一、課程導(dǎo)入：從生活到數(shù)學(xué)的空間認(rèn)知啟蒙演講人CONTENTS課程導(dǎo)入：從生活到數(shù)學(xué)的空間認(rèn)知啟蒙知識(shí)鋪墊：立方體與展開圖的基本屬性核心探究：展開圖中相鄰面的數(shù)字排列規(guī)律例題解析：從理論到實(shí)踐的遷移實(shí)踐操作：動(dòng)手折疊，深化空間認(rèn)知總結(jié)與升華：從規(guī)律到思維的跨越目錄2025九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)立方體展開圖中相鄰面數(shù)字排列規(guī)律課件01課程導(dǎo)入：從生活到數(shù)學(xué)的空間認(rèn)知啟蒙課程導(dǎo)入：從生活到數(shù)學(xué)的空間認(rèn)知啟蒙作為一線數(shù)學(xué)教師，我常在課堂上觀察到一個(gè)有趣的現(xiàn)象：當(dāng)學(xué)生第一次接觸立方體展開圖時(shí)，他們的反應(yīng)往往分為兩類——一類會(huì)興奮地用草稿紙折疊小立方體，試圖“看見”立體與平面的轉(zhuǎn)換；另一類則盯著書本上的展開圖皺眉，疑惑“這些零散的面怎么就拼成了立方體？”。這種差異背后，是空間想象能力的初始分化，而本節(jié)課的核心任務(wù)，正是幫助學(xué)生建立“平面—立體”轉(zhuǎn)換的思維橋梁，尤其聚焦于展開圖中相鄰面數(shù)字排列的規(guī)律。我們不妨從生活場景切入：快遞盒拆封后平鋪的硬紙板、魔方拆解后的六個(gè)面、粉筆盒展開的包裝紙……這些都是立方體展開圖的現(xiàn)實(shí)原型。當(dāng)我們?cè)谶@些展開圖上標(biāo)注數(shù)字（如骰子的1-6點(diǎn)），問題便轉(zhuǎn)化為：**如何通過展開圖的平面排列，準(zhǔn)確推斷折疊成立方體后相鄰面的數(shù)字關(guān)系？**這既是中考?？嫉膸缀位A(chǔ)題，也是培養(yǎng)空間觀念的關(guān)鍵載體。02知識(shí)鋪墊：立方體與展開圖的基本屬性知識(shí)鋪墊：立方體與展開圖的基本屬性要探究相鄰面的數(shù)字規(guī)律，首先需明確立方體及其展開圖的基礎(chǔ)屬性。1立方體的幾何特征STEP1STEP2STEP3立方體（正方體）是由6個(gè)全等的正方形面圍成的立體圖形，具有以下核心特征：面的關(guān)系：6個(gè)面中，每對(duì)相對(duì)面互相平行且面積相等，共3組相對(duì)面；其余面均為相鄰面（有一條公共棱）。棱與頂點(diǎn)：12條棱長度相等，8個(gè)頂點(diǎn)由3條棱交匯而成。2立方體展開圖的定義與分類展開圖是將立方體的表面沿某些棱剪開，平鋪成一個(gè)平面圖形的結(jié)果。需注意：展開圖必須包含立方體的所有6個(gè)面，且面與面之間通過原立方體的棱（即展開圖中的公共邊）相連。根據(jù)展開圖的排列形狀，可將其分為四大類（教學(xué)中常用“型”來命名）：“1-4-1”型（最常見）：由1個(gè)面—4個(gè)面—1個(gè)面縱向排列，共6種變體。例如：□□□□□□（注：“□”代表正方形面，下同）“2-3-1”型：由2個(gè)面—3個(gè)面—1個(gè)面排列，共3種變體。例如：□□2立方體展開圖的定義與分類□□□□“2-2-2”型：3層，每層2個(gè)面，僅1種變體。例如：□□□□□□“3-3”型：2層，每層3個(gè)面，僅1種變體。例如：□□□□□□這四類展開圖覆蓋了立方體所有可能的展開方式（共11種），理解其結(jié)構(gòu)是分析相鄰面關(guān)系的前提。03核心探究：展開圖中相鄰面的數(shù)字排列規(guī)律1相鄰面的判定原則1在展開圖中，相鄰面的本質(zhì)是原立方體中存在公共棱的兩個(gè)面。反映在展開圖上，需滿足以下條件之一：2直接相鄰：兩個(gè)面在展開圖中有一條公共邊（即邊與邊完全重合）。例如在“1-4-1”型中，中間4個(gè)面依次左右相連，每個(gè)中間面與上下兩個(gè)“1”型面若有公共邊則相鄰。3折疊后相鄰：某些面在展開圖中不直接相鄰，但折疊成立方體時(shí)會(huì)因棱的重合而成為相鄰面。例如“2-3-1”型中，頂層的2個(gè)面與中間層的第1、3個(gè)面可能通過折疊形成公共棱。2相對(duì)面與相鄰面的關(guān)系：排除法的應(yīng)用“3-3”型：上下兩層的第1與第4、第2與第5、第3與第6個(gè)面是相對(duì)面（需按層對(duì)齊）。05“2-3-1”型：頂層的2個(gè)面中，與底層“1”型面無公共邊的面是其相對(duì)面；中間3個(gè)面中，第1與第3是相對(duì)面。03由于立方體中每個(gè)面有且僅有1個(gè)相對(duì)面，其余4個(gè)面均為相鄰面，因此確定相對(duì)面是推斷相鄰面的關(guān)鍵。相對(duì)面在展開圖中的典型特征：01“2-2-2”型：每層的2個(gè)面中，與另一層對(duì)應(yīng)位置的面是相對(duì)面（呈“對(duì)角線”分布）。04“1-4-1”型：上下兩個(gè)“1”型面是相對(duì)面；中間4個(gè)面中，第1與第4、第2與第3是相對(duì)面（若中間面為連續(xù)排列）。022相對(duì)面與相鄰面的關(guān)系：排除法的應(yīng)用教學(xué)提示：我常在課堂上讓學(xué)生用“Z”字法輔助判斷相對(duì)面——在展開圖中，相對(duì)面的連線形如“Z”字（或反“Z”），且“Z”字的首尾兩端必為相對(duì)面。例如“1-4-1”型中間4個(gè)面的第1與第4個(gè)面，連線即構(gòu)成“Z”字的橫與豎。3具體展開圖類型中的數(shù)字排列規(guī)律為便于理解，我們以標(biāo)注數(shù)字1-6的立方體為例（假設(shè)1的相對(duì)面是6，2的相對(duì)面是5，3的相對(duì)面是4），分析不同展開圖中相鄰面的數(shù)字關(guān)系。3具體展開圖類型中的數(shù)字排列規(guī)律3.1“1-4-1”型展開圖以展開圖：01234502603為例（中間4個(gè)面為2、3、4、5，上為1，下為6）。04直接相鄰面：051與2、5（因1的下邊與2的上邊、5的上邊重合）066與4、3（因6的上邊與4的下邊、3的下邊重合）072與1、3（左右相鄰）083與2、4、6（左鄰2，右鄰4，下鄰6）091103具體展開圖類型中的數(shù)字排列規(guī)律3.1“1-4-1”型展開圖4與3、5、6（左鄰3，右鄰5，下鄰6）5與4、1（左鄰4，上鄰1）驗(yàn)證折疊結(jié)果：折疊后，1與6相對(duì)，2與5相對(duì)，3與4相對(duì)，每個(gè)面的4個(gè)相鄰面均符合上述分析。3.3.2“2-3-1”型展開圖以展開圖：123具體展開圖類型中的數(shù)字排列規(guī)律3.1“1-4-1”型展開圖3456為例（頂層2個(gè)面1、2，中間3個(gè)面3、4、5，底層1個(gè)面6）。相對(duì)面判斷：通過“Z”字法，1的相對(duì)面是5（1→3→5構(gòu)成“Z”），2的相對(duì)面是6（2→4→6構(gòu)成“Z”），3的相對(duì)面是4？不，中間3個(gè)面中，3與5是“Z”字兩端（3→4→5），因此3的相對(duì)面是5？這里需注意，“2-3-1”型的相對(duì)面需結(jié)合層數(shù)：頂層1與中間層第3個(gè)面（5）相對(duì)，頂層2與底層6相對(duì)，中間層第1個(gè)面（3）與中間層第3個(gè)面（5）相對(duì)，中間層第2個(gè)面（4）與無直接“Z”字連接的面？實(shí)則更簡單的方法是：立方體共3組相對(duì)面，已確定1-5、2-6，則剩余3-4必為相對(duì)面。相鄰面分析：3具體展開圖類型中的數(shù)字排列規(guī)律3.1“1-4-1”型展開圖1的相鄰面：2（公共邊）、3（1的右邊與3的上邊重合）、5（折疊后1的下邊與5的上邊重合？需實(shí)際折疊驗(yàn)證）（注：此處易混淆，需借助實(shí)物模型演示：將頂層1、2向后折，中間層3、4、5作為前面，底層6向下折，則1會(huì)與3的左側(cè)面、5的上側(cè)面相鄰，2會(huì)與4的上側(cè)面、6的右側(cè)面相鄰。）3.3.3“2-2-2”型與“3-3”型展開圖“2-2-2”型：展開圖為：ABCD3具體展開圖類型中的數(shù)字排列規(guī)律3.1“1-4-1”型展開圖EF折疊時(shí)，A與D、B與E、C與F相對(duì)（“Z”字連接），每個(gè)面的相鄰面為同層左右面及上下層對(duì)應(yīng)位置的面。例如A的相鄰面是B（右）、C（下）、D（下右折疊后相鄰）。“3-3”型：展開圖為：ABCDEF折疊時(shí)，A與E、B與F、C與D相對(duì)（“Z”字連接），A的相鄰面是B（右）、D（下）、E（下右折疊后相鄰）。4數(shù)字排列的通用規(guī)律總結(jié)03相對(duì)面不相鄰：已知某面的相對(duì)面數(shù)字，其余4個(gè)數(shù)字必為其相鄰面（因立方體每個(gè)面僅1個(gè)相對(duì)面）。02公共邊必相鄰：展開圖中若兩個(gè)面有一條公共邊，則折疊后這兩個(gè)面必為相鄰面，數(shù)字位置對(duì)應(yīng)。01通過上述分析，可歸納出展開圖中相鄰面數(shù)字排列的三大核心規(guī)律：04“Z”字輔助判相對(duì)，排除相對(duì)得相鄰：通過“Z”字法快速確定相對(duì)面，剩余數(shù)字即為相鄰面，尤其適用于無公共邊但折疊后相鄰的情況。04例題解析：從理論到實(shí)踐的遷移例題解析：從理論到實(shí)踐的遷移為鞏固規(guī)律，我們通過典型例題進(jìn)行應(yīng)用訓(xùn)練。例1（基礎(chǔ)題）如圖（假設(shè)展開圖為“1-4-1”型）：123456已知1的相對(duì)面是6，2的相對(duì)面是5，3的相對(duì)面是4。問：數(shù)字3的相鄰面有哪些？解析步驟：確定3的相對(duì)面是4（已知），因此相鄰面為除4外的其他數(shù)字（1、2、5、6）。驗(yàn)證展開圖中的公共邊：3與2（左鄰）、4（右鄰）、6（下鄰）、1（上鄰？需看展開圖結(jié)構(gòu)）。實(shí)際展開圖中，3的上邊與1的下邊是否有公共邊？在“1-4-1”型中，中間4個(gè)面的上邊與頂層“1”型面的下邊重合，因此3的上邊與1的下邊重合，故3與1相鄰；同理，3的下邊與底層“6”型面的上邊重合，故3與6相鄰。因此，3的相鄰面為1、2、6、4？不，4是相對(duì)面，矛盾。例1（基礎(chǔ)題）（注：此處暴露學(xué)生易犯錯(cuò)誤——混淆相對(duì)面與公共邊相鄰面。正確分析應(yīng)為：3的相對(duì)面是4，因此相鄰面為1、2、5、6。展開圖中，3與2（左公共邊）、5（右公共邊？不，中間4個(gè)面是2-3-4-5，因此3的右鄰是4，左鄰是2；頂層1的下邊與2的上邊、5的上邊重合，故1與2、5相鄰；底層6的上邊與4的下邊、3的下邊重合，故6與4、3相鄰。因此，3的相鄰面是2（左）、6（下）、4（右）？但4是相對(duì)面，這說明之前的相對(duì)面假設(shè)錯(cuò)誤——在“1-4-1”型中，中間4個(gè)面的相對(duì)面應(yīng)為第1與第4（2與5）、第2與第3（3與4），因此若2的相對(duì)面是5，3的相對(duì)面是4，1的相對(duì)面是6，則3的相鄰面應(yīng)為2（左）、4（相對(duì)面，排除）、6（下）、1（上？1的下邊與2、5的上邊重合，與3的上邊無公共邊）。此時(shí)需修正：3的相鄰面應(yīng)為2（左）、6（下）、以及折疊后與1的側(cè)面相鄰？例1（基礎(chǔ)題）這體現(xiàn)了實(shí)物折疊的重要性——實(shí)際折疊后，3的前面是3，2在左，4在右，1在上（與2的上面相連），6在下（與4的下面相連），因此3的相鄰面是2（左）、4（右）、1（后上）、6（后下），但4是相對(duì)面，說明我的初始相對(duì)面假設(shè)錯(cuò)誤，正確的相對(duì)面應(yīng)為：在“1-4-1”型中，中間4個(gè)面的第1（2）與第4（5）相對(duì)，第2（3）與第3（4）相對(duì)，頂層1與底層6相對(duì)。因此3的相對(duì)面是4，相鄰面為2、5、1、6，這與展開圖中3的左鄰2、右鄰4（相對(duì)面，不相鄰）、上鄰1（通過折疊，3的上面與1的側(cè)面相連）、下鄰6（通過折疊，3的下面與6的側(cè)面相連），因此正確相鄰面是2、5、1、6。）教學(xué)反思：此題暴露了學(xué)生易混淆“展開圖中的直接相鄰”與“折疊后的實(shí)際相鄰”，因此需強(qiáng)調(diào)：展開圖中無公共邊的面，可能通過折疊成為相鄰面，而有公共邊的面一定是相鄰面，但需排除相對(duì)面（若公共邊連接的是相對(duì)面，則不可能，因相對(duì)面無公共邊）。例1（基礎(chǔ)題）例2（提升題）某立方體展開圖如下（“2-3-1”型）：ABCDEF已知A=1，B=2，C=3，D=4，E=5，F(xiàn)=6，且1的相對(duì)面是5，2的相對(duì)面是6。求：數(shù)字4的相鄰面數(shù)字。解析步驟：確定相對(duì)面：已知1(A)-5(E)，2(B)-6(F)，則剩余3(C)-4(D)必為相對(duì)面（因立方體共3組相對(duì)面）。例1（基礎(chǔ)題）排除相對(duì)面：4的相對(duì)面是3，因此相鄰面為1、2、5、6。結(jié)合展開圖結(jié)構(gòu)驗(yàn)證：D(4)在中間層第2位，其左鄰C(3，相對(duì)面，不相鄰)，右鄰E(5，相鄰)，上鄰B(2，B的下邊與D的上邊重合，相鄰)，下鄰F(6，折疊后D的下邊與F的上邊重合，相鄰)，同時(shí)，A(1)的右邊與C(3)的上邊重合，折疊后A(1)會(huì)與D(4)的左側(cè)面相鄰。因此，4的相鄰面為1、2、5、6，與推斷一致。05實(shí)踐操作：動(dòng)手折疊，深化空間認(rèn)知實(shí)踐操作：動(dòng)手折疊，深化空間認(rèn)知0504020301理論需與實(shí)踐結(jié)合，我常讓學(xué)生分組完成以下活動(dòng)：制作展開圖模型：用硬紙板繪制“1-4-1”“2-3-1”型展開圖，標(biāo)注數(shù)字1-6（任意分配相對(duì)面）。折疊驗(yàn)證：將展開圖折疊成立方體，記錄每個(gè)數(shù)字的相鄰面數(shù)字。對(duì)比分析：比較展開圖中直接相鄰的面與折疊后相鄰的面，總結(jié)規(guī)律。學(xué)生反饋顯示，動(dòng)手操作能顯著降低“平面—立體”轉(zhuǎn)換的抽象感，尤其對(duì)空間想象能力較弱的學(xué)生，實(shí)物折疊是理解規(guī)律的“關(guān)鍵鑰匙”。06總結(jié)與升華：從規(guī)律到思維的跨越總結(jié)與升華：從規(guī)律到思維的跨越本節(jié)課，我們圍繞“立方體展開圖中相鄰面數(shù)字排列規(guī)律”展開了系統(tǒng)探究，核心內(nèi)容可總結(jié)為：一個(gè)核心關(guān)系：展開圖的平面排列與立方體的立體結(jié)構(gòu)通過公