2026屆河北省張家口市宣化市一中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀(guān)題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知直線(xiàn)：與雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)分別相交于A、B兩點(diǎn)，若C為直線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)，且，則k等于（）A.4 B.6C. D.2．橢圓C：的焦點(diǎn)在x軸上，其離心率為則橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（）A.2 B.C.4 D.83．在平面上給定相異兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)在同一平面上且滿(mǎn)足，當(dāng)且時(shí)，點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故我們稱(chēng)這個(gè)圓為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有雙曲線(xiàn)，為雙曲線(xiàn)的左、右頂點(diǎn)，為雙曲線(xiàn)的虛軸端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，面積的最大值為，面積的最小值為，則雙曲線(xiàn)的離心率為（）A. B.C. D.4．一直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，則此直線(xiàn)的傾斜角為（）A.45° B.135°C.－45° D.－135°5．已知直線(xiàn)l和兩個(gè)不同的平面，，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6．若等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，首項(xiàng)，，，則滿(mǎn)足成立的最大正整數(shù)是（）A. B.C. D.7．已知、、、是直線(xiàn)，、是平面，、、是點(diǎn)（、不重合），下列敘述錯(cuò)誤的是（）A.若，，，，則B.若，，，則C.若，，則D.若，，則8．2021年7月，某文學(xué)網(wǎng)站對(duì)該網(wǎng)站的數(shù)字媒體內(nèi)容能否滿(mǎn)足讀者需要進(jìn)行了調(diào)查，調(diào)查部門(mén)隨機(jī)抽取了名讀者，所得情況統(tǒng)計(jì)如下表所示：滿(mǎn)意程度學(xué)生族上班族退休族滿(mǎn)意一般不滿(mǎn)意記滿(mǎn)分為分，一般為分，不滿(mǎn)意為分.設(shè)命題：按分層抽樣方式從不滿(mǎn)意的讀者中抽取人，則退休族應(yīng)抽取人；命題：樣本中上班族對(duì)數(shù)字媒體內(nèi)容滿(mǎn)意程度的方差為.則下列命題中為真命題的是（）A. B.C. D.9．如圖是拋物線(xiàn)拱形橋，當(dāng)水面在時(shí)，拱頂離水面，水面寬，若水面上升，則水面寬是（）（結(jié)果精確到）（參考數(shù)值：）A B.C. D.10．在一次體檢中，發(fā)現(xiàn)甲、乙兩個(gè)單位的職工中體重超過(guò)的人員的體重如下（單位：）.若規(guī)定超過(guò)為顯著超重，從甲、乙兩個(gè)單位中體重超過(guò)的職工中各抽取1人，則這2人中，恰好有1人顯著超重的概率為（）A. B.C. D.11．已知直線(xiàn)l和拋物線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，則p的值為（）A. B.1C. D.212．已知雙曲線(xiàn)的離心率為，左焦點(diǎn)為F，實(shí)軸右端點(diǎn)為A，虛軸上端點(diǎn)為B，則為（）A.直角三角形 B.鈍角三角形C.等腰三角形 D.銳角三角形二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直線(xiàn)與圓交于A,B兩點(diǎn),過(guò)A,B分別做l的垂線(xiàn)與x軸交于C,D兩點(diǎn),若|AB|=4,則|CD|=_____________.14．已知點(diǎn)，則線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的一般式方程為_(kāi)_________.15．從編號(hào)為01，02，…，60的60個(gè)產(chǎn)品中用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)樣本，已知樣本中的前兩個(gè)編號(hào)分別為02，08（編號(hào)按從小到大的順序排列），則樣本中最大的編號(hào)是_________16．函數(shù)在處的切線(xiàn)與平行，則________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知直線(xiàn)，以點(diǎn)為圓心的圓C與直線(xiàn)l相切（1）求圓C的標(biāo)方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交圓C于A，B兩點(diǎn)，且，求的方程18．（12分）如圖所示，在正方體中，E是棱的中點(diǎn).（Ⅰ）求直線(xiàn)BE與平面所成的角的正弦值；（Ⅱ）在棱上是否存在一點(diǎn)F，使平面？證明你的結(jié)論.19．（12分）曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為，左、右頂點(diǎn)分別為，C上的點(diǎn)M滿(mǎn)足，且直線(xiàn)的斜率之積等于（1）求C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l交C于A，B兩點(diǎn)，若，其中，證明：20．（12分）已知橢圓：的離心率為，，分別為橢圓的左，右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，的周長(zhǎng)為.（1）求橢圓的方程；（2）為圓上任意一點(diǎn)，過(guò)作橢圓的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A，B，判斷是否為定值?若是，求出定值：若不是，說(shuō)明理由，21．（12分）已知函數(shù)，其中為常數(shù)，且（1）求證：時(shí)，；（2）已知a，b，p，q為正實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，比較與的大小關(guān)系.22．（10分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，證明：函數(shù)圖象恒在函數(shù)的圖象的下方；（2）討論方程的根的個(gè)數(shù).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】先求出雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程，然后分別與直線(xiàn)聯(lián)立，求出A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再利用可求解.【詳解】由雙曲線(xiàn)方程可知其漸近線(xiàn)方程為：，當(dāng)時(shí)，與聯(lián)立，得，同理得，由，且可知，所以有，解得.故選：D2、C【解析】根據(jù)橢圓的離心率，即可求出，進(jìn)而求出長(zhǎng)軸長(zhǎng).【詳解】由橢圓的性質(zhì)可知，橢圓的離心率為，則，即所以橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】先求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，再根據(jù)面積的最大值求得，根據(jù)的面積最小值求，由此可求雙曲線(xiàn)的離心率.【詳解】設(shè)，，,依題意得,即,兩邊平方化簡(jiǎn)得,所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是圓心為,半徑的圓，當(dāng)位于圓的最高點(diǎn)時(shí)的面積最大，所以,解得；當(dāng)位于圓的最左端時(shí)的面積最小，所以,解得,故雙曲線(xiàn)的離心率為.故選:C.4、A【解析】根據(jù)斜率公式求得直線(xiàn)的斜率，得到，即可求解.【詳解】設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為，由斜率公式，可得，即，因?yàn)?，所以，即此直線(xiàn)的傾斜角為.故選：A.5、D【解析】根據(jù)直線(xiàn)、平面的位置關(guān)系，應(yīng)用定義法判斷兩個(gè)條件之間的充分、必要性.【詳解】當(dāng)，時(shí)，直線(xiàn)l可與平行、相交，故不一定成立，即充分性不成立；當(dāng)，時(shí)，直線(xiàn)l可在平面內(nèi)，故不一定成立，即必要性不成立.故選：D.6、B【解析】由等差數(shù)列的，及得數(shù)列是遞減的數(shù)列，因此可確定，然后利用等差數(shù)列的性質(zhì)求前項(xiàng)和，確定和的正負(fù)【詳解】∵，∴和異號(hào)，又?jǐn)?shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)，∴是遞減的數(shù)列，，由，所以，，∴滿(mǎn)足的最大自然數(shù)為4040故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題求滿(mǎn)足的最大正整數(shù)的值，關(guān)鍵就是求出，時(shí)成立的的值，解題時(shí)應(yīng)充分利用等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)求解,屬于中檔題.7、D【解析】由公理2可判斷A選項(xiàng)；由公理3可判斷B選項(xiàng)；利用平行線(xiàn)的傳遞性可判斷C選項(xiàng)；直接判斷線(xiàn)線(xiàn)位置關(guān)系，可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由公理2可知，若，，，，則，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，由公理3可知，若，，，則，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，由空間中平行線(xiàn)的傳遞性可知，若，，則，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，若，，則與平行、相交或異面，D錯(cuò).故選：D.8、A【解析】由抽樣比再乘以可得退休族應(yīng)抽取人數(shù)可判斷命題，求出上班族對(duì)數(shù)字媒體內(nèi)容滿(mǎn)意程度的平均分，由方差公式計(jì)算方差可判斷，再由復(fù)合命題的真假判斷四個(gè)選項(xiàng)，即可得正確選項(xiàng).【詳解】因?yàn)橥诵葑鍛?yīng)抽取人，所以命題正確；樣本中上班族對(duì)數(shù)字媒體內(nèi)容滿(mǎn)意程度的平均分為，方差為，命題正確，所以為真，、、為假命題，故選：9、C【解析】先建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線(xiàn)方程為x2＝my，將點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)方程求出m，從而可得拋物線(xiàn)方程，再令y＝代入拋物線(xiàn)方程求出x，即可得到答案【詳解】解：如圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線(xiàn)方程為x2＝my，由題意，將代入x2＝my，得m＝，所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為x2＝，令y＝，解得，所以水面寬度為2.24×817.9m故選：C10、B【解析】列舉出所有選取的情況，再找出滿(mǎn)足題意的情況，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式即可求解.【詳解】不妨用表示每種抽取情況，其中是指甲單位抽取1人的體重，代表從乙單位抽取人的體重.則所有的可能有16種，如下所示：，，，，，，，，，，，，，，，其中滿(mǎn)足題意的有6種：，，，，，故抽取的這2人中，恰好有1人顯著超重的概率為：.故選：.11、B【解析】由垂直關(guān)系得出直線(xiàn)l方程，聯(lián)立直線(xiàn)和拋物線(xiàn)方程，利用韋達(dá)定理以及數(shù)量積公式得出p的值.【詳解】，，即聯(lián)立直線(xiàn)和拋物線(xiàn)方程得設(shè)，則解得故選：B12、A【解析】根據(jù)三邊的關(guān)系即可求出【詳解】因，所以，而，，，所以，即，所以為直角三角形故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先求出圓心和半徑，由于半徑為2，弦|AB|=4，所以可知直線(xiàn)過(guò)圓心，從而得，求出，得到直線(xiàn)方程且傾斜角為135°，進(jìn)而可求出|CD|【詳解】圓,圓心(1,2),半徑r=2,∵|AB|=4,∴直線(xiàn)過(guò)圓心(1,2),∴,∴,∴直線(xiàn),傾斜角為135°,∵過(guò)A,B分別做l的垂線(xiàn)與x軸交于C,D兩點(diǎn),∴.故答案為：4【點(diǎn)睛】此題考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，考查兩直線(xiàn)的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題14、【解析】由中點(diǎn)坐標(biāo)公式和斜率公式可得的中點(diǎn)和直線(xiàn)斜率，由垂直關(guān)系可得垂直平分線(xiàn)的斜率，由點(diǎn)斜式可得直線(xiàn)方程，化為一般式即可【詳解】由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，的中點(diǎn)為，可得直線(xiàn)的斜率為，由垂直關(guān)系可得其垂直平分線(xiàn)的斜率為，故可得所求直線(xiàn)的方程為：，化為一般式可得故答案為：15、56【解析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義得到編號(hào)之間的關(guān)系，即可得到結(jié)論.【詳解】由已知樣本中的前兩個(gè)編號(hào)分別為02，08，則樣本數(shù)據(jù)間距為，則樣本容量為，則對(duì)應(yīng)的號(hào)碼數(shù)，則當(dāng)時(shí)，x取得最大值為56故答案為:5616、2【解析】由得出的值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在處的切線(xiàn)與平行所以，故故答案為：2三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）或【解析】（1）根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求出半徑，即可得到圓C的標(biāo)方程；（2）根據(jù)弦長(zhǎng)公式可求出圓心C到直線(xiàn)的距離，再根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式結(jié)合分類(lèi)討論思想即可求出【小問(wèn)1詳解】設(shè)圓C的半徑為r，∵C與l相切，∴，∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問(wèn)2詳解】由可得圓心C到直線(xiàn)的距離∴當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，其方程為，此時(shí)圓心到的距離為3，符合條件；當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)，圓心C到直線(xiàn)的距離，解得，此時(shí)的方程為，即綜上，的方程為或18、（1）；（2）詳見(jiàn)解析【解析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1.如圖所示，以為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系.（Ⅰ）依題意，得，所以.在正方體中，因?yàn)?所以是平面的一個(gè)法向量，設(shè)直線(xiàn)BE和平面所成的角為，則.即直線(xiàn)BE和平面所成的角的正弦值為.（Ⅱ）在棱上存在點(diǎn)F，使.事實(shí)上，如圖所示，分別取和CD的中點(diǎn)F，G，連結(jié).因,且,所以四邊形是平行四邊形，因此.又E,G分別為，CD的中點(diǎn)，所以，從而.這說(shuō)明，B，G，E共面，所以.因四邊形與皆為正方形，F(xiàn)，G分別為和CD的中點(diǎn)，所以，且，因此四邊形是平行四邊形，所以.而，，故.19、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）由橢圓定義可得到，再利用斜率公式及直線(xiàn)的斜率之積等于，列出方程，化簡(jiǎn)對(duì)比系數(shù)可得；（2）分直線(xiàn)l的斜率為0和不為0兩種情況討論，利用可得到T在定直線(xiàn)上，且該直線(xiàn)是的中垂線(xiàn)即可得到證明.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)镃上的點(diǎn)M滿(mǎn)足，所以C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，且，即，，所以，設(shè)，則，①所以直線(xiàn)的斜率，直線(xiàn)的斜率，由已知得，即，②由①②得，所以C的方程為【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線(xiàn)l的斜率為0時(shí)，A與重合，B與重合，，，成立.當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不為0時(shí)，設(shè)l的方程為聯(lián)立方程組，消x整理得所以，解得或設(shè)，則，由，得，所以設(shè)，由，得，所以，所以，所以點(diǎn)T在直線(xiàn)上，且，所以是等腰三角形，且，所以，綜上，【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：本題第二問(wèn)突破點(diǎn)是證明T在定直線(xiàn)上，且該直線(xiàn)是的垂直平分線(xiàn)，從而得到，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，轉(zhuǎn)化化歸思想.20、（1）（2）是；【解析】（1）由離心率和焦點(diǎn)三角形周長(zhǎng)可求出，結(jié)合關(guān)系式得出，即可得出橢圓的方程；（2）由平行于軸特殊情況求出，即；當(dāng)平行于軸時(shí)，設(shè)過(guò)的直線(xiàn)為，聯(lián)立橢圓方程，令化簡(jiǎn)得關(guān)于的二次方程，由韋達(dá)定理即可求解.【小問(wèn)1詳解】由題可知，，解得，又，解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；【小問(wèn)2詳解】如圖所示，當(dāng)平行于軸時(shí)，恰好平行于軸，，，；當(dāng)不平行于軸時(shí)，設(shè)，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)為，聯(lián)立得，令得，化簡(jiǎn)得，設(shè)，則，又，故，即.綜上所述，.21、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性求出其最大值，即可證出；（2）由（1）知：，再變形即可得出小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，∴在上單調(diào)遞減，又因，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）知：，兩邊同乘以a得：，∴，即.22、（1）證明見(jiàn)解析（