一、知識鋪墊：相遇問題的“地基”演講人01.02.03.04.05.目錄知識鋪墊：相遇問題的“地基”相遇問題的分類與解題步驟解題工具：線段圖與方程思想的結(jié)合分層練習(xí)：從基礎(chǔ)到綜合的能力提升總結(jié)與升華：相遇問題的“核心思維”2025七年級數(shù)學(xué)上冊行程相遇問題解題課件各位同學(xué)、老師們：大家好！今天我們共同探討的主題是“行程相遇問題”。作為七年級數(shù)學(xué)上冊“一元一次方程”章節(jié)的核心應(yīng)用題型，相遇問題不僅是對“路程=速度×?xí)r間”基本公式的深化，更是培養(yǎng)邏輯分析、數(shù)形結(jié)合能力的重要載體。在過去的教學(xué)中，我常聽到同學(xué)們說“相遇問題像繞口令，讀題就暈”“畫不出圖，列不出方程”。別急，今天我們就從生活場景出發(fā)，抽絲剝繭，一步步揭開相遇問題的“面紗”。01知識鋪墊：相遇問題的“地基”知識鋪墊：相遇問題的“地基”要解決相遇問題，首先需要回顧最基礎(chǔ)的行程問題三要素及其關(guān)系。這部分內(nèi)容是我們解題的“地基”，必須牢牢掌握。1行程問題的核心公式行程問題中，路程（S）、速度（v）、時(shí)間（t）三者的關(guān)系是：路程=速度×?xí)r間（S=v×t）這一公式衍生出兩個(gè)變形：速度=路程÷時(shí)間（v=S÷t）時(shí)間=路程÷速度（t=S÷t）舉個(gè)生活中的例子：周末你騎自行車去書店，速度是15千米/小時(shí)，騎了0.5小時(shí)到達(dá)，那么書店離家的距離就是15×0.5=7.5千米。這個(gè)計(jì)算過程，就是公式的直接應(yīng)用。2相遇問題的本質(zhì)特征相遇問題屬于“相向而行”的行程問題，其核心特征是：兩個(gè)運(yùn)動主體從兩地出發(fā)，朝對方方向移動，最終在某一點(diǎn)相遇。此時(shí)，兩者的運(yùn)動時(shí)間存在關(guān)聯(lián)，路程存在和的關(guān)系。比如，你和同學(xué)分別從學(xué)校兩端的路口出發(fā)，相向而行，最終在操場相遇。你們的行走時(shí)間是相同的（同時(shí)出發(fā)的情況下），而兩人走過的路程之和正好等于學(xué)校兩端路口的總距離。這就是相遇問題的“底層邏輯”。02相遇問題的分類與解題步驟相遇問題的分類與解題步驟相遇問題并非千篇一律，根據(jù)出發(fā)時(shí)間、運(yùn)動方向、路線形態(tài)的不同，可分為多種類型。我們需要逐一分析，掌握每類問題的解題策略。1基礎(chǔ)型：同時(shí)出發(fā)，相向而行這是相遇問題中最典型的類型，其特點(diǎn)是：兩個(gè)物體同時(shí)從兩地出發(fā)，相向而行，經(jīng)過一段時(shí)間后相遇。核心公式推導(dǎo)：設(shè)兩地距離為S，甲的速度為v?，乙的速度為v?，相遇時(shí)間為t。甲在t時(shí)間內(nèi)走的路程為v?×t，乙走的路程為v?×t。由于相遇時(shí)兩人路程之和等于總距離，因此有：v?×t+v?×t=S→(v?+v?)×t=S→t=S÷(v?+v?)解題步驟：明確已知量：總距離S、甲速度v?、乙速度v?（或其中兩個(gè)量，求第三個(gè)）；1基礎(chǔ)型：同時(shí)出發(fā)，相向而行設(shè)相遇時(shí)間為t（或其他未知量），根據(jù)“路程和=總距離”列方程；解方程并驗(yàn)證結(jié)果合理性。例題1：A、B兩站相距360千米，甲車從A站出發(fā)，速度為60千米/小時(shí)；乙車從B站出發(fā)，速度為90千米/小時(shí)。兩車同時(shí)出發(fā)，相向而行，幾小時(shí)后相遇？解析：已知S=360千米，v?=60，v?=90；設(shè)相遇時(shí)間為t小時(shí)，則甲路程=60t，乙路程=90t；根據(jù)路程和=總距離，列方程：60t+90t=360→150t=360→t=2.4小時(shí)（即2小時(shí)24分鐘）。1基礎(chǔ)型：同時(shí)出發(fā)，相向而行常見誤區(qū)：部分同學(xué)會錯(cuò)誤地認(rèn)為“速度相加后直接除以總距離”，如360÷(60+90)=2.4，雖然結(jié)果正確，但需明確這是“時(shí)間=總距離÷速度和”的推導(dǎo)結(jié)果，而非死記硬背的公式。2變式1：不同時(shí)出發(fā)，相向而行實(shí)際生活中，兩人可能因各種原因不同時(shí)出發(fā)（如一人先出發(fā)，另一人后出發(fā)）。此時(shí)，相遇時(shí)間需分段計(jì)算：先出發(fā)者單獨(dú)行駛的時(shí)間+兩人共同行駛的時(shí)間。核心分析：設(shè)甲先出發(fā)t?小時(shí)，速度為v?；乙后出發(fā)，速度為v?，總距離為S。甲在t?小時(shí)內(nèi)先走了v?×t?千米，剩余距離為S-v?×t?；之后兩人共同行駛的時(shí)間為t，此時(shí)兩人路程和為(v?+v?)×t；因此有：v?×t?+(v?+v?)×t=S→t=(S-v?×t?)÷(v?+v?)例題2：A、B兩地相距450千米，甲車上午8點(diǎn)從A地出發(fā)，速度為50千米/小時(shí)；乙車上午10點(diǎn)從B地出發(fā)，速度為70千米/小時(shí)，相向而行。兩車何時(shí)相遇？2變式1：不同時(shí)出發(fā)，相向而行解析：甲車先出發(fā)2小時(shí)（8點(diǎn)到10點(diǎn)），先走了50×2=100千米；剩余距離：450-100=350千米；設(shè)乙車出發(fā)后t小時(shí)相遇，則兩人共同行駛的路程和為(50+70)t=120t；列方程：120t=350→t≈2.9167小時(shí)（即2小時(shí)55分鐘）；相遇時(shí)間：10點(diǎn)+2小時(shí)55分鐘=12點(diǎn)55分。關(guān)鍵提醒：此類問題需明確“時(shí)間差”對應(yīng)的路程，將問題轉(zhuǎn)化為“剩余距離的相遇問題”，避免直接套用同時(shí)出發(fā)的公式。3變式2：環(huán)形跑道上的相遇問題環(huán)形跑道是相遇問題的特殊場景，其特點(diǎn)是“相向而行時(shí)，相遇一次的路程和為跑道周長；同向而行時(shí)，追擊一次的路程差為跑道周長”（注：同向?qū)儆谧窊魡栴}，本課件重點(diǎn)討論相遇，即相向情況）。核心公式：設(shè)環(huán)形跑道周長為C，甲速度v?，乙速度v?（v?>v?），相向而行時(shí)，相遇時(shí)間t滿足：(v?+v?)×t=C（第一次相遇）；若求第n次相遇的時(shí)間，則為t?=n×C÷(v?+v?)。例題3：學(xué)校環(huán)形跑道長400米，小明和小亮從同一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，反向而行。小明速度為6米/秒，小亮速度為4米/秒。兩人第一次相遇需要多久？第3次相遇時(shí)，小明跑了多少米？3變式2：環(huán)形跑道上的相遇問題解析：第一次相遇：路程和=400米，速度和=6+4=10米/秒，時(shí)間t=400÷10=40秒；第3次相遇：總路程和=3×400=1200米，時(shí)間t=1200÷10=120秒；小明跑的距離=6×120=720米。延伸思考：若兩人同向而行（追擊問題），第一次追擊的時(shí)間為400÷(6-4)=200秒，這與相遇問題的公式不同，需注意區(qū)分運(yùn)動方向。03解題工具：線段圖與方程思想的結(jié)合解題工具：線段圖與方程思想的結(jié)合七年級學(xué)生在解決相遇問題時(shí)，最有效的工具是“線段圖”和“方程思想”。前者將抽象的文字轉(zhuǎn)化為直觀的圖形，后者通過數(shù)學(xué)語言建立等量關(guān)系。1線段圖的繪制技巧繪制線段圖時(shí)，需遵循“三定”原則：定起點(diǎn)：標(biāo)注兩地或同地的位置（如A地、B地）；定方向：用箭頭表示相向而行的方向；定時(shí)間點(diǎn)：標(biāo)注出發(fā)時(shí)間、相遇時(shí)間（或時(shí)間差）。以例題2為例，線段圖可繪制如下：A地（8點(diǎn)）———————（甲車先行駛2小時(shí)）———————→相遇點(diǎn)←——————（乙車10點(diǎn)出發(fā)）———————B地（甲車先走100千米）（剩余350千米，兩人共同行駛）通過線段圖，“先行駛的路程”“剩余路程”“共同行駛的時(shí)間”一目了然，避免了文字理解的混亂。2方程思想的應(yīng)用要點(diǎn)列方程的關(guān)鍵是找到“等量關(guān)系”。在相遇問題中，最核心的等量關(guān)系是：甲的路程+乙的路程=總距離（或環(huán)形周長×相遇次數(shù)）具體步驟：設(shè)未知數(shù)（通常設(shè)時(shí)間為t，或直接設(shè)所求量）；用含t的代數(shù)式表示甲、乙的路程；根據(jù)等量關(guān)系列方程；解方程并檢驗(yàn)（如時(shí)間是否為正，速度是否合理）。學(xué)生常見錯(cuò)誤：忘記“不同時(shí)出發(fā)”時(shí)的時(shí)間差，直接設(shè)總時(shí)間為t，導(dǎo)致甲的路程計(jì)算錯(cuò)誤；2方程思想的應(yīng)用要點(diǎn)環(huán)形跑道問題中，誤將第n次相遇的路程和算作n-1倍周長（實(shí)際是n倍，因?yàn)槊看蜗嘤龆夹韬献咭蝗Γ?；單位不統(tǒng)一（如速度用千米/小時(shí)，時(shí)間用分鐘），導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤。應(yīng)對策略：讀題時(shí)用不同符號標(biāo)注關(guān)鍵信息（如“同時(shí)”“先出發(fā)2小時(shí)”“環(huán)形”）；列方程后，代入數(shù)值驗(yàn)證是否符合實(shí)際意義（如時(shí)間不能為負(fù)數(shù)）；養(yǎng)成“先統(tǒng)一單位”的習(xí)慣（如將分鐘轉(zhuǎn)化為小時(shí)，或千米轉(zhuǎn)化為米）。04分層練習(xí)：從基礎(chǔ)到綜合的能力提升分層練習(xí)：從基礎(chǔ)到綜合的能力提升為了鞏固知識，我們設(shè)計(jì)了分層練習(xí)，幫助同學(xué)們從“理解”到“應(yīng)用”再到“創(chuàng)新”逐步提升。1基礎(chǔ)題（鞏固公式）

（答案：40秒，提示：1×t+1.5×t=100）（答案：320千米，提示：相遇時(shí)間t=720÷(80+100)=4小時(shí)，甲路程=80×4）甲乙兩人相距100米，同時(shí)出發(fā)相向而行，甲速度1米/秒，乙速度1.5米/秒。幾秒后相遇？兩列火車從相距720千米的兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行。甲車速度80千米/小時(shí)，乙車速度100千米/小時(shí)。相遇時(shí)，甲車行駛了多少千米？010203042變式題（突破易錯(cuò)點(diǎn)）1甲車從A地出發(fā)，速度60千米/小時(shí)，1小時(shí)后乙車從B地出發(fā)，速度80千米/小時(shí)，相向而行。A、B兩地相距460千米，乙車出發(fā)后幾小時(shí)相遇？2（答案：(460-60×1)÷(60+80)=2.857小時(shí)≈2小時(shí)51分）3環(huán)形跑道長600米，甲乙同時(shí)同地反向而行，甲速度5米/秒，乙速度7米/秒。第5次相遇時(shí)，乙比甲多跑了多少米？4（答案：每次相遇時(shí)間t=600÷(5+7)=50秒，5次總時(shí)間250秒，乙路程=7×250=1750米，甲路程=5×250=1250米，差值500米）3綜合題（跨知識點(diǎn)應(yīng)用）小明從家到學(xué)校，如果步行速度50米/分鐘，會遲到3分鐘；如果騎自行車速度150米/分鐘，會早到5分鐘。求家到學(xué)校的距離。（提示：本題雖非相遇問題，但需用“時(shí)間差”列方程，培養(yǎng)方程思維）（答案：設(shè)正常到校時(shí)間為t分鐘，50(t+3)=150(t-5)→t=9分鐘，距離=50×12=600米）05總結(jié)與升華：相遇問題的“核心思維”總結(jié)與升華：相遇問題的“核心思維”通過今天的學(xué)習(xí)，我們不僅掌握了相遇問題的公式和類型，更重要的是體會到“數(shù)形結(jié)合”“方程建?！钡臄?shù)學(xué)思想。1知識總結(jié)相遇問題的本質(zhì)：路程和=速度和×?xí)r間；關(guān)鍵步驟：畫線段圖分析運(yùn)動過程→設(shè)未知數(shù)→找等量關(guān)系列方程；常見類型：同時(shí)出發(fā)、不同時(shí)出發(fā)、環(huán)形跑道相遇。0102032思維提升數(shù)學(xué)是解決實(shí)際問題的工具，相遇問題背后是對“運(yùn)動過程分析”“變量關(guān)系抽象”的能力培養(yǎng)。正如我常對學(xué)生說：“遇到復(fù)雜問題，先別急著列算式，先畫個(gè)圖，把‘誰先走’‘走了多遠(yuǎn)’‘剩下多少’標(biāo)清楚，答