第3章點、直線、面的投影掌握基本幾何元素點、線、面的投影規(guī)律?！緦W習目標】【學習重點】立體上各種點、線、面的投影特性。點、直線和平面是構(gòu)成幾何體的基本元素，為了迅速而準確地繪制形體的三面視圖，必須進一步研究構(gòu)成形體的基本幾何元素(點、線、面)的投影規(guī)律。點的投影3.1通過第2章的討論知道，通常把物體放在三面投影體系中進行投影。為此，下面先研究點在三面投影體系中的投影。如圖3-1（a）所示，設(shè)有一空間點A，由點A分別向H、V和W面投影，可得到A點的水平投影a、正面投影a′和側(cè)面投影a″。圖中每兩條投射線分別確定一個平面，它們與三投影軸分別相交于ax、ay和az，則以空間點A，三個投影a、a′和a″，ax、ay、az和原點O為頂點可構(gòu)成一個長方體。將各投影面展開，可得A點的展開圖[圖3-1（b）]。在點的投影圖中一般不畫出投影面的邊界線，也不標出投影面的名稱和點ax、ay、az等，而只畫出坐標軸OX、OY、OZ軸（簡稱X、Y、Z軸）及點的投影a、a′、a″[圖3-1（c）]。3.1.1點在三面投影體系中的投影圖3-1點在三面投影體系中的投影3.1.1點在三面投影體系中的投影如果把三面投影體系看作空間直角坐標系，以及把投影面H、V、W視為坐標面，投影軸OX、OY、OZ視為坐標軸，則空間點A分別到三個投影面的距離Aa″、Aa′、Aa可用該點的三個直角坐標系XA、YA和ZA表示，記為（XA、YA、ZA）。同時，A點的三個投影a、a′、a″也可以用坐標來確定，水平投影a可由XA和YA確定，反映了空間點A到W面和V面的距離Aa″和Aa′；正面投影a′可由XA和ZA確定，反映了空間點A到W面和H面的距離Aa″和Aa；側(cè)面投影a″可由YA和ZA確定，反映了空間點A到V面和H面的距離Aa′和Aa?？臻g點用大寫的英文字母表示，空間點的投影用小寫英文字母表示。如圖3-2所示，用A、B、C、S表示空間點。由空間點A、B、C、S分別作垂直于H面、V面和W面的投射線，點的主視圖也稱為正面投影，正面投影用相應(yīng)的小寫英文字母加一撇a′、b′、c′、s′表示。點的俯視圖也稱為水平投影，水平投影用相應(yīng)的小寫英文字母a、b、c、s表示。點的左視圖也稱為側(cè)面投影，側(cè)面投影用相應(yīng)小寫英文字母加兩撇a″、b″、c″、s″表示。3.1.2點的三面投影圖圖3-2點的投影標記和投影連線在三視圖上用細實線畫出立體上某些特征點的投影連線。點的三面投影連線是保證立體上各點的三面投影具有正確投影關(guān)系的重要作圖線。因為主、左視圖“高平齊”的關(guān)系，點的正面投影與側(cè)面投影連線應(yīng)是一條水平線。因為主、俯視圖“長對正”的關(guān)系，點的正面投影與水平投影連線應(yīng)是一條豎直線。因為俯、左視圖“寬相等”的關(guān)系，點的正面投影與側(cè)面投影用相交于同一條45°斜線的水平線和豎直線連接[圖3-2(b）]。45°斜線的作用是保證俯、左視圖寬相等。該斜線的位置只與物體到投影面的距離有關(guān)，而與物體和視圖的形狀無關(guān)。按照三面投影圖的形成方法將H面向下、W面向右旋轉(zhuǎn)到與V面重合，可以得到以下投影規(guī)律：3.1.3點的投影規(guī)律圖3-2（b）（1）點的正面投影和水平投影的連線垂直于OX投影軸。（2）點的正面投影和側(cè)面投影的連線垂直于OZ投影軸。（3）點的水平投影到OX軸的距離等于點的側(cè)面投影到OZ軸的距離。綜上所述，可以得出以下幾點重要結(jié)論：（1）給出一點的坐標，如A（XA，YA，ZA），即可確定該點的空間位置和唯一的一組投影a、a′、a″，即可作出A點的投影圖。（2）已知A點的任意兩個投影（a、a′或a、a″或a′、a″），均可確定點的三個坐標和點的空間位置，也就可以作出其投影圖，即可求出點的第三面投影。（3）在需要利用點的投影規(guī)律aax=a″az=Oay=YA來作圖時（如由a、a′求a″或由a′、a″求a），即可用分規(guī)量取aax=a″az=Oay=YA；但通常由以原點O為圓心，以O(shè)ay（YA）為半徑作圓弧求得，或自O(shè)點作45°輔助線求得，如圖3-1（c）所示。3.1.3點的投影規(guī)律圖3-1（c）【例3-1】如圖3-3所示，已知空間點（10,7,14），求它的三面投影。3.1.3點的投影規(guī)律圖3-3由點的坐標作點的三面投影圖（一）作圖：（1）由原點O向左沿OX軸量取10mm得ax，過ax作OX軸的垂線，在垂線上自ax向下量取7mm得a，向上量取14mm得a′。（2）過a′作OZ軸的垂線交OZ軸于az，在垂線上自az向右量取7mm得a″（a″也可由a通過作圓弧或45°輔助線求得）。a、a′、a″即為A點的三面投影，可記為A（a、a′、a″）?！纠?-2】已知空間點B的正面投影b′和水平投影b，如圖3-4（a）所示，求該點的側(cè)面投影b″。3.1.3點的投影規(guī)律圖3-4由點的兩面投影求第三面投影（一）分析：由點的投影規(guī)律可知b′b″⊥OZ軸，所以b″一定在過b′且垂直于OZ軸的直線上，又b到OX軸的距離bbx等于b″到OZ軸的距離b″bz，便可以求得b″。作圖：如圖3-4（b）所示，由b′作OZ軸的垂線與OZ軸交于bz，在此垂線上自bz向前量取bzb″=bbx，即可得B點的側(cè)面投影b″（或由b通過作45°輔助線求得b″）。【例3-3】已知點（15,10,20），求點A的三面投影圖。3.1.3點的投影規(guī)律圖3-5由點的坐標作點的三面投影圖（二）作圖：步驟如圖3-5所示。（1）畫出投影軸OX、OYH、OYW、OZ。（2）在OX軸上量取Oax=15，如圖3-5（a）所示。（3）過ax作OX軸的垂線，并量取a′ax=20，aax=10，如圖3-5（b）所示。（4）過a作OX軸的平行線與∠YWOYH的角平分線相交，過交點作OYW軸的垂線與過a′所作OZ軸的垂線相交于a″，即得點A的三面投影圖，如圖3-5（c）所示。3.1.3點的投影規(guī)律點是構(gòu)成幾何體的最基本元素，一切幾何形體都可以看作點的集合。為便于分析物體三視圖中點、線、面的投影關(guān)系，常需要在三視圖中標出物體某些特殊點的投影標記。空間點既無形狀又無大小，對其進行投影是為了確定點在空間中所處的位置。運用點的三投影連線，可以由點的兩面投影求出第三面投影。3.1.4根據(jù)點的兩面投影求點的第三面投影圖3-6由點的兩面投影求第三面投影（二）作圖：如圖3-6（b）所示，首先在適當?shù)奈恢米饕粭l45°斜線。然后過a″向下作垂線與45°斜線相交，過交點向右作水平線。再過a′向下作垂線與水平線相交，交點即為所求投影a。用這種方法可求出三棱錐上的其他點。這種已知點的兩面投影求第三面投影的作圖方法又稱為點的二求三作圖法，此方法是很重要的基本作圖法，所以必須熟練掌握和靈活運用?！纠?-4】如圖3-6（a）所示，已知三棱錐上某一點A的兩投影a′、a″，用作圖法求出第三面投影a。3.1.4根據(jù)點的兩面投影求點的第三面投影圖3-7求切割三棱錐切口線的俯視圖作圖：（1）過a′向下作垂線，再過a″向下作垂線與45°斜線相交，過交點向左作水平線，即可求出點的水平投影a，如圖3-7（c）所示。（2）過b′向下作垂線，再過b″向下作垂線與45°斜線相交，過交點向左作水平線，即可求出點的水平投影b，如圖3-7（c）所示。（3）過c′向下作垂線，再過c″向下作垂線與45°斜線相交，過交點向左作水平線，即可求出點的水平投影c，如圖3-7（c）所示。【例3-5】圖3-7（a）所示為切割三棱錐立體圖，求切口線的水平投影，即用點的二求三作圖法求出點A、B、C的水平投影，如圖3-7（b）所示。3.1.5兩點的相對位置關(guān)系圖3-8兩點的特殊位置根據(jù)兩點的投影和它們同面投影的坐標差，可以判別出該兩點在空間的位置關(guān)系。在圖3-8中，根據(jù)俯視圖可判斷點B在點S的左前方，根據(jù)左視圖可判斷點B在點S的下前方。若兩點到某投影面的距離相等，則兩點的連線平行于該投影面，這兩點稱為對該投影面的等距點。如圖3-8中的點A、B是對H面的等距點。若兩點位于某投影面的同一條垂線上，則兩點在該投影面上的投影重合，這樣的兩點稱為對該投影面的重影點。如圖3-8所示，點A、C為對W面的重影點。圖中點C在點A的正右方，在W面上的投影c″不可見。在投影圖中，不可見點的投影加括號表示。3.1.6讀點的投影讀圖是本課程的學習重點，從最基本的幾何元素（點）開始討論讀圖問題，有利于培養(yǎng)正確的讀圖思維方式，從而為識讀體的投影圖打好基礎(chǔ)。讀點的投影圖，首先應(yīng)分析每個點的空間位置，然后根據(jù)其坐標確定各點的相對位置，最后在此基礎(chǔ)上通過想象建立起空間概念，使各點在腦海中呈現(xiàn)出立體狀態(tài)[圖3-9(b)]。這樣才算真正將圖看懂。3.1.6讀點的投影圖3-9識讀A、B兩點的三面投影圖解：由圖3-9（a）可見，點B的V、W面投影b′、b″分別在OX、OYW軸上，說明點B的Z坐標為0，點B在H面上（點的分析從略）。判別A、B兩點的空間位置：左、右相對位置：xB-xA=10，故點A在點B右方10mm。前、后相對位置：yA-yB=10，故點A在點B前方10mm。上、下相對位置：zA-zB=10，故點A在點B上方10mm。即點A在點B的右、前、上方各10mm處，如圖3-9（b）所示?！纠?-6】識讀A、B兩點的三面投影圖。直線的投影3.23.2.1直線的三面投影直線的投影一般仍為直線，在特殊情況下，直線的投影可積聚成一點。在作直線的投影時，可作出確定該直線的任意兩點的投影，連接其同面投影，便可得到直線的投影。如圖3-10（a）所示，欲求直線AB的三面投影，可分別作出兩端點A、B的三面投影a、a′、a″和b、b′、b″，如圖3-10（b）所示；然后用粗實線連接兩點的同面投影，則求出直線AB的三面投影，如圖3-10（c）所示。圖3-10直線的三面投影3.2.2各種位置的直線及其投影特性根據(jù)直線相對于投影面的位置不同，直線可分為一般位置直線、投影面平行線和投影面垂直線三類。后兩類統(tǒng)稱為特殊位置直線。如圖3-11所示，SB為一般位置直線，SA為投影面平行線，AB為投影面垂直線。直線與它的水平投影、正面投影、側(cè)面投影的夾角分別稱為該直線對H、V、W面的傾角，分別用α、β、γ表示。圖3-113.2.2各種位置的直線及其投影特性

1.一般位置直線對三個投影面都傾斜的直線稱為一般位置直線。一般位置直線的三個投影均為類似投影，均與軸傾斜，且都不反映直線與投影面的傾角，如圖3-11（c）所示。圖3-11各種位置的立體棱線一般位置直線的投影特性如下：（1）三個投影都與投影軸傾斜且投影長度小于直線的實長。（2）各投影與投影軸的夾角都不反映直線對投影面的傾角。3.2.2各種位置的直線及其投影特性2.投影面平行線只平行于一個投影面（與另兩個投影面傾斜）的直線稱為投影面平行線。投影面平行線又分為以下三種：（1）只平行于H面的直線，稱為水平線。（2）只平行于V面的直線，稱為正平線。（3）只平行于W面的直線，稱為側(cè)平線。如圖3-12所示，三棱錐的棱線中，SA為正平線，AB為水平線，SB稱為側(cè)平線。圖3-12三種投影面平行線和投影面垂直線3.2.2各種位置的直線及其投影特性2.投影面平行線只平行于一個投影面（與另兩個投影面傾斜）的直線稱為投影面平行線。投影面平行線又分為以下三種：（1）只平行于H面的直線，稱為水平線。（2）只平行于V面的直線，稱為正平線。（3）只平行于W面的直線，稱為側(cè)平線。如圖3-12所示，三棱錐的棱線中，SA為正平線，AB為水平線，SB稱為側(cè)平線。圖3-12三種投影面平行線和投影面垂直線3.2.2各種位置的直線及其投影特性投影面平行線的投影特性如下：（1）在兩端點等距的投影面上（在直線所平行的投影面上），投影反映線段的實長，且該投影反映該直線對另外兩個投影面的傾角大小。（2）在另外兩個投影面上，線段的投影為縮短的線段，且分別平行于兩條相應(yīng)的投影軸（構(gòu)成直線所平行的投影面的兩條投影軸）。三種投影面平行線的立體圖、投影圖及投影特性見表3-1。3.2.2各種位置的直線及其投影特性3.2.2各種位置的直線及其投影特性3.投影面垂直線垂直于一個投影面的直線稱為投影面垂直線。其中，投影面垂直線又分為以下三種：（1）垂直于V面的直線，稱為正垂線。（2）垂直于H面的直線，稱為鉛垂線。（3）垂直于W面的直線，稱為側(cè)垂線。在圖3-12所示的三棱錐棱線中，BC為正垂線，CS為鉛垂線，CA為側(cè)垂線。投影面垂直線的投影特性如下：（1）在直線所垂直的投影面上，直線的投影積聚成一點。（2）在其余兩個投影面上，直線的投影反映實長，且分別垂直于兩條相應(yīng)的投影軸（構(gòu)成直線所垂直的投影面的兩條投影軸）。三種投影面垂直線的立體圖、投影圖及投影特性見表3-2。3.2.2各種位置的直線及其投影特性3.2.3直線上的點的投影根據(jù)直線的投影特性，當點在直線上時，點的各個投影必定在該直線的同面投影上，并將直線的各個投影分割成和空間相同的比例。相反，若一個點的各個投影都在直線的同面投影上，且符合投影規(guī)律，則該點必定在直線上，并將空間直線分割成和各個投影相同的比例。3.2.3直線上的點的投影【例3-7】如圖3-13（a）所示，點M在棱線SA上，則其投影m′在s′a′上，m在sa上，m″在s″a″上。已知三棱錐棱線SA上一點M的正面投影m′[圖3-13（b）]，試求另外兩投影。解：根據(jù)從屬性，如圖3-13（c）所示，過m′向下作垂線，與sa相交，則得點M的水平投影m。過m′向右作水平線，與s″a″相交，則得點M的側(cè)面投影m″。圖3-13棱線上取點3.2.3直線上的點的投影【例3-8】已知側(cè)平線SB上的一點N的正面投影n′[圖3-14（b）]，試求水平投影n。解法1：根據(jù)定比性作圖。如圖3-14（c）所示，過s向任意方向作一射線sb1，在射線上取sb1=s′b′，sn1=s′n′，連接bb1，作nn1平行于bb1，得交點n，則sn∶nb=s′n′∶n′b′，即點N在直線上。解法2：根據(jù)從屬性作圖。如圖3-14（d）所示，在適當位置作一45°斜線，并求出直線SB的側(cè)面投影s″b″。運用直線上取點基本作圖方法，過n′向右作線，求得n″。過n″向下、向左作線求得n。圖3-14側(cè)平線上取點3.2.4直線與點的相對位置

3.2.4直線與點的相對位置在投影圖上判別點是否在直線上，一般只需觀察兩個投影即可直接確定。但當直線為投影面平行線，且給出的兩個投影又都平行于投影軸時，則需觀察第三個投影才能確定，還可通過檢查點的投影分直線的同面投影長度之比是否相同的比例法來確定。如圖3-16（a）所示，C點的水平投影c和正面投影c′雖都在側(cè)平線AB的兩面投影上，但要判定C點是否在直線AB上，尚需作出其側(cè)面投影，如圖3-16（b）所示。因為c″不在a″b″上，所以C點不在直線AB上。或者也可如圖3-16（c）所示，過a點作任意一直線，并在該直線上截取aC1=a′c′、C1B1=c′b′，然后連接bB1,再過C1點作bB1的平行線交ab于c1點，則由于c與c1點不重合，即ac∶cb≠a′c′∶c′b′，因此也可判定C點不在直線AB上。圖3-16點不在直線上3.2.4直線與點的相對位置作圖：如圖3-17（b）所示,自AB線的水平投影ab的a點任作一輔助線段aD0,在該輔助線上任取5等份，得端點B0,連接B0b。在aB0上取分點C0，滿足aC0∶C0B0=AC∶CB=2∶3。過C0點作B0b的平行線交ab于c點。由c點作OX軸的垂線交a′b′于c′點,則C(c，c′)即為所求。圖3-17直線上點的投影求法【例3-9】如圖3-17（a）所示，已知線段AB的投影圖，試將AB線分成2∶3兩段，求分點C的投影。3.2.4直線與點的相對位置分析：必須先用直角三角形法求得AB線的實長，方可在實長上截取15mm，得分點C，再根據(jù)C點分直線AB所成線段之比等于C點投影分AB投影之比，以及C點的投影一定在直線AB的同面投影上，即可求得C點的投影c和c′。作圖：如圖3-18（b）所示，以ab和坐標差ΔZ為兩直角邊作直角三角形abB0，得AB的實長aB0。在aB0上由a點起量取15mm得C0點。過C0點作bB0的平行線交ab于c點。由c點作OX軸的垂線交a′b′于c′點，則點C(c、c′)即為所求。本題還可以以a′b′和ΔY為兩直角邊作直角三角形進行求解，作法相似，請自行分析。圖3-18直線上取分點【例3-10】已知直線AB的兩個投影ab和a′b′，如圖3-18（a）所示，試在該直線上取一點C，使AC=15mm，求作C點的投影c和c′。3.2.5兩直線的相對位置空間中兩直線的相對位置有平行、相交和交叉。若兩直線平行，則其同面投影也平行，且符合定比性；若兩直線相交，則其同面投影必相交，且交點的投影應(yīng)符合投影規(guī)律；若兩直線交叉，則其同面投影既不符合平行兩直線的投影規(guī)律，又不符合相交兩直線的投影規(guī)律。圖3-19斜三棱柱中的兩直線平行3.2.5兩直線的相對位置1.兩直線平行若立體的兩直線平行，則兩直線的三視圖必定相互平行。如圖3-19所示，斜三棱柱三條斜棱的三視圖均應(yīng)相互平行,上、下底面邊線的三視圖也應(yīng)對應(yīng)平行。2.兩直線相交若空間中兩直線相交，則必有交點，其交點是兩條直線的共有點，并且該交點必符合點的投影特性。即相交兩直線的同面投影分別相交，且交點的兩投影連線垂直于投影軸。如圖3-19所示，棱線AB、BE的三面投影都相交，且交點連線符合點的投影規(guī)律，所以兩棱線相交。但棱線BE、DF的三面投影都相交，但主、俯視圖交點連線不豎直（不符合點的投影規(guī)律），所以兩棱線不相交。3.兩直線交叉空間中既不平行又不相交的兩直線稱為交叉直線。交叉兩直線在空間中不存在交點，然而它們的同面投影卻可能出現(xiàn)相交的情況。這是兩直線上點的同面投影重影的緣故。圖319中的棱線BE、DF即為交叉兩棱線。交叉兩棱線投影的交點是空間兩重影點的投影，如俯視圖中be、df的交點m(n)是空間兩點M、N的重影。由棱線BE上的點M可見，be可見，df不可見。平面的投影3.33.3.1平面的表示方法通常用平面上的點、直線或平面圖形等幾何元素的投影來表示平面的投影，如圖3-20所示。圖3-20用幾何元素的投影表示平面的投影3.3.2各種位置平面的投影根據(jù)平面在三面投影體系中對三個投影面所處位置的不同，可將平面分為一般位置平面、投影面垂直面和投影面平行面三類。其中，后兩類平面統(tǒng)稱為特殊位置平面。圖3-21一般位置平面的投影1.一般位置平面一般位置平面指與投影面既不平行又不垂直的平面。平面與H、V、W面的傾角分別用α、β及γ表示。一般位置平面與每個投影面的傾角為0°～90°。由圖3-21可以看出，一般位置平面的投影特性如下：（1）三個投影既沒有積聚性，又不反映實長，也不能直接反映出與三個投影面的傾角。（2）若是用平面圖形表示的平面，則其投影均是面積縮小的類似形。3.3.2各種位置平面的投影2.投影面垂直面只垂直于一個投影面而傾斜于另外兩個投影面的平面稱為投影面垂直面。在三面投影體系中，投影面垂直面根據(jù)所垂直的投影面又可分為鉛垂面、正垂面和側(cè)垂面三種。（1）正垂面，即垂直于V面傾斜于H、W面的平面。（2）鉛垂面，即垂直于H面傾斜于V、W面的平面。（3）側(cè)垂面，即垂直于W面傾斜于H、V面的平面。圖3-22給出了三棱柱位于不同位置時表面的三種投影面垂直面。圖3-22三種投影面垂直面3.3.2各種位置平面的投影2.投影面垂直面投影面垂直面的投影特性如下：（1）在平面所垂直的投影面上的投影積聚成一直線。該直線與投影軸的夾角分別反映該平面對另外兩個投影面的真實傾角。（2）其余兩個投影面上的投影是與空間平面圖形相類似的平面圖形。各投影面垂直面的立體圖、投影圖及投影特性見表3-3。3.3.2各種位置平面的投影2.投影面垂直面3.3.2各種位置平面的投影3.投影面平行面平行于一個投影面的平面稱為投影面平行面。投影面平行面根據(jù)其所平行的投影面又可以分為正平面、水平面和側(cè)平面。（1）正平面，即平行于V面垂直于H、W面的平面。（2）水平面，即平行于H面垂直于V、W面的平面。（3）側(cè)平面，即平行于W面垂直于H、V面的平面。在圖3-23所示的立方體上，平面P為正平面，平面R為水平面，平面Q為側(cè)平面。圖3-23投影面平行面3.3.2各種位置平面的投影3.投影面平行面投影面平行面的投影特性如下：（1）平面在所平行的投影面上的投影反映平面圖形的實形。（2）平面在另外兩投影面上的投影均積聚為一直線，且分別平行于該平面平行的投影面所包含的兩個投影軸（與該平面的相應(yīng)跡線重合）。各投影面平行面的立體圖、投影圖及投影特性見表3-4。3.3.2各種位置平面的投影3.投影面平行面3.3.3直線與特殊位置平面相交直線與特殊位置平面相交，先根據(jù)特殊位置平面的投影特性及其某些投影的積聚性，可以直接求出交點。然后用線上取點的基本作圖方法求出交點的另外兩個投影?！纠?-11】如圖3-24（a）所示，求棱線SA與正垂面P的交點的三面投影。圖3-24棱線與特殊位置平面相交作圖：交點是正垂面P和棱線SA的共有點，因此，交點D的正面投影應(yīng)位于PV上，也位于s′a′上，即s′a′與PV的交點d′為線面交點D的一個已知投影[圖3-24（b）]。用線上取點作圖方法，過d′向下作垂線即可在sa上求得d點。同法可作出交點E的投影。在圖3-24（c）作出了SA、SB兩條棱線與P面交點D、E的投影。3.3.4平面內(nèi)的點和直線1.平面內(nèi)的點過平面內(nèi)任意點可作無數(shù)條直線，所以，點在平面內(nèi)，則點必在該平面內(nèi)的任一條直線上。在平面內(nèi)任一直線上所取的任一點均在平面內(nèi)。所以，在平面內(nèi)取點的投影，是在平面內(nèi)先作輔助線，然后在直線上求點的投影。（1）點在特殊位置平面上。因為特殊位置平面在某個投影面（投影面垂直面）或某兩個投影面（投影面平行面）的投影積聚為直線段，所以，如果點在平面非積聚的投影上的投影已知，則可利用特殊位置平面的投影積聚性直接求點的投影。3.3.4平面內(nèi)的點和直線圖3-25在特殊位置平面上取點【例3-12】如圖3-25（a）所示，已知正垂面ABC的兩面投影及該面上一點D的水平投影d，求點D的正面投影d′。作圖過程如圖3-25（b）所示。（2）點在一般位置平面上。若已知平面內(nèi)點的一個投影，求點的其他投影，則必須利用輔助線來確定點的投影。即先過點的已知投影在平面內(nèi)取一條輔助直線，然后在該直線上利用點與直線的從屬性及點的投影規(guī)律確定點的其他投影。3.3.4平面內(nèi)的點和直線圖3-26在一般位置平面上取點【例3-13】如圖3-26（a）所示，已知平面ABC的兩面投影及其上點D的正面投影d′，求水平投影d。作圖過程如圖3-26（b）所示。3.3.4平面內(nèi)的點和直線2.平面內(nèi)的直線平面內(nèi)的直線有無數(shù)條，即使通過指定點的直線也有無數(shù)條，在實際投影作圖中，經(jīng)常會有一些條件限制或所作直線為特殊位置直線。（1）在平面內(nèi)取一直線。直線在平面內(nèi)，則直線必通過該平面內(nèi)的兩個點。反之，過平面內(nèi)的任意兩點作一直線，則該直線必在該平面內(nèi)，如圖3-27（a）所示?；蛘撸^平面內(nèi)的任一點作一直線平行于該平面內(nèi)的一已知直線，則所作直線必在該平面內(nèi)，如圖3-27（b）所示。（2）在平面內(nèi)作投影面的平行線。平面內(nèi)的投影面平行線就是既要在平面內(nèi)又要平行于投影面的直線，在投影中，它既要符合投影面平行線的投影特點，又要符合直線在平面上的條件。如圖3-27（c）所示，過平面ABC內(nèi)的C點作水平線。作出c′d′//OX軸，交于a′b′于d′點，然后求出水平投影d，連接dc，就求得了CD的兩面投