平移旋轉軸對稱典型練習題及答案1.平移題1在平面直角坐標系中，已知△ABC的頂點A(1,2)、B(4,2)、C(3,5)。將△ABC沿向量v=(?3,4)平移得到△A′B′C′。(1)寫出A′、B′、C′的坐標；(2)求線段AA′的中點坐標；(3)若點P在平移后的圖像上，且P的橫坐標為0，求P的縱坐標；(4)判斷平移前后△ABC與△A′B′C′是否全等，并給出理由；(5)設直線l：y=2x+1，求l在平移下的像l′的方程。解(1)平移公式(x,y)→(x?3,y+4)，故A′(1?3,2+4)=(?2,6)，B′(4?3,2+4)=(1,6)，C′(3?3,5+4)=(0,9)。(2)AA′的中點M坐標為((1+(?2))/2,(2+6)/2)=(?0.5,4)。(3)設P(0,y)在△A′B′C′上，則P必在△A′B′C′的內(nèi)部或邊界。先求A′B′的方程：兩點(?2,6)、(1,6)共線且y=6，故A′B′為水平線段y=6(?2≤x≤1)。A′C′的斜率(9?6)/(0?(?2))=3/2，方程y?6=3/2(x+2)。B′C′的斜率(9?6)/(0?1)=?3，方程y?6=?3(x?1)。將x=0代入三邊：y=6（在A′B′上），y=6+3/2·2=9（在A′C′上），y=6?3·(?1)=9（在B′C′上）。因此x=0與△A′B′C′的交點縱坐標介于6與9之間，P的縱坐標可取[6,9]中任意值，但題目要求“點P在圖像上”，默認指邊界，故y=6或y=9。若強調(diào)內(nèi)部，則6<y<9。(4)平移是剛體變換，保持距離與角度，故△ABC≌△A′B′C′。(5)直線l上任意點(x,2x+1)平移后變?yōu)?x?3,2x+1+4)=(x?3,2x+5)。設像上點為(X,Y)，則X=x?3，Y=2x+5，消去x得Y=2(X+3)+5=2X+11。故l′：y=2x+11?！?.旋轉題2正方形ABCD邊長為6，中心在原點O，A(3,3)。將正方形繞O逆時針旋轉30°得到正方形A′B′C′D′。(1)求A′的坐標；(2)求邊A′B′的直線方程；(3)求旋轉后點C′到x軸的距離；(4)求原正方形與旋轉后正方形重疊部分的面積；(5)若點P在AB上，且AP=2，求P旋轉后的坐標。解(1)旋轉公式x′=xcosθ?ysinθ，y′=xsinθ+ycosθ，θ=30°，cosθ=√3/2，sinθ=1/2。A(3,3)→x′=3·√3/2?3·1/2=3(√3?1)/2，y′=3·1/2+3·√3/2=3(1+√3)/2。故A′(3(√3?1)/2,3(1+√3)/2)。(2)B(?3,3)，旋轉后x′=?3·√3/2?3·1/2=?3(√3+1)/2，y′=?3·1/2+3·√3/2=3(√3?1)/2。向量A′B′=(xB′?xA′,yB′?yA′)=(?3(√3+1)/2?3(√3?1)/2,3(√3?1)/2?3(1+√3)/2)=(?3√3,?3)。斜率k=(?3)/(?3√3)=1/√3，直線方程y?yA′=1/√3(x?xA′)，化簡得y=1/√3x+3(1+√3)/2?3(√3?1)/(2√3)=1/√3x+3。(3)C(?3,?3)，旋轉后x′=?3·√3/2?(?3)·1/2=3(1?√3)/2，y′=?3·1/2+(?3)·√3/2=?3(1+√3)/2。C′到x軸距離=|y′|=3(1+√3)/2。(4)重疊部分為八邊形，可分割為中央小正方形與四個梯形。利用對稱性，只算第一象限再乘4。詳細積分法：原正方形邊界|x|≤3,|y|≤3，旋轉后方程|x′|≤3,|y′|≤3，即|xcosθ+ysinθ|≤3，|?xsinθ+ycosθ|≤3。聯(lián)立求交點，再分段積分得面積=36?4×(3?3cosθ)(3?3sinθ)/2=36?18(1?cosθ)(1?sinθ)。代入θ=30°，cosθ=√3/2，sinθ=1/2，得重疊面積=36?18(1?√3/2)(1?1/2)=36?9(1?√3/2)=27+9√3/2。(5)AB參數(shù)方程：A(3,3)到B(?3,3)，y=3，x從3到?3。AP=2，則P在A左側2單位，x=3?2=1，y=3。P(1,3)。旋轉后x′=1·√3/2?3·1/2=(√3?3)/2，y′=1·1/2+3·√3/2=(1+3√3)/2?！?.軸對稱題3已知△PQR頂點P(2,1)、Q(5,3)、R(4,5)。(1)求△PQR關于直線m：y=2x+1的對稱圖形△P″Q″R″的頂點坐標；(2)求PQ與其對稱線段P″Q″的交點；(3)求△PQR與△P″Q″R″重疊部分的面積；(4)若點S在直線m上，且SP+SQ最小，求S的坐標；(5)證明：對稱變換下，三角形的垂心H與其像H″關于直線m對稱。解(1)點關于直線Ax+By+C=0的對稱公式：設直線m：2x?y+1=0，A=2,B=?1,C=1。對任意點(x0,y0)，對稱點(x′,y′)滿足x′=x0?2A(Ax0+By0+C)/(A2+B2)，y′=y0?2B(Ax0+By0+C)/(A2+B2)。計算得P(2,1)：Ax0+By0+C=4?1+1=4，x′=2?4·2·4/5=2?16/5=?6/5，y′=1?4·(?1)·4/5=1+16/5=21/5。故P″(?6/5,21/5)。同理Q(5,3)：值=10?3+1=8，x′=5?2·2·8/5=5?32/5=?7/5，y′=3?2·(?1)·8/5=3+16/5=31/5。Q″(?7/5,31/5)。R(4,5)：值=8?5+1=4，x′=4?16/5=4/5，y′=5+16/5=41/5。R″(4/5,41/5)。(2)直線PQ：兩點(2,1),(5,3)，斜率2/3，方程y?1=2/3(x?2)，即2x?3y+1=0。對稱直線P″Q″過P″,Q″，斜率(31/5?21/5)/(?7/5+6/5)=10/(?1)=?10，方程y?21/5=?10(x+6/5)，即y=?10x?39/5。求交點：聯(lián)立2x?3y+1=0與y=?10x?39/5，代入得2x?3(?10x?39/5)+1=0→32x+117/5+1=0→x=?122/(5·32)=?61/80，y=?10·(?61/80)?39/5=610/80?624/80=?14/80=?7/40。交點(?61/80,?7/40)。(3)重疊部分為六邊形，可分割為四邊形與兩個三角形。利用向量叉積求面積：先求兩三角形所有邊交點，共得6個頂點，再用多邊形面積公式S=1/2|∑(xiyi+1?xi+1yi)|，算得面積=4.35（精確分數(shù)為567/130）。(4)最小化SP+SQ即求Q關于m的對稱點Q″，已得Q″(?7/5,31/5)。直線PQ″與m的交點即為S。PQ″：P(2,1)，Q″(?7/5,31/5)，斜率(31/5?1)/(?7/5?2)=(26/5)/(?17/5)=?26/17，方程y?1=?26/17(x?2)。與m：y=2x+1聯(lián)立：2x+1?1=?26/17(x?2)→2x=?26/17x+52/17→(2+26/17)x=52/17→60/17x=52/17→x=52/60=13/15，y=2·13/15+1=41/15。故S(13/15,41/15)。(5)垂心H是三高交點。對稱變換是等距映射，保持垂直關系，故高線的像仍為高線，且交點H的像即為新三角形的高心H″。由軸對稱定義，H與H″關于m對稱，得證?！?.綜合題4在平面直角坐標系中，拋物線Γ：y=x2?4x+5。(1)將Γ沿向量(2,?3)平移得Γ?，寫出Γ?的方程；(2)將Γ?繞原點逆時針旋轉90°得Γ?，寫出Γ?的方程；(3)求Γ?關于直線x+y=0的對稱圖形Γ?的方程；(4)設點M在Γ上，其橫坐標為t，求M經(jīng)過以上三次變換后的坐標；(5)求Γ?的焦點坐標與準線方程。解(1)平移：x→x?2，y→y+3，代入得y+3=(x?2)2?4(x?2)+5→y=(x?2)2?4(x?2)+2。展開：y=x2?4x+4?4x+8+2=x2?8x+14。Γ?：y=x2?8x+14。(2)旋轉90°：x→?y，y→x，代入Γ?：x=(?y)2?8(?y)+14=y2+8y+14，即Γ?：x=y2+8y+14。(3)關于x+y=0對稱：互換x,y并取負，即(x,y)→(?y,?x)。代入Γ?：?y=(?x)2+8(?x)+14→?y=x2?8x+14→y=?x2+8x?14。Γ?：y=?x2+8x?14。(4)M(t,t2?4t+5)。平移：M?(t+2,t2?4t+5?3)=(t+2,t2?4t+2)。旋轉90°：M?(?(t2?4t+2),t+2)=(?t2+4t?2,t+2)。軸對稱：M?(?(t+2),?(?t2+4t?2))=(?t?2,t2?4t+2)。(5)Γ?：y=?x2+8x?14=?(x?4)2+2，頂點(4,2)，開口向下，a=?1。焦點在頂點下方1/(4|a|)=1/4處，故焦點(4,2?1/4)=(4,7/4)。準線：y=2+1/4=9/4?！?.提高題5設復平面上點z對應向量Oz。定義變換T：z?iz+1?i。(1)說明T由何種幾何變換復合而成；(2)求單位圓|z|=1在T下的像曲線方程；(3)求將像曲線重新變回單位圓的逆變換T?1；(4)求T的不動點；(5)若點列{z?}滿足z???=T(z?)，且z?=0，求z????的代數(shù)式并指出其幾何意義。解(1)T(z)=iz+1?i=旋轉90°后平移向量1?i。故T=旋轉°平移。(2)設w=iz+1?i，則z=(w?1+i)/i=?i(w?1+i)=?iw?1?i。|z|=1?|?iw?1?i|=1?|w+(1+i)|=1。像曲線是以?(1+i)為圓心、半徑1的圓。(3)T?1(w)=(w?1+i)/