(xué)、南安僑光中學(xué)2025秋季高二年兩校聯(lián)考二

數(shù)學(xué)試卷

（考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的．

1.在等差數(shù)列中,,,則的公差為（）

ana1a2a36a2a3a412an

A.1B.2C.3D.4

5

2.若過點(diǎn)1,1的直線l的傾斜角為，且cos，則l的方程為（）

5

A．x2y30B．x2y30C．2xy30D．2xy30

3.四面體OABC中，AB2AD，OE2EC，設(shè)OAa，OBb，OCc，則DE（）

112112

A．a(chǎn)bcB．a(chǎn)bcC．a(chǎn)b2cD．a(chǎn)b2c

223223

x2y2

4.已知橢圓C:1(ab0)，過C的右焦點(diǎn)作x軸的垂線交C于A,B兩點(diǎn)，ABb，則C的

a2b2

離心率e為()

A．1B．3C．1D．3

2244

2

5.已知實(shí)數(shù)x,y滿足x2y24，則3x4y的取值范圍為（）

A．16,4B．8,12C．10,10D．4,16

6.如圖，在三棱錐PABC中，PA平面ABC，BAC90，點(diǎn)D，E分別為PA，

PC的中點(diǎn)，AP4AM，PAAC2AB4，則點(diǎn)M到平面BDE的距離是（）

123

A.B．C．D．2

222

7.已知拋物線:y26x的焦點(diǎn)為F，過F的直線與交于點(diǎn)A，B，且與的準(zhǔn)線交

|AF|

于點(diǎn)D，若|BD|4且|AF||FB|，則的值為（）

|FB|

A．2B．2C．3D．4

8.造型可以做成美麗的絲帶，將其看作圖中曲線C的一部分.已知C過坐標(biāo)原點(diǎn)

O，且C上的點(diǎn)滿足橫坐標(biāo)大于2，到點(diǎn)F(2,0)的距離與到定直線xa(a0)的距

離之積為4，則C在第一象限的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值y0與1的關(guān)系為（）

A．y01B．y01C．y01D．y01

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．

9.一個(gè)不透明袋子中裝有大小和質(zhì)地完全相同的2個(gè)紅球和3個(gè)白球，從袋中一次性隨機(jī)摸出

2個(gè)球，則（）

A．“摸到2個(gè)紅球”與“摸到2個(gè)白球”是互斥事件

B．“至少摸到1個(gè)紅球”與“摸到2個(gè)白球”是對(duì)立事件

C．“摸出的球顏色相同”的概率為2

5

D．“摸出的球中有紅球”與“摸出的球中有白球”相互獨(dú)立

x2y222

xy，其中

10.已知橢圓C1:1，雙曲線C2:1ab0，它們的離心率分別為e，e，

a2b2a2b212

則（）

A．C2可能為等軸雙曲線B．C1的焦距小于C2的焦距

22

C．C1與C2恰有四個(gè)公共點(diǎn)D．e1e22

π

11.直四棱柱ABCDABCD的所有棱長(zhǎng)都為4，BAD，點(diǎn)P在四邊形BDD1B1及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，

11113

且滿足PAPC8，則（）．

A．存在點(diǎn)P使得C1P//平面AB1D1

B．直線AP與平面BDD1B1所成的角為定值

ππ

C．直線AA與CP所成角的范圍為,

1163

221

D．點(diǎn)P到平面AB1D1的距離的最小值為

7

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．

1

12.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,,則

anSna13an1a2025.

1an

22

13.點(diǎn)P在直線y2x上運(yùn)動(dòng)，從點(diǎn)P向圓Q:x2y21引切線，則切線長(zhǎng)的最小值

為.

2

x2

14.已知橢圓C:y1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2，直線yx1與C交于M、N兩點(diǎn)，設(shè)MNF

22

的內(nèi)切圓圓心為I1，外接圓圓心為I2，則I1I2的值為．

四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

15.(本題13分)在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD為正方形，AA12，AB1，E為AD中

點(diǎn)，F(xiàn)為CC1中點(diǎn).

(1)求證：CE//平面AD1F；

(2)求AB1與平面AD1F成角的正弦值.

16.（本題15分）如圖所示，已知雙曲線與拋物線有相同的焦點(diǎn)F，它們?cè)诘谝幌?/p>

限內(nèi)的交點(diǎn)為M.

(1)寫出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；

(2)若雙曲線的漸近線為y3x.

(i)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(ii)求點(diǎn)M到雙曲線兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和.

n2n

17.（本題15分）設(shè)等差數(shù)列的公差為,且.令,記,分別為數(shù)列

andd1bnSnTn

an

,的前項(xiàng)和,已知,

anbnn3a23a1a3S3T321

(1)求,的通項(xiàng)公式;

anbn

(2)若=，數(shù)列的前項(xiàng)和為,求

cncnnHnH20

.

18.（本題17分）如圖，在四棱錐PABCD中，CD平面PAD，PAAD．

(1)證明：PA平面ABCD；

(2)若底面ABCD是正方形，APAB6．E為PB中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱PD上，且平面AEF與平面

ABCD的夾角的余弦值為3．

3

（?。┣驪F；

（ⅱ）平面AEF交PC于點(diǎn)G，點(diǎn)M在平面PBC上，求EG與平面MAD所成角的正弦值的取值范

圍．

x2y23

19.（本題17分）已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1ab0，離心率為且過點(diǎn)A2,0，直

a2b22

線l與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)且不過原點(diǎn)．

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若APAQ，求證：直線l經(jīng)過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；

2△

(3)若直線OP，PQ，OQ的斜率分別為k1,k2,k3，且k2k1k3，求OPQ面積的取值范圍．

題號(hào)12345678

答案BCABDBCD

3

7.F,0如圖，設(shè)準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為K，過A作AA1l，過B作BB1l，垂足分別為A1,B1，則

2

BB1//FK//AA1．

根據(jù)拋物線定義知BB1|BF|，AA1|AF|，設(shè)AFFB(1)，BFm(m0)，

BBm4

1|BD|

因?yàn)锽B1//FK，所以，即，得m2，所以|AF||FB|2，所以

|KF||FD|p4m

|BA|22，

BB1|BD|24

因?yàn)锽B1//AA1，所以，即，解得3．故選：C.

AA1|AD|2422

8.設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)為x,y，

由題意知，曲線C方程為：xa(x2)2y24，其中x2，

將點(diǎn)(0,0)代入曲線方程，得：2a4，則a2.

故曲線C方程為：x2(x2)2y24，其中x2.

2162

可得y2x2，

x2

364125649207

當(dāng)x時(shí)，y21.

2494196196

因此C在第一象限的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值y01.故選：D.

二、

題號(hào)91011

答案ABCBDABD

9.記2個(gè)紅球?yàn)锳，B，3個(gè)白球?yàn)閍，b，c，則任意摸出2個(gè)球，有AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，

ac，bc，共10種，

“摸到2個(gè)紅球”有AB，“摸到2個(gè)白球”有ab，ac，bc，“至少摸到1個(gè)紅球”有AB，Aa，Ab，Ac，Ba，

Bb，Bc，

“摸出的球顏色相同”有AB，ab，ac，bc，“摸出的球中有白球”有Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，

bc，

A：“摸到2個(gè)紅球”與“摸到2個(gè)白球”不可能同時(shí)發(fā)生，故是互斥事件，故A正確；

B：“至少摸到1個(gè)紅球”與“摸到2個(gè)白球”不可能同時(shí)發(fā)生，且必有一個(gè)發(fā)生，故是對(duì)立事件，故B正

確；

C：“摸出的球顏色相同”包含4種結(jié)果，故其概率為，故C正確；

D：設(shè)M＝“摸出的球中有紅球”，N＝“摸出的球中有白球”，用古典概型的方法計(jì)算可知

P(M)＝，P(N)＝，P(MN)＝，顯然P(MN)≠P(M)P(N)，故M，N不相互獨(dú)立，故D錯(cuò)誤．故選ABC.

10.根據(jù)題意，因?yàn)閍b0，所以C2不可能為等軸雙曲線，A錯(cuò)誤；

x2y2

橢圓，半焦距22，

C1:221cab

ab

22

C1的焦距為2ab，

x2y2

雙曲線C:1(ab0)，半焦距ca2b2，

2a2b2

的焦距為22，顯然2222，B正確；

C22ab2ab2ab

x2y2

因?yàn)闄E圓C:1中xa,a，

1a2b2

x2y2

雙曲線C:1中x,aa.，

2a2b2

則C1與C2只有a,0和a,0兩個(gè)交點(diǎn)，C錯(cuò)誤;

22222222

abab，則22abab，D正確.故選：BD

e,ee1e2222

1a2aaa

π

11.由題設(shè)，棱柱底面是邊長(zhǎng)為4的菱形，且BAD，則ABADBD4，

3

根據(jù)直棱柱的結(jié)構(gòu)特征知，A,C關(guān)于平面BDD1B1對(duì)稱且AC面BDD1B1，

由PAPC8，點(diǎn)P在四邊形BDD1B1及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，則PAPC4，

所以P的軌跡是以BD的中點(diǎn)O為圓心，2為半徑的半圓（含端點(diǎn)），如下圖示，

當(dāng)P與B重合時(shí)，BC1//AD1，即PC1//AD1，PC1面AB1D1，AD1面AB1D1，

所以C1P//平面AB1D1，A對(duì)；

由上分析知，直線AP與平面BDD1B1所成的角，即為半圓錐AO的母線與底面所成角，

所以直線AP與平面BDD1B1所成的角為定值，B對(duì)；

由AA1//CC1，直線AA1與C1P所成角，即為直線CC1與C1P所成角CC1P，

根據(jù)對(duì)稱性，當(dāng)P從B運(yùn)動(dòng)到半圓的最上方時(shí)，CC1P由最小逐漸增加到最大，

πππ

即P與B重合時(shí)，最小CC1P為，顯然不滿足區(qū)間,的最小值;C錯(cuò)

463

令點(diǎn)P到平面AB1D1的距離為d，到直線B1D1的距離為h且2h4，

1221

而S4(42)247，S4h2h，AO23，

AB1D12PB1D12

11

由VV，則，整理可得21h，

APB1D1PAB1D1dSABDAOSPBDd

3113117

221

所以d，D對(duì).

min7

故選：ABD

三、

題號(hào)121314

210

答案17

36

4

yx1x

x03

14.由題意可得F(1,0),F(1,0)，由2解得和，

12x2

y1y11

2y

3

41

即M(0,1),N(,)，易知直線yx1經(jīng)過點(diǎn)F1(1,0)，

33

由|OF||OF||OM|1可得，

12F1MF290

11

故MNF的外接圓圓心I為FN的中點(diǎn)，即I(,)，

222266

又MNF2的內(nèi)切圓圓心為I1，則由對(duì)稱性可知，點(diǎn)I1在y軸上，不妨設(shè)I1(0,t)，

1

易得直線NF的方程為y3(x1)，即x7y10，

24

1

3

則點(diǎn)I1(0,t)到直線xy10的距離等于該點(diǎn)到直線x7y10的距離，

|1t||7t1|

11

即，解得t或t3（不合題意，舍去），故得I1(0,)，

25033

11110

故II()2()2.

126366

四、

15.（1）法1：取D1A的中點(diǎn)M,連接EM,FM,

11

依題意可知：CF//DD1且CFDD,EM//DD1且EMDD

2121

所以CF//EM且CFEM,四邊形ECFM為平行四邊形，故CE//FM，………4分

又CE平面AD1F,FM平面AD1F,所以CE//平面AD1F.…………6分

法2：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系

1

A1,0,0，D10,0,2，F(xiàn)0,1,1，B11,1,2,C0,1,0,E,0,0

2

1

CE,1,0,AD11,0,2，AF1,1,1，………………2分

2

設(shè)平面AD1F的法向量nx,y,z，

nAD1x2z0

則，取z1，得n2,1,1，…………4分

nAFxyz0

CEn0,又CE面AD1F，所以CE//平面AD1F，……………6分

（2）由（1）AB10,1,2，…………8分

AB1n330

設(shè)與平面所成角為，則，，

AB1AD1FsincosAB1n

AB1n3010

30

所以AB1與平面AD1F所成角的正弦值為.…………………13分

10

16.（1）因?yàn)閽佄锞€，

所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為……………4分

x2y2

（2）(i)設(shè)雙曲線的方程為C:1，其中ab0

2a2b2

則，，∴，，

∴雙曲線的方程為……………8分

(ii)由，可得或(舍去)所以，……………10分

由拋物線的定義可知，…………………12分

由雙曲線的定義可知，點(diǎn)M到左焦點(diǎn)的距離為7，…………………14分

∴點(diǎn)M到雙曲線兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為.…………………15分

17.(1)由,得,…………………1分

3a23a1a3a1d

則……………………3分

S3a1a2a33a13d6d

26129

又Tbbb…………………5分

3123d2d3dd

91

所以ST6d21即2d27d30解得d3,d(舍去)…………7分

33d2

所以………………9分

an3n

n2nn1

則b……………………10分

n3n3

(119)10

(2)aaa（31+3++19）=3300……12分

13192

（3+5++21）(321)10

bbb=40……………14分

2420323

…………15分

H20a1b2a3b4a19b2030040340

18.（1）因?yàn)镃D平面PAD，PA平面PAD，所以CDPA．

又PAAD，AD平面ABCD，CD平面ABCD，ADCDD，

所以PA平面ABCD．……………………3分

（2）以A為原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，如圖．

（ⅰ）D(0,6,0)，P(0,0,6)，E(3,0,3)，

AE(3,0,3)，PD(0,6,6)，AP(0,0,6)，設(shè)

PFPD0,6,6(01)，

則AFAPPF0,0,60,6,6(0,6,66)．

nAE03x3z0

設(shè)平面AEF的法向量為n(x,y,z)，則即，

nAF06y6(1)z0

取z，得xλ，y1，

所以n(,1,)是平面AEF的一個(gè)法向量，……………6分

因?yàn)锳P平面ABCD，所以AP(0,0,6)是平面ABCD的一個(gè)法向量．……7分因?yàn)槠矫鍭EF與

平面ABCD的夾角的余弦值為3，

3

||311

所以|cosn,AP|，得，所以PFPD32．……………9分

22(1)2322

（ⅱ）設(shè)PGPC，則AGAPPC(0,0,6)(6,6,6)(6,6,66)．

111

因?yàn)閚,,為平面AEGF的一個(gè)法向量，所以nAG，

222

1

所以AGn3333930，即130，得，

3

所以AG(2,2,4)，G(2,2,4)．………11分

F(0,3,3)，AB6,0,0，BC(0,6,0)，BP(6,0,6)，AD(0,6,0)，EG(1,2,1)，

因?yàn)镸在平面PBC上，所以BMsBCtBP，

所以AMABsBCtBP(6,0,0)s(0,6,0)t(6,0,6)(66t,6s,6t)．

mAD06y10

設(shè)平面MAD的法向量mx,y,z，則即，

111

mAM0(66t)x16sy16tz10

取x1t得y10，z1t1所以m(t,0,t1)是平面MAD的一個(gè)法向量，………………14分

設(shè)EG與平面MAD所成角為，則

11

sin|cosEG,m|

6t2(t1)262t22t1

213

因?yàn)?t2t1,，所以sin0,

23

3

即EG與平面MAD所成角的正弦值的取值范圍為0,．………………17分

3

c3

19.（1）由已知得，a2且a2b2c2，

a2

x2

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21；…………3分

4

（2）分類討論：

①當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，

設(shè)直線l的方程為ykxmm0，Px1,y1，Qx2,y2，

ykxm,

聯(lián)立方程組2消去y得4k21x28kmx4m210，

x2

y1,

4

8km4m21

則，，

x1x22xx

14k1214k2

2222

由Δ64km164k1m10，得4k2m21，…………………6分

由APAQ，得APAQ0，即x12x22y1y20，

22

化簡(jiǎn)得k1x1x2km2x1x2m40，

4m248kmkm2

從而k21m240，

4k214k21

化簡(jiǎn)得5m216km12k20，

6

即5m6km2k0，所以mk