海淀區(qū)高一年級(jí)練習(xí)數(shù)學(xué)2025.01考生須知1．本試卷共5頁(yè)，共三道大題，19道小題.滿分100分.考試時(shí)間90分鐘.2．在試卷上準(zhǔn)確填寫學(xué)校名稱、班級(jí)名稱、姓名.3．答案一律填涂或書寫在試卷上，用黑色字跡簽字筆作答.4．考試結(jié)束，請(qǐng)將本試卷交回.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件，利用集合的運(yùn)算，即可求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，故選：C.2.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞增的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用奇偶性、單調(diào)性逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)定義域?yàn)?，不具奇偶性，A不是；對(duì)于B，，B不是；對(duì)于C，函數(shù)在上單調(diào)遞減，C不是；對(duì)于D，函數(shù)定義域?yàn)?，，函?shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，D是.故選：D3.已知函數(shù)，在下列區(qū)間中，一定包含零點(diǎn)的區(qū)間是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】確定函數(shù)的單調(diào)性，再利用零點(diǎn)存在性定理判斷即得.【詳解】函數(shù)都是R上的增函數(shù)，則函數(shù)是R上的增函數(shù)，而，所以的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi).故選：A4.某校高一年級(jí)有名男生，名女生.為了解高一學(xué)生研學(xué)路線的選擇意向，采用分層抽樣的方法，從該校高一學(xué)生中抽取容量為的樣本進(jìn)行調(diào)查，其中女生名，則的值為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用分層抽樣的定義，列式計(jì)算得解.【詳解】依題意，，所以.故選：B5.已知，，則實(shí)數(shù)的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大小.【詳解】依題意，，因此實(shí)數(shù)的大小關(guān)系是.故選：B6.若，則下列不等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用不等式的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷.【詳解】對(duì)于A，由，得，A錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，得，，C正確；對(duì)于B，由，，因此，B錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，得，，D錯(cuò)誤.故選：C7.已知函數(shù).若恒成立，則的取值可以是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用恒成立的不等式分離參數(shù)，借助二次函數(shù)求出最大值即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，不等式，依題意，恒成立，而當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅時(shí)取等號(hào)，因此，ABC不是，D是.故選：D8.點(diǎn)聲源亦稱“球面聲源”或“簡(jiǎn)單聲源”.已知點(diǎn)聲源在空間中傳播時(shí)，衰減量（單位：）與傳播距離（單位：）關(guān)系式為，其中為常數(shù).當(dāng)傳播距離為時(shí)，衰減量為；當(dāng)傳播距離為時(shí)，衰減量為.若，則約為（）（參考數(shù)據(jù)：）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用給定的模型，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算計(jì)算得解.【詳解】依題意，（）.故選：A9.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，開區(qū)間，則“，且，都有”是“在上是增函數(shù)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】利用充分條件、必要條件的定義，結(jié)合增函數(shù)的定義判斷得解.【詳解】函數(shù)在上是增函數(shù)，則且，都有，必要性成立；取函數(shù)，區(qū)間，顯然且，都有，而函數(shù)在上不單調(diào)，充分性不成立，所以“且，都有”是“在上是增函數(shù)”的必要不充分條件.故選：B10.已知函數(shù)，若在區(qū)間上既有最大值，又有最小值，則下列說法正確的是（）A.有最小值 B.有最大值C.有最小值 D.有最大值【答案】D【解析】【分析】利用基本函數(shù)的圖象與性質(zhì)，得出的圖象，再結(jié)合條件及圖象，即可求解.【詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，易知在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，，對(duì)稱軸為，易知在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，圖象如圖所示，由，得到或（舍），又在區(qū)間上既有最大值，又有最小值，由圖知，，，所以選項(xiàng)A，B和C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確，故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴，本題的關(guān)鍵在于利用基本函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求作出的圖象，再數(shù)形結(jié)合，即可求解.

第二部分（非選擇題共60分）二、填空題共5小題，每小題4分，共20分.11.計(jì)算：=________________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件，利用指數(shù)冪的運(yùn)算，即可求解.【詳解】因?yàn)椋蚀鸢笧椋?12.已知命題：若二次函數(shù)滿足，則在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn).能說明為假命題的一個(gè)函數(shù)是__________________.【答案】（答案不唯一，，滿足時(shí)，或時(shí)，即可）【解析】【分析】令，根據(jù)條件，先假設(shè)在區(qū)間0,3內(nèi)有零點(diǎn)，利用二次函數(shù)根的分布，建立的不等關(guān)系，通過取值，即可求解.【詳解】令，由得到，當(dāng)時(shí)，假設(shè)在區(qū)間0,3內(nèi)有零點(diǎn)，則有①，不妨取，顯然滿足①式，此時(shí)，令，得到，所以，滿足，但在區(qū)間0,3內(nèi)有零點(diǎn)，故滿足題意，當(dāng)時(shí)，假設(shè)在區(qū)間0,3內(nèi)有零點(diǎn)，則有②，不妨取，顯然滿足②式，此時(shí)，令，得到，所以，滿足，但在區(qū)間0,3內(nèi)有零點(diǎn)，故滿足題意，故答案為：（答案不唯一，，滿足時(shí)，或時(shí)，即可）.13.已知的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則__________；若方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)條件，代入即可求解，再利用方程有解的條件及根與系數(shù)的關(guān)系，即可求解出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由題知，得到，所以，又方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，則，又，得到，得到，由，得到或，所以，故答案為：；.14.已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的圖象如圖所示，則不等式的解集為_______________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定的圖象，可得函數(shù)的單調(diào)性，再分段求解不等式.【詳解】觀察圖象知，奇函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，且，不等式，當(dāng)時(shí)，不等式成立；當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得，所以不等式的解集為.故答案為：15.函數(shù)，其中表示不超過a的最大整數(shù)．給出下列四個(gè)結(jié)論：①的定義域?yàn)?；②方程沒有實(shí)數(shù)根；③函數(shù)的值域?yàn)?；④存在?shí)數(shù)，使得當(dāng)且時(shí)，都有．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是__________________．【答案】②③④【解析】【分析】舉例說明判斷①；解方程并結(jié)合函數(shù)的意義判斷②；令，結(jié)合單調(diào)性求出值域判斷③；取，確定取值區(qū)間推理判斷④即可得解.【詳解】對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)無意義，①錯(cuò)誤；對(duì)于②，由，得，而，因此方程沒有實(shí)數(shù)根，②正確；對(duì)于③，函數(shù)，令，則，，，而，隨的增大而增大，則，，因此，函數(shù)的值域?yàn)?，③正確；對(duì)于④，取，，，由，得，令，則，由，得，而，當(dāng)，取，此時(shí)，，，，都有，④正確，所以所有正確結(jié)論的序號(hào)是②③④.故答案為：②③④【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：令，借助單調(diào)性是求出函數(shù)的關(guān)鍵.三、解答題共4小題，共40分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.已知關(guān)于不等式的解集，集合．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求實(shí)數(shù)的取值范圍．條件①：；條件②：．注：如果選擇多個(gè)條件分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分【答案】（1）（2）選擇見解析，答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值不等式的幾何意義，得到，再結(jié)合條件，即可求解；（2）選擇①，根據(jù)條件，結(jié)合圖形，得到，即可求解；選項(xiàng)擇②，根據(jù)條件，結(jié)合圖形，得到，即可求解.【小問1詳解】由，得到，即，又因?yàn)殛P(guān)于不等式的解集，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的值為.【小問2詳解】選擇條件①，因?yàn)椋?，又，由圖知，，解得.選擇條件②，因?yàn)?，，又，即，由圖知，，解得.17.某市在旅游旺季時(shí)，為應(yīng)對(duì)景區(qū)可能出現(xiàn)人流量過大的情況，規(guī)定：當(dāng)人流量達(dá)到景區(qū)最大承載量的時(shí)，將對(duì)該景區(qū)采取局部限流措施；當(dāng)人流量達(dá)到景區(qū)最大承載量的時(shí)，將對(duì)該景區(qū)采取完全限流措施.小明計(jì)劃假期去該市甲、乙、丙三個(gè)旅游景區(qū)旅行，他調(diào)查了甲、乙、丙三個(gè)旅游景區(qū)在去年同期天的限流措施情況，見下表：景區(qū)限流情況景區(qū)累計(jì)天數(shù)不限流局部限流完全限流甲景區(qū)累計(jì)天數(shù)天天天乙景區(qū)累計(jì)天數(shù)天天天丙景區(qū)累計(jì)天數(shù)天天天假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙三個(gè)景區(qū)限流情況相互獨(dú)立.（1）小明某天到甲景區(qū)旅游，估計(jì)小明遇到完全限流的概率；（2）小明任選兩天，分別到乙、丙兩景區(qū)游覽，估計(jì)小明在兩個(gè)景區(qū)至少遇到一次限流（包括局部限流和完全限流）的概率；（3）小明計(jì)劃在一天內(nèi)從甲、乙、丙三個(gè)景區(qū)中選擇兩個(gè)景區(qū)，并分別在上午和下午游覽.若存在以下兩種情況之一，則不能完成游覽：（?。┰谏衔绲挠斡[中遇到局部限流，且下午的游覽中遇到完全限流；（ⅱ）在上午的游覽中遇到完全限流.請(qǐng)幫助小明制定游覽計(jì)劃，使他完成游覽的概率最大：上午游覽景區(qū)，下午游覽景區(qū).（從“甲、乙、丙”中選擇兩個(gè)填寫）【答案】（1）；（2）；（3）甲，丙；【解析】【分析】（1）由表格中數(shù)據(jù)求出頻率即可.（2）利用相互獨(dú)立事件及對(duì)立事件的概率求解.（3）按上下午選擇景區(qū)情況分類，利用相互獨(dú)立事件及對(duì)立事件的概率求出概率并比較大小得解.【小問1詳解】由數(shù)表知，天中，甲景區(qū)完全限流的天數(shù)是2，所以小明遇到完全限流的概率為.【小問2詳解】由數(shù)表知，乙景區(qū)不限流的概率為，丙景區(qū)不限流的概率為，所以小明在兩個(gè)景區(qū)至少遇到一次限流的概率.【小問3詳解】若小明上午選甲景區(qū)，下午選乙景區(qū)能完成游覽的概率；若小明上午選甲景區(qū)，下午選丙景區(qū)能完成游覽的概率；若小明上午選乙景區(qū)，下午選甲景區(qū)能完成游覽的概率；若小明上午選乙景區(qū)，下午選丙景區(qū)能完成游覽的概率；若小明上午選丙景區(qū)，下午選甲景區(qū)能完成游覽的概率；若小明上午選丙景區(qū)，下午選乙景區(qū)能完成游覽的概率，而最大，即小明上午選甲景區(qū)，下午選丙景區(qū)能完成游覽的概率最大.18.已知函數(shù).（1）若，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，用函數(shù)單調(diào)性定義證明在區(qū)間上增函數(shù)；（3）若，，恒成立，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的最小值.【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）1.【解析】【分析】（1）代入計(jì)算得的值.（2）利用增函數(shù)的定義，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性推理得證.（3）對(duì)恒成立的不等式分離參數(shù)，借助指數(shù)函數(shù)值域求出的最小值，再利用增函數(shù)的定義推理得解.【小問1詳解】函數(shù)，由，得，所以.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，任取，，由，得，則，即，所以函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù).【小問3詳解】不等式，依題意，，恒成立，而，恒有，則，又，因此，任取，，由，得，而，則，即，又，于是，則，即，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以的最小值是1.19.已知非空集合滿足如下三個(gè)性質(zhì)，則稱集合滿足性質(zhì)：①；②，；③，；（1）判斷下列集合是否滿足性質(zhì)？;.（只需寫出結(jié)論）（2）若集合滿足性質(zhì)，且存在，使得，求證：，，都有；（3）若集合滿足性質(zhì)，且，，，求所有的符合題意的集合.【答案】（1）集合不具有性質(zhì)，集合具有性質(zhì)．（2）證明見解析；（3）或．【解析】【分析】（1）根據(jù)集合新定義所需條件，逐個(gè)分析即可；（2）分和討論即可；（3