一、課程背景與目標定位演講人CONTENTS課程背景與目標定位從生活矛盾到數(shù)學模型：不等式建模的必要性分步拆解：不等式建模的完整流程拓展應用：不同場景下的建模變式課堂實踐與思維提升總結與升華目錄2025七年級數(shù)學下冊不等式在資源分配問題中的建模課件01課程背景與目標定位課程背景與目標定位作為一線數(shù)學教師，我在長期教學實踐中發(fā)現(xiàn)，七年級學生已掌握一元一次不等式的基本解法，但對“為何需要不等式”“如何用不等式解決實際問題”的認知仍停留在抽象層面。而資源分配問題作為生活中最常見的數(shù)學應用場景之一（如班級活動物資采購、社區(qū)賑災物資調配、學校功能室使用安排等），恰好能成為連接“數(shù)學知識”與“現(xiàn)實需求”的橋梁。本節(jié)課的核心目標，正是引導學生用不等式這一工具，將“資源有限”與“需求多樣”的矛盾轉化為可計算、可分析的數(shù)學模型，真正體會“數(shù)學來源于生活，服務于生活”的本質。三維目標設定知識目標：理解資源分配問題中“總量限制”“最低需求”“最優(yōu)分配”等關鍵要素與不等式的對應關系；掌握“設定變量—提取約束—建立不等式—驗證解合理性”的建模流程；能準確識別“不超過”“至少”“多于”等表述對應的不等號方向。01情感目標：在解決“班級運動會物資分配”“社區(qū)圖書角書籍分發(fā)”等貼近生活的問題中，感受數(shù)學工具的實用性；在小組合作建模過程中，體會團隊協(xié)作的價值，激發(fā)用數(shù)學思維解決實際問題的興趣。03能力目標：通過分析具體情境，提升從復雜信息中抽象數(shù)學關系的能力；通過多變量約束條件的處理，培養(yǎng)邏輯推理的嚴謹性；通過解的實際意義驗證，增強數(shù)學應用的敏感性。0202從生活矛盾到數(shù)學模型：不等式建模的必要性情境引入：一場“意外”的班級采購上周我?guī)吣昙墸?）班策劃校運動會，班委會計劃用班費120元購買礦泉水和能量棒。班長調查后發(fā)現(xiàn)：礦泉水每瓶2元，能量棒每根5元；全班45人，每人至少需要1瓶水或1根能量棒（不能同時沒有）。采購時，生活委員提出“買30瓶水和15根能量棒”，但計算后發(fā)現(xiàn)總費用是30×2+15×5=135元，超支了。問題來了：如何調整采購方案，既滿足每人至少1份物資，又不超過預算？這個情境的矛盾點很清晰：資源總量（120元）有限，而需求（45份物資）有下限。如果用等式建模（如設買x瓶水，y根能量棒，則2x+5y=120且x+y=45），會發(fā)現(xiàn)方程組無解（解得x=35，y=10，總費用35×2+10×5=120元，但x+y=45，剛好滿足數(shù)量，但實際購買時可能需要考慮其他因素？不，這里等式的解存在，但實際問題中可能存在多個可行解）。但現(xiàn)實中，可能有多種組合滿足“總費用≤120元”且“x+y≥45”（因為每人至少1份，所以總數(shù)量至少45）。這說明：當問題中存在“不超過”“至少”等非嚴格相等的限制時，不等式是更合適的建模工具。不等式與資源分配的本質關聯(lián)資源分配問題的核心矛盾是“有限資源”與“多元需求”的平衡，其數(shù)學表達必然涉及“不等關系”：這些關系無法用等式完全覆蓋，而不等式（組）能精準描述“滿足所有限制條件的可行解集合”，這正是建模的關鍵。避免浪費（如礦泉水不超過40瓶，防止過期）對應“某類資源數(shù)量≤最高上限”。最低需求保障（如每人至少1份物資）對應“總數(shù)量≥需求下限”；資源總量限制（如預算120元）對應“總支出≤資源總量”；質量或效率要求（如能量棒至少買10根保證體力）對應“某類資源數(shù)量≥最低標準”；03分步拆解：不等式建模的完整流程分步拆解：不等式建模的完整流程通過前面的情境，我們已感知到建模的必要性。接下來，我將結合“班級采購問題”，詳細講解“從問題到模型”的五步流程，這是本節(jié)課的核心操作框架。步驟1：明確問題背景，識別關鍵要素拿到一個資源分配問題，首先要像“偵探”一樣梳理信息：資源類型：是資金、物資數(shù)量、時間還是空間？（本例中是資金：120元；物資數(shù)量：礦泉水、能量棒）分配對象：是個人、小組還是區(qū)域？（本例中是45名學生）以表格形式整理信息會更清晰：約束條件：哪些是“必須滿足”的硬限制？（總費用≤120元；x+y≥45；x≥0，y≥0且為整數(shù)）目標指向：是“不超預算”“滿足基本需求”還是“優(yōu)化分配”？（本例中是前兩者）步驟1：明確問題背景，識別關鍵要素|要素|具體內容||--------------|--------------------------------------------------------------------------||資源總量|班費120元||資源類型|礦泉水（單價2元）、能量棒（單價5元）||分配對象|45名學生，每人至少1份（水或能量棒）||隱含限制|購買數(shù)量為非負整數(shù)（x≥0，y≥0，x,y∈N）|步驟2：設定變量，建立數(shù)學表達變量設定是建模的“翻譯過程”，需將現(xiàn)實中的“未知量”轉化為數(shù)學符號。通常選擇“待分配的資源數(shù)量”作為變量：設購買礦泉水x瓶，能量棒y根（x,y為非負整數(shù)）。注意：若問題中存在“總量關系”（如總數(shù)量與總人數(shù)相關），可嘗試用單一變量減少復雜度。例如，因x+y≥45，可設y=45-x+k（k≥0），但七年級學生更適合直接設兩個變量。步驟3：提取不等關系，建立不等式（組）這是最關鍵的一步，需逐句分析約束條件，將自然語言轉化為數(shù)學符號：總費用不超過預算：2x+5y≤120；每人至少1份物資：x+y≥45；數(shù)量非負且為整數(shù)：x≥0，y≥0，x,y∈N（自然數(shù)）。至此，得到不等式組：[\begin{cases}2x+5y\leq120\x+y\geq45\步驟3：提取不等關系，建立不等式（組）01x\geq0,y\geq0\02x,y\in\mathbb{N}03\end{cases}04]步驟4：求解不等式組，確定可行解范圍接下來需要解這個不等式組，找到所有滿足條件的(x,y)組合。對于七年級學生，可采用“消元法”或“枚舉法”：消元法：由x+y≥45得y≥45-x，代入第一個不等式：[2x+5(45-x)\leq120\implies2x+225-5x\leq120\implies-3x\leq-105\impliesx\geq35]同時，y=45-x+k（k≥0），代入總費用不等式得：[步驟4：求解不等式組，確定可行解范圍2x+5(45-x+k)\leq120\implies225-3x+5k\leq120\implies5k\leq3x-105\impliesk\leq\frac{3x-105}{5}]因k≥0且為整數(shù)，故3x-105≥0→x≥35（與之前結論一致）。枚舉法：因x≥35，且2x≤120（當y=0時），故x≤60，但結合x+y≥45，y≥0，x最大為45（當y=0時，x=45，但總費用2×45=90≤120，符合條件）。所以x的可能取值為35≤x≤45（x為整數(shù)），對應y=45-x+k，k需滿足5k≤3x-105：步驟4：求解不等式組，確定可行解范圍當x=35時，y≥10（45-35=10），且5k≤3×35-105=0→k=0，故y=10；當x=36時，y≥9，5k≤3×36-105=3→k=0（k=1時5×1=5>3），故y=9；當x=37時，y≥8，5k≤3×37-105=6→k=0或1（k=1時5≤6），故y=8或9；以此類推，直到x=45時，y≥0，5k≤3×45-105=30→k≤6，故y=0到6。通過枚舉，可得到所有可行解，例如(35,10)費用=35×2+10×5=120元，(40,5)費用=40×2+5×5=105元，(45,0)費用=90元等。步驟5：驗證解的合理性，結合實際調整數(shù)學解需回歸實際問題檢驗：數(shù)量合理性：購買數(shù)量不能為負數(shù)，且應為整數(shù)（如y=10.5根能量棒無意義）；需求滿足度：是否每人至少1份？例如(45,0)是買45瓶水，每人1瓶，滿足；(35,10)是35瓶水+10根能量棒，共45份，每人1份；特殊需求：若學生更需要能量棒（如長跑項目），可優(yōu)先選擇y較大的解（如x=35,y=10）；若預算有剩余，可考慮增加其他物資（如毛巾），但需符合“不超預算”的核心約束。04拓展應用：不同場景下的建模變式拓展應用：不同場景下的建模變式資源分配問題廣泛存在于生活中，其模型結構相似但具體約束不同。通過以下案例，我們可深化對“不等式建模普適性”的理解。案例1：社區(qū)賑災物資運輸（多資源約束）某社區(qū)需將100箱食品和80箱飲用水運往災區(qū)，可用貨車有兩種：A型車每輛可裝食品10箱、飲用水8箱，運費400元；B型車每輛可裝食品6箱、飲用水10箱，運費300元。要求總運費不超過5000元，至少需要多少輛車？建模過程：變量設定：設用A型車x輛，B型車y輛（x,y∈N）；約束條件：食品總量：10x+6y≥100（需至少100箱）；飲用水總量：8x+10y≥80；運費限制：400x+300y≤5000；非負整數(shù)：x≥0,y≥0,x,y∈N；案例1：社區(qū)賑災物資運輸（多資源約束）目標：最小化x+y。通過解不等式組，可找到最優(yōu)解（如x=5,y=5時，總車數(shù)10，運費400×5+300×5=3500≤5000，滿足食品10×5+6×5=80<100，不滿足；x=7,y=5時，食品10×7+6×5=100，飲用水8×7+10×5=56+50=106≥80，運費400×7+300×5=2800+1500=4300≤5000，總車數(shù)12；x=8,y=4時，食品10×8+6×4=104≥100，飲用水8×8+10×4=64+40=104≥80，運費400×8+300×4=3200+1200=4400≤5000，總車數(shù)12；x=6,y=7時，食品10×6+6×7=60+42=102≥100，飲用水8×6+10×7=48+70=118≥80，運費400×6+300×7=2400+2100=4500≤5000，總車數(shù)13。此時最小車數(shù)為12輛）。案例2：學校功能室使用安排（時間資源分配）學校有1間計算機室（可容納50人）和2間實驗室（每間容納30人），需安排七年級3個班（每班40人）上實踐課，每節(jié)課45分鐘，要求同一時間上課的班級不超過功能室總容量。如何安排課程時間，使總課時最少？建模思路：變量設定：設同時使用計算機室的班級數(shù)為a，使用實驗室的班級數(shù)為b（a≤1，b≤2，a,b∈N）；約束條件：50a+30b≥40×n（n為同時上課的班級數(shù)，n=1,2,3）；目標：最小化總課時（總班級數(shù)3÷每課時最大班級數(shù)）。案例2：學校功能室使用安排（時間資源分配）例如，若同時安排1個班在計算機室（50≥40），2個班在實驗室（2×30=60≥80？不，2個班共80人，實驗室每間30人，2間最多60人，不夠。因此需調整：同時安排1個班在計算機室（40人），1個班在實驗室1（30人），另1個班在實驗室2（30人），但實驗室2只能容納30人，而班級有40人，矛盾。因此需分兩課時：第一課時計算機室+實驗室1（40+30=70人，可安排1個班40人在計算機室，1個班30人在實驗室1，剩余10人無法安排），這說明需更精確的模型，考慮“班級必須整班上課”，即每個班級占用的功能室容量≥40人。最終可得：計算機室可容納1個班（50≥40），每間實驗室無法容納1個班（30<40），因此實驗室需2間合并使用（2×30=60≥40），即每課時可安排1個班在計算機室，1個班在合并的實驗室，剩余1個班需下一時課。總課時最少為2節(jié)。05課堂實踐與思維提升基礎練習：文具店促銷活動某文具店促銷：筆記本每本5元，買10本以上（含10本）每本4元；中性筆每支3元，買20支以上（含20支）每支2.5元。七（2）班需購買筆記本x本（x≥10），中性筆y支（y≥20），班費預算200元。求x,y的可能組合。要求：獨立完成建模，列出不等式組并求解3組可行解。提升挑戰(zhàn)：圖書角書籍分配班級圖書角有120本新書，需分給5個小組，每組至少20本，且第一組因人數(shù)多需至少25本。如何分配？提示：設第i組分配x_i本（i=1到5），x?≥25，x_i≥20（i≥2），x?+x?+x?+x?+x?=120，轉化為不等式問題（實際為等式約束，但可通過不等式分析極值，如x?最大為120-4×20=40，最小25；x?到x?最大為(120-25)/4=23.75，即23本，最小20本）。思維拓展：開放問題觀察校園生活，找出一個資源分配問題（如教室投影儀使用、運動器材借用、社團活動教室安排），嘗試用不等式建模，下節(jié)課分享。06總結與升華總結與升華本節(jié)課我們從“班級采購”的實際問題出發(fā)，提煉出不等式建模的五步流程：明確要素—設定變量—提取關系—求解驗證—實際調整，并通過賑災運輸、功能室安排等案例，體會了模型的普適性。不等