專題15數(shù)列的通項(xiàng)公式

一.高考命題類型：

1.累和法求通項(xiàng)

2.累積法求通項(xiàng)

3.歸納法求通項(xiàng)

4.項(xiàng)和互化求通項(xiàng)

5.構(gòu)造協(xié)助數(shù)列求通項(xiàng)

（1）4+]=+g的形式

（2）a/]=〃4+/（〃）的形式

6.轉(zhuǎn)化為等差等比求通項(xiàng)

7.倒序相加求通項(xiàng)

8.分奇偶數(shù)求解

9.利用周期性求通項(xiàng)

10.裂項(xiàng)求通項(xiàng)

二.類型舉例

1.累和法求通項(xiàng)

例1.數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)為3,｛2｝為等差數(shù)列,且2=4向一〃“（〃￡”），若々=-2,

40=12,則仆=（）

A.0B.3C.8D.11

【答案】B

【解析】由題意可設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為4,公差為d,所以d=整?=?=2：所以

4=4-2d=-2—4=-6,所以b*=2n—8,艮[1%+1一4=2n-8,

%=q+(%一0)+(巧一4)…+(4-OZ)=3+(-6)+(~4)+…+(21-10)=3+(抑一8)5—1),所以

%=3,選B.

-—q=（-1戶三方，則數(shù)列｛（-）

練習(xí)1.已知數(shù)列｛/｝滿意q=1,）的前

A21Z2IZI

40項(xiàng)的和為（

19325C，20

A.D.----------SD.

204624?

【答案】I）

【解析】由已知條件得到4+1一4=（一1）2

n^n+2）

須-%=皆耗….…?-巧=（1-需，左右兩側(cè)累加得到

%）一+巧8一丹7+66一為5+…?+々=［（焉一/J+5一白+??…1-正好是數(shù)列｛（一1）"/｝

的前40項(xiàng)的和，消去一些項(xiàng)，計算得到2片0。

41

故答案為Do

【方法總結(jié)工這個題目考查的是數(shù)列的求和問題。首先數(shù)列求和選用的方法有，裂項(xiàng)求和，

主要用十分式能夠通過寫成兩項(xiàng)相減的形式從血消掉中間的項(xiàng)；分組求和，用十相鄰兩項(xiàng)之

和是定值，或者有規(guī)律的；錯位相減求和，用于一個等差一個等比乘在一起求和的數(shù)列。

練習(xí)2.數(shù)列｛q｝滿意4=1,且對于隨意的“都有％川=勺+卬+〃，則

1I1出一、

------1-------1■…4------------等于s)

(

qa2生M7

2016「4032八20174034

A.-----B.-----C.-----Dr.-----

2017201720182018

【答案】D

【解析】由題意可得:〃，山一?！岸?1,則:

q=1^/2-^=2,^3-22=3,,〃“一%=〃，

以上各式相加可得:

I114034

-------1---------F…-F

4%a2()172018

本題選擇D選項(xiàng).

【方法總結(jié)】：數(shù)列的遞推關(guān)系是給出數(shù)列的一種方法，依據(jù)給出的初始值和遞推關(guān)系可以

依次寫出這個數(shù)列的各項(xiàng)，由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式，常用的方法有：①求出數(shù)列的前

幾項(xiàng)，再歸納猜想出數(shù)列的一個通項(xiàng)公式：②將已知遞掛關(guān)系式整理、變形，變成等差、等

比數(shù)列，或用累加法、累乘法、迭代法求通項(xiàng).運(yùn)用裂項(xiàng)法求和時，要留意正負(fù)項(xiàng)相消時消

去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不行漏寫未被消去的項(xiàng)，未被消去的項(xiàng)有前后對稱的特點(diǎn),

實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的.

練習(xí)3.已知數(shù)列｛〃“｝滿意q=1,，若

用）=3%“川（〃之2,〃wN”），則數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)?！ǘǎ?/p>

A.—B.―-—C.I）.-J—

2〃-12〃-］3〃一2〃一+1

【答案】B

【解析］4%1+2^分1=3'1/1，——【+——2=3—，——1-1-=2|

a41a?-i%4

11

則孕L牛=2，數(shù)列［「_一2_1是苜項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列，

11ONO9

利用盛加法

%

1+2+2,+......十2川】，

61％%11勺。41)

12*-11

上=—=2"1,則4=不工,選B.

arMT2-12*-1

2.累積法求通項(xiàng)

例2.數(shù)列｛〃“｝滿意：囚=1,%=2,?！?4。(〃23且〃￡N"),則卬=()

an-2

A.-B.1C.2D.2-2013

2

【答案】C

【解析】由題意可得%=生=2,2=2=1,小=旦=?6=—=-?%=字=1，

4a2ay2%2%

想(聯(lián)想常見的數(shù)列)等方法.

(2)詳細(xì)策略：①分式中分子、分母的特征；②相鄰項(xiàng)的改變特征；③拆項(xiàng)后的特征；④各

項(xiàng)的符號特征和肯定值特征；⑤化異為同.對于分式還可以考慮對分子、分母各個擊破，或

找尋分子、分母之間的關(guān)系；⑥對于符號交替出現(xiàn)的狀況，可用(-1yMEN.處理.

11

練習(xí)1.數(shù)列,1

4-8-的一個通項(xiàng)公式可能是()

2

A.(-1)Z—c.(-if—I).(-ir'—

'72nV72n''2"

【答案】1)

【解析】由已知中數(shù)列之,可得數(shù)列各項(xiàng)的絕對值是一個以之為首項(xiàng)，以之為公比的等比

2481622

數(shù)列，又丫數(shù)列所有的奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，故可用(-I)*】來控制各項(xiàng)的符號，故數(shù)列

:，一:，!，一人--的一個通項(xiàng)公式為(一1)"|」,故選D-

248162

練習(xí)2.數(shù)列0.3,0.33,0.333,0.3333,…的通項(xiàng)公式是&=()

2

-

I93

A.3(10-1)(io”一i)I).T5(ioz,-i).

【答案】B

【解析】1一而=0.9,1—而=0.99,…，故原數(shù)列的通項(xiàng)公式為&=!0-制

.選B.

練習(xí)3.兩千多年前，古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家曾經(jīng)在沙灘上探討數(shù)學(xué)問題.他們在

沙灘上畫點(diǎn)或用小石子表示數(shù)，依據(jù)點(diǎn)或小石子能排列II勺形態(tài)對數(shù)進(jìn)行分類.如下圖中實(shí)心

點(diǎn)的個數(shù)5,9,14,20,…為梯形數(shù).依據(jù)圖形的構(gòu)成，記此數(shù)列的第2017項(xiàng)為生。17,則

“2017—5=()

A.2023x2017B.2023x2016C.1008x2023D.2017x1008

【答案】c

【解析】解：視察梯形數(shù)的前幾項(xiàng)，得

5=2+3=ai

9=2+3+4二/

］住2+3+4+5=4

a產(chǎn)2+3+…+(加2)=++,

由此可得。刈7—5=gx2018x2021-5=1009x2021-5,

該數(shù)的個位數(shù)字為4,結(jié)合選項(xiàng)只有C選項(xiàng)符合題意.

本題選擇C選項(xiàng).

【方法總結(jié)工依據(jù)所給數(shù)列的前幾項(xiàng)求其通項(xiàng)時，需細(xì)致視察分析，抓住其幾方面的特征:

相鄰項(xiàng)的改變特征；拆項(xiàng)言的各部分特征；符號特征.應(yīng)多進(jìn)行對比、分析，從整體到局部

多角度視察、歸納、聯(lián)想.

4.項(xiàng)和互化求通項(xiàng)

例4.設(shè)Z是數(shù)列的前〃項(xiàng)和，且3二'一'4則勺=()

n22〃"

L仕丫T

A.C.【).

3⑵

【答案】D

【解析】由題意可得:%=S]=＞考查所給選項(xiàng):

則選項(xiàng)S錯誤:

c110nl111

當(dāng)〃=2時:M=q+%=丁產(chǎn),即±+%=不一不—=[>

1

考查NC3選項(xiàng):-X=—,2x

36G)-=1

則選項(xiàng)加錯誤,

本題選擇〃選項(xiàng).

【方法規(guī)律總結(jié)】：給出S,與?！钡倪f推關(guān)系，求品，常用思路是：一是利用S〃+「S〃=a〃

轉(zhuǎn)化為8的遞推關(guān)系，再求其通項(xiàng)公式：二是轉(zhuǎn)化為S,的遞推關(guān)系，先求出S與〃之間的

關(guān)系，再求義.

練習(xí)1.設(shè)數(shù)列｛對｝滿意q+2%+22%+，,+2〃-%“二^（〃￡汗），通項(xiàng)公式是（)

D-%=￡

A.ci=—B.ci=----C.a?=—

”2n〃X

【答案】C

【解析】當(dāng)修時，”小

,z

vq+2a2+2之&+..+2'cin=—............(1),

4+2出+2?q+....+2'2〃〃_]=..........(2),

2

⑴-⑵得：，a,t=—,q='符合，則通項(xiàng)公式是4=’,選C.

”22122〃

練習(xí)2.設(shè)數(shù)列｛〃”｝滿意q+2%+22弓++2'1q=］（〃￡1<）,通項(xiàng)公式是（)

11

A.a=—B.a,C.

〃n2n2〃一1

【答案】C

【解析】當(dāng))=1時，/=1，

2

n—\

，?巧+2^2+2?6++2"y％=—...(1)}e+2%+2。3+...+2*.....⑵,

(1)-⑵得：=,4=3,

=—符合>貝誕項(xiàng)公式是4=而，選。?

練習(xí)3.已知正項(xiàng)數(shù)列｛《｝的前〃項(xiàng)和為S,,且%+1s,+〃

a}=m,現(xiàn)有如

6S.+「S”+1

下說法:

2

①〃2=5；②當(dāng)〃為奇數(shù)時，an=3n+m-3；@a2-^a4+...+a2n=3n+2n.

則上述說法正確的個數(shù)為（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

【答案】1）

【解析】由題意得"!"=9^土巴，當(dāng)〃=1時，生+1=6,凡=5;當(dāng)〃22時,

6%+1

(%+Dm)(%+?(%+1)1])

4=s”-s〃_|

6

因?yàn)闉椤?，所以化簡得4+1-q_1=6,(〃22)，因此當(dāng)〃為奇數(shù)時，

n+I

《=〃+6-----1=3〃+6-3;當(dāng)〃為偶數(shù)時，

a=6/,+6—-1=3〃+5-6=3〃-1;因此

■|_2

"5+6〃-1),、

生+4+…+生“=—----------=3匯+2〃；所以正確的個數(shù)為3,選D.

【方法總結(jié)]給出S”與您的遞推關(guān)系求?！?，常用思路是：一是利用a“二S,「Sj,〃N2

轉(zhuǎn)化為巴的遞推關(guān)系，再求其通項(xiàng)公式；二是轉(zhuǎn)化為S”的遞推關(guān)系，先求出S“與〃之間的

關(guān)系，再求%.應(yīng)用關(guān)系式'c時，肯定要留意分〃=1722兩種狀況，

Sn-Sn_^n>2

在求出結(jié)果后，看看這兩種狀況能否整合在一起.

5.構(gòu)造協(xié)助數(shù)列求通項(xiàng)

(1)%+[=pan+q的形式

例5.1數(shù)列｛%｝滿意4=2,%川=2%-1則4=()

A.33B.32C.31I).34

【答案】A

【解析】數(shù)列｛4｝滿足a.=2M*=24T,%+「1=2(%-1),｛4一1｝是以2為公比的等比數(shù)列，苜

項(xiàng)為1,得到%-1=2標(biāo)1=4=2*-1+1..=33.

故答案為：A。

練習(xí)L已知數(shù)列｛a｝滿意m=2,嬴)=34+2,則｛2｝的通項(xiàng)公式為

A.dn=2/r~1B.cZ/)=3,—1C.cin=2rrtD.^=6//—4

【答案】B

【解析】。1+1=3m+1),得｛4+1｝是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，

則4+1=3",即%=3"-1。故選B。

(2)《用=pan+f(n)的形式

例5.2設(shè)S“為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，2%一%_I=3?21（，后2）,且3q=2%.記7；為

數(shù)列|—!—的前〃項(xiàng)和，若V〃eN*,7；<〃7,則機(jī)的最小值為（）

【答案】A

【解析】由2a-an-i=3?2'T(n22),得，=―，":T—-1=—|―:

n2"42"-142"4(2

由2an?an-i=3?2'"(n22),且3aNa2,

可得2a2-ai=6,即2al=6,得ai=3.

，數(shù)列｛祟-1｝是以1為首項(xiàng)，以）為公比的等比數(shù)列,

//iT

則黑-14=2MR1+1)=2j+T

出=產(chǎn)育片中唱?二"（"+…+升4T4

???對VnWN*,Tn<m,

Am的最小值為』.

3

故答案為A。

【方法總結(jié)】：這個題目考查的是數(shù)列求通項(xiàng)的常用方法：配湊法，構(gòu)造新數(shù)列。也考查了

等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用，數(shù)列和的最值。關(guān)于數(shù)列之和的最值，可以干脆視察，比如這個

題目，一般狀況下須要探討和的表達(dá)式的單調(diào)性：構(gòu)造函數(shù)探討單調(diào)性，做差和0比探討單

調(diào)性，干脆探討表達(dá)式的單調(diào)性。

練習(xí)1.已知數(shù)列｛〃“｝的前〃項(xiàng)和為S“=2"-l,b“=%+2，?—l,則數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和

為（)

W-,2n22

A.2"|十〃2_]B.2+2n-1C.2+n-iD.2^+n+\

【答案】C

【解析】數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S〃=2"—l,

刈=2〃一,。-"。=2〃-21=22,

代入a=〃〃+2〃—i.得到a=2"-i+2〃—i.求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和.可以分組求和.

分為一個等比數(shù)列和一個等差數(shù)列。，=1+2+2?+....+21+1+3+5+.....+2〃-1

T+"/+2T.

1-22

故答案為C。

練習(xí)2.已知數(shù)列｛〃/滿意4=1,q=41+3〃-2（〃之2）,則｛為｝的通項(xiàng)公式為（）

22

_2c23n-n3/?+n

A.%=3〃-B.alt=3n-+nC.an=---I）.%=---

【答案】C

【解析】由4=。立1+3次-2得q—=3月—2,.二%一q=4+7+…+3典―2

=（I）（：3"-2）=紀(jì)產(chǎn),認(rèn)=存,當(dāng)E時也符合，?.擻列的通項(xiàng)公式為

3K2-?人+c

--—?故選C.

2

練習(xí)3.已知數(shù)列｛4｝滿意4=1,%=4I+3〃—2（〃N2）,則｛q｝的通項(xiàng)公式為（）

c2c2c3〃2-nc3/72+n

A.%=3〃-B.%=3"-+"C.an=---D.an=---

【答案】C

【解析】由?！?3〃-2得。"一=3〃-2,，%-q=4+7+...+3〃-2

（〃一1）（4+3〃一2）3〃2—〃一2久二如二2,當(dāng)〃=1時也符合，，數(shù)列的通項(xiàng)

222

公式為q二網(wǎng)二^.故選C.

6.轉(zhuǎn)化為等差等比求通項(xiàng)

例6.設(shè)函數(shù)/(x)是定義在(0,+o。)上的單調(diào)函數(shù)，且對于隨意正數(shù)有

/(q)=/(x)+/(y)，已知/[￡|二一1，若一個各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛4｝滿意

f(S〃)=++—其中S”是數(shù)列｛q｝的前"項(xiàng)和，則數(shù)列｛q｝中

第18項(xiàng)48=()

A.—B.9C.18D.36

36

【答案】C

【解析】??，(％)=f(%)+f(aa+1)3+1)T?.國數(shù)f3是定義域在?J,YO)上的單調(diào)困

數(shù)，數(shù)列國｝各項(xiàng)為正數(shù).?$=；1(%+1)①當(dāng)11=1時，可得?7；當(dāng)迎時，Sn廣<s(^4-1)②，

/JL

①-②可得3n=Q3fl(3Q+1)--3b-1(aO.i+l)(l+an-i)(3c-l-i-l)=^)

..a>0,...aaa.i-l=O即「.數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列,ai=l,d=l；.*.a<i=l+(n-1)xi=n即/=n所以％=18

故選C

練習(xí)1.已知數(shù)列｛《,｝和也｝滿意4出…?！?(也『￡N，).若也｝為等比數(shù)列，且

%=2也=6+&?則與“分別為()

M-1n

A.an=2,bn=/?(?+!)B.afl=2,bfl=/t(H+l)

n,H|

C.an=2,bn=(??-1)?D.an=2,bn=(/?-1)A?

【答案】B

【解析】設(shè)等比數(shù)列｛〃“｝的公比為q,

?:仄=6+b>,即"一4=6,

...％=(應(yīng)片=(應(yīng)『=8,

/.2g2=8.

又由題意得％〉0,???4=2,

:.%=2X2"T=2".

Abn=/z（n+l）.選B.

練習(xí)2.已知數(shù)列｛4｝滿意4=0,%=4+2瓶+1,則《3.（）

A.121B.136C.144D.169

【答案】C

【解析】由4+1=%+2Az+1可知，。向二（m+1）

即向?=m+1

???｛口｝為等差數(shù)列，首項(xiàng)為0,公差為1

，師=0+03-1）x1=12

/.《3=144

故選：C

練習(xí)3.數(shù)列｛〃”｝中，已知對隨意正整數(shù)〃，有4+生+〃3+??…+%=2”一1,則

+%2+..+4：=（）

A.（2—1）2B.1（4,-1）C.|（2H-1）D,4〃-1

【答案】B

【解析】,.,％+/+%+?-…+4=2”—1

6+?+?+....+4T=2*-1—l（w>2）

.?.%=2饃（w>2）

當(dāng)月=Lq=1也適合。冏=2*-1,故4=（月eN）

w

所以｛42｝是以1為苜項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，所以……+fl/=lz￡=l（4-l）,故選B.

練習(xí)4.已知數(shù)列｛?！埃龁?1,%+]=7黃，則%二()

A.--B.-C.一，或1D.-

2442

【答案】B

【解析】由條件可知見+1二馬」，兩邊去倒數(shù)得」一二』+」-=>,是等差數(shù)列，故

%+24用2%1%.

72+1生田21

—=l+(n-l)-=故得〃〃=本嗎=7

a,、,22

故答案選B.

【方法總結(jié)】：已知數(shù)列。用=且」,.要求通項(xiàng)，可以西邊取倒數(shù)，得到是等差數(shù)列,

a“+2a?

已知％=1

可以求出_L=i,再依據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，

%

—=l+(n-l)-=—,再取倒數(shù)可以求出q二二一，代入n=7,求得結(jié)果即可.

v7

an22"1+〃

練習(xí)4.已知數(shù)列｛凡｝的首項(xiàng)4=OMN=凡+2M+1+1,則%。二()

A.99B.101C.399D.401

【答案】C

【解析1由％+i=4+2J/+1+1,可得/+]+1=(也,+1+1)，*我+1+1-J%+1=1,

｛向百｝是以1為公差，以1為首項(xiàng)的等差數(shù)列歷1=64=步一1,%=202T=399,故選C.

7.倒序相加求通項(xiàng)

例7.已知產(chǎn)(司=/1+小一1是R上的奇函數(shù)，

/=〃0)+/(｝)+/弓)+…++則數(shù)列｛〃“｝的通項(xiàng)公式為

).

〃2

A.B.an=2nC.an=+1D.aI,t=n-2/2+3

【答案】c

1-1是奇函數(shù)，???尸（；）+尸J=0,令x=L

【解析】VF（.t）=/x+—

22>2

令x=jd=/(O)-1，A/(O)+/(l)=2,???q=/(O)+〃l)=2,

+

/[-j+f\j=2,6Zn=2+2X—=/?+1(/?e?/),

\n)\n)n

故選C

【方法總結(jié)］本題首先考查函數(shù)的基本性質(zhì)，借助函數(shù)性質(zhì)處理數(shù)列問題問題，特別奇妙,

對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，奇函數(shù)的應(yīng)用與數(shù)列第一項(xiàng)聯(lián)系起來，就知道該怎么對x賦值了,

接著推導(dǎo)f仕］+力上才=2,要求學(xué)生理解f（t）+f（2=2.本題有肯定的探究性,

⑺I〃）

難度大.

8.分奇偶數(shù)求解

]

例8.已知數(shù)列｛〃“｝滿意q=1,4，用一〃“=（一］）*'則數(shù)歹電-1）"4｝的前40

〃(〃+2)

項(xiàng)的和為()

193254120

A(.—Bn.------C.D.

20462844?

【答案】D

【解析】由已知條件得到%3一］］2,

''?(?+2)40f41*39(3941)1

"-%=倍-白］；…左右兩側(cè)累加得到

/Ox//I?//

%一角g+^8一%7+%5一%5+…?+七-6=；(3一：+：一±+…-［一；)正好是數(shù)列｛(-1『4

21394137393)<

20

的前40項(xiàng)的和，消去一些項(xiàng)，計算得到1。

41

故答案為D。

【方法總結(jié)】：這個題目考查的是數(shù)列的求和問題。首先數(shù)列求和選用的方法有，裂項(xiàng)求和，

主要用于分式能夠通過寫成兩項(xiàng)相減的形式從而消掉中間的項(xiàng)；分組求和，用于相鄰兩項(xiàng)之

和是定值，或者有規(guī)律的；錯位相減求和，用于一個等差一個等比乘在一起求和的數(shù)列。

—cia是偶

練習(xí)1.正整數(shù)數(shù)列｛〃,｝滿意。1=｛2"，已知％=2,｛4｝的前7項(xiàng)和的

3%+1,凡是奇

最大值為s,把％的全部可能取值按從小到大排成一個新數(shù)列｛2｝,2”｝全部項(xiàng)和為r,

則S-7=()

A.32B.48C.64D.80

【答案】C

【解析】々=2,則,=4,g=8或1,

(D當(dāng)生=8,則4=16,丹=32或5,

①當(dāng)?shù)?32,則々=64,6=128或21,

②當(dāng)?shù)?5>則々=1。，6=20或3；

(2)當(dāng)。$=1,則。4=2,a3=4,%=8或1,

①當(dāng)4=8,則q=16,

②當(dāng)出=1，則4=2；

所以5=2+4+8+16+32+64+128=254,7=128+21+20+3+16+2=190,

所以S-T=64,故選配

24

4

練習(xí)2.在數(shù)列｛4｝中，。1=｛，若4=一，則4017的值為()

a>-\5

2凡-1n

34，1

A.-B.-C.-I).-

5555

【答案】B

41.31,11「21

a,=—>—=2na,-1=—>—a.=2a、-1=—<—a.=2a,=—<—

33

【解析】°'>2■5252

r4

a5=24=《,

4

可以看出四個循環(huán)一次故生017=4x504+1=馮后

故選B

9.利用周期性求通項(xiàng)

=一一、，則等于()

例9.已知數(shù)列｛〃〃｝中，4=1,a

n+i4+1

A.1B.-1C.--D.-2

2

【答案】C

1111..

【解析】.q—1,4+i—1，..c——,角——￡,04——［，田

4+10+12%+1q+1

又因?yàn)?018=3x672+2,所以％。比=4=-：,故選C.

以上可知該數(shù)列為周期數(shù)列，其周期為3,

14~a

練習(xí)1..已知數(shù)列｛a｝滿意句=2,&+尸=1(〃￡\*),句?檢?囪....?。17=()

A.1B.2C.3D.-3

【答案】B

【解析】由遞推關(guān)系式可知：?=-3,弓=一：心4=:，。5=2：…可得：4+4=4，所以

2x（-3乂-/g

4%%…叼017x2=2,故選B.

練習(xí)2.已知數(shù)列｛〃“｝滿意％=3,+1=0,〃cN",則4016=（）

A.—2B.—C.—D.3

32

【答案】A

【解析】由題意，對/+4+/+1+1=0進(jìn)行變形，得4川二色二

q+1

則出=；，。3=一;，々4=-2,4=3,即4個一循環(huán)，那么。20|6=。4=一2,故選A.

【方法總結(jié)工本潁主要考杏數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，依據(jù)涕推關(guān)系求出數(shù)列的循環(huán)是解決問

題的關(guān)鍵.

練習(xí)2.在數(shù)列中，ax=-,aM+1=1—!-(/?>2),則/=()

2

A.2B.-1C.-D.-2

2

【答案】A

【解析】v=—,67?+|=!--(//>2)

2

?.111cI11

??〃i=l------=-1,a.=1--------=2,a.=1-------=—

4a22

???數(shù)列｛4｝是周期為3的數(shù)列

，4$=6=2

故選A

alaa」：

練習(xí)3.已知數(shù)列仇｝滿意i0+1\由「+1,則a2o=()

也

A.0B.2-9C.機(jī)-2D.2

【答案】C

1-J3「-2廠-2《3-2

電二1聲2=下—=樸2鼻=---r==-J3-2a4=-------產(chǎn)一~=1..

【解析】拚14-2$,,3?2j3+l,?.%是周期為3的數(shù)列,

???20=3>6+2,飛產(chǎn)2=萬2,故選c

10.裂項(xiàng)求通項(xiàng)

例10.數(shù)列｛qj滿意/二I,且對隨意的mynaN”都有=atn4-an+nin,則

+」一等于(

)

“2017

2016n2017,40344024

A.----B.----C.----Dr.----

2017201820182017

【答案】C

【解析】=《”+牝+〃?〃對隨意的〃N'都成立,

?！?1=+q+〃=q+1+〃，即

an+[-an=l+n,/.%一q=2,a3-a2=3,,an-a,1=n,把上面n-\個式子相加可得，

n(n+\]

％=2+3+4+...+〃，z.aH=14-2+3+...+?/=—-,從而有

匚-=2占」4

an+\n4a2ay6?2O17

11111]_4034

=21-—4-一+…2018廠2018，故選C.

2232017

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查遞推公式求通項(xiàng)、累加法的應(yīng)用，以及裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和,

屬于中檔題.裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一，其緣由是有時很難找到裂項(xiàng)的方向,

突破這一難點(diǎn)的方法是依據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，常見的裂項(xiàng)技巧：(1)

—=(2)/廠-歷；(3)

〃(〃+%)k\nn+k)\ln+k+\lnk\'

1\(11「、I1

--------------=----------------I?(4)--------:-----=一

(2M-1)(2?4-1)2v2w-12n+\J'/?(/?+1)|H+2)2

]]

;此外，需留意裂項(xiàng)之后相消的過程中簡潔出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的

〃(〃+1)(〃+l)(〃+2)

問題，導(dǎo)致計算結(jié)果錯誤.

三.高考真題演練

1.【2017課標(biāo)1,理4】記S〃為等差數(shù)列｛〃”｝的前〃項(xiàng)和.若4+%=24,臬=48,則

［an］的公差為

A.1B.2C.4I).8

【答案】C

【解析】

6x5

試題分析：設(shè)公差為d>q+。5=6+3d+6+4<7=2^+7d=24,品=6q+-----d=6。1+15d=48>

2

、，、2a,+7d=24

聯(lián)立《…m解得d=4,故選C.

6q+15d=48

秒殺解析：因?yàn)橛?=五%+%>=48,即/+%=16,貝我4+4>一(多+%>=24-16=2,

即對一％=射=8,解得d=4,故選C.

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的基本量求解

【名師點(diǎn)睛】求解等差數(shù)列基本量問題時，耍多多運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)，如(%｝為等差數(shù)

歹U，若6+〃=〃+4，則4“+4”=%,十4.

2.12017課標(biāo)3,理9］等差數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)為1,公差不為0.若生,&,國成等比數(shù)列,

則｛4｝前6項(xiàng)的和為

A.-24B.-3C.3D.8

【答案】A

【解析】

試題分析：設(shè)等差數(shù)列的公差為"，由&,既，曲成等比數(shù)列可得：a；=a2a6,

即：(l+2df=(l+d)(l+5d),整理可得：d2+2d=O,公差不為0,則〃二一2,

數(shù)列的前6項(xiàng)和為S6=6<7,+6x(；T)d=6x1+6x(：TX(-2)=-24.

故選A.

【考點(diǎn)】等差數(shù)列求和公式：等差數(shù)列基本量的計算

【名師點(diǎn)睛】（1）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前〃項(xiàng)和公式，共涉及五個量團(tuán)，an,d,n,S,知

其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了用方程的思想解決問題.（2）數(shù)列的通項(xiàng)公式和前〃項(xiàng)和

公式在解題中起到變量代換作用，而&和d是等差數(shù)列為兩個基本量，用它們表示已知和

未知是常用方法.

3.12017課標(biāo)II,理3】我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七

層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了

381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈（）

A.1盞B.3盞C.5盞I）.9盞

【答案】B

【解析】

試題分析：設(shè)塔的頂層共有燈工盞，則各層的燈數(shù)構(gòu)成一個首項(xiàng)為工,公比為2的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)

xx(l-27)

列的求和公式有:=381,解得x=3,即塔的頂層共有燈3盞，故選B。

1-2-

【考點(diǎn)】等比數(shù)列的應(yīng)用；等比數(shù)列的求和公式

【名師點(diǎn)睛】用數(shù)列學(xué)問解相關(guān)的實(shí)際問題，關(guān)鍵是列出相關(guān)信息，合理建立數(shù)學(xué)模型一一

數(shù)列模型，推斷是等差數(shù)列還是等比數(shù)列模型；求解時，要明確目標(biāo)，即搞清是求和、求通

項(xiàng)、還是解遞推關(guān)系問題，所求結(jié)論對應(yīng)的是解方程問題、解不等式問題、還是最值問題，

然后經(jīng)過數(shù)學(xué)推理與計算得出的結(jié)果，放回到實(shí)際問題中進(jìn)行檢驗(yàn)，最終得出結(jié)論。

4.【2017課標(biāo)1,理12】幾位高校生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大

家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興

趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲得軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的

答案：已知數(shù)列1,

1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一項(xiàng)是2°,接下來的兩項(xiàng)是2°,

21,再接下來

的三項(xiàng)是2°,2',22,依此類推.求滿意如下條件的最小整數(shù)、AX00且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為

2的整數(shù)箱.那么

該款軟件的激活碼是

A.440B.330C.220D.110

【答案】A

【解析】試題分析：由題意得，數(shù)列如下：

1,

1,2,

1,2,4,

1,2,4,,21

則該數(shù)列的前1+2++攵=-+1)項(xiàng)和為

2

S("W)=l+(l+2)+-+(l+2++2")=2"一一2

要使處里2>100,有欠之14,此時/+2<21，所以七十2是之后的等比數(shù)列1,2,…,2r

2

的部分和，即攵+2=1+2+…+21=2'-1,

所以％=2'—3214,Mr>5,此時％=25—3=29,

20x30

對應(yīng)滿意的最小條件為N=——+5=440,故選A.

2

【考點(diǎn)】等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和.

【名師點(diǎn)睛】本題特別奇妙的將實(shí)際問題和數(shù)列融合在一起，首先須要讀懂題目所表達(dá)的詳

細(xì)含義，以及視察所給定數(shù)列的特征，進(jìn)而推斷出該數(shù)列的通項(xiàng)和求和.另外，本題的難點(diǎn)

在于數(shù)列里面套數(shù)列，第一個數(shù)列的和又作為下一個數(shù)列的通項(xiàng)，而且最終幾項(xiàng)并不能放在

一個數(shù)列中，須要進(jìn)行推斷.

5.12017浙江,6】已知等差數(shù)列｛&｝的公差為d,前〃項(xiàng)和為S”則“"”是"S+&>2s”

的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件I).既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】

試題分析：由S4+S6-2y5=10q+21d-2(5e+10a)=d,可知當(dāng)d>0,貝US+Se-ZSs>0,即

Sq+SC反之，S,j>2Ss=d>Q,所以為充要條件，選c.

【考點(diǎn)】等差數(shù)列、充分必要性

【名師點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式，通過公式的套入與簡潔運(yùn)算，可知

S4+S6-2S5=d,結(jié)合充分必要性的推斷，若〃=>%則〃是q的充分條件，若puq,

Mw

則〃是q的必要條件，該題“d>0"<=>S4+S6-2S5>0,故為充要條件.

6.12015高考北京，理6】設(shè)｛%｝是等差數(shù)列.下列結(jié)論中正確的是()

A.若％+〃2>0，則《+火〉。B.若j+%<(),則4+4<()

C.若0<4〈生，則生>74%D.若qcO,則(七一4)(小一&)>0

【答案】C

【解析】先分析四個答案支，A舉一反例a[=2,%=-1,%=-4,q+4>0而<0,A錯誤，B

舉同樣反例4=2,4=-L4=-4，q+4〈0,而4+4>0,B錯誤，下面針對C進(jìn)行研究，｛色｝是

等差數(shù)列，若05<一貝啊>0,設(shè)公差為人則d>0,數(shù)列各項(xiàng)均為正，由于

靖—q與=(%+dY—q(q+2d)=a：+2qdd2——2aM=d*>0,貝U

a：>選C.

考點(diǎn)定位：本題考點(diǎn)為等差數(shù)列及作差比較法，以等差數(shù)列為載體，考查不等關(guān)系問題，重

點(diǎn)是對學(xué)問本質(zhì)的考查.

【名師點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和比較法，本題屬于基礎(chǔ)題，由于前兩個選項(xiàng)無

法運(yùn)用公式干脆做出推斷，因此學(xué)生可以利用舉反例的方法進(jìn)行解除，這須要學(xué)生不能死套

公式，要敏捷應(yīng)對，作差法是比較大小常規(guī)方法，對推斷第三個選擇只很有效.

7.【2016高考新課標(biāo)】卷】已知等差數(shù)列｛〃,｝前9項(xiàng)的和為27,40=8^4?=()

(A)100(B)99(C)98(D)97

【答案】C

【解析】

(94+364=27

1

試題分析：由己知，4,，所以q=-l,d=l，40G=q+99d=-l+99=98,故

q+9d=8

選C.

考點(diǎn)：等差數(shù)列及其運(yùn)算

【名師點(diǎn)睛】我們知道,等差、等比數(shù)列各有五個基本量,兩組基本公式，而這兩組公式可看

作多元方程,利用這些方程可將等差、等比數(shù)列中的運(yùn)算問題轉(zhuǎn)化解關(guān)于基本量的方程(組).

因此可以說數(shù)列中的絕大部分運(yùn)算題可看作方程應(yīng)用題，所以用方程思想解決數(shù)列問題是一

種行之有效的方法.

8.12016高考浙江理數(shù)】如圖，點(diǎn)列｛/U,｛閡分別在其銳角的兩邊上，且

I=瓦A』A產(chǎn)4