一、課程引言：從生活問題到數(shù)學(xué)工具的聯(lián)結(jié)演講人01課程引言：從生活問題到數(shù)學(xué)工具的聯(lián)結(jié)02知識(shí)鋪墊：不等式組與取值范圍的理論基礎(chǔ)03應(yīng)用場(chǎng)景：不等式組在不同問題中的取值范圍求解04進(jìn)階提升：含參數(shù)不等式組的取值范圍求解05總結(jié)與升華：不等式組應(yīng)用的核心思想目錄2025七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)不等式組在取值范圍中的應(yīng)用課件01課程引言：從生活問題到數(shù)學(xué)工具的聯(lián)結(jié)課程引言：從生活問題到數(shù)學(xué)工具的聯(lián)結(jié)作為一線數(shù)學(xué)教師，我常被學(xué)生問：“學(xué)不等式組有什么用？”每當(dāng)這時(shí)，我會(huì)帶他們觀察教室的空調(diào)溫度調(diào)節(jié)——設(shè)定26℃為最適溫度，但實(shí)際運(yùn)行中溫度會(huì)在25℃到27℃之間波動(dòng)，這種“不超過上限、不低于下限”的約束，正是不等式組在生活中的直觀體現(xiàn)。今天，我們就以“不等式組在取值范圍中的應(yīng)用”為核心，從基礎(chǔ)概念出發(fā)，逐步探索如何用數(shù)學(xué)工具解決實(shí)際問題中的范圍限定。02知識(shí)鋪墊：不等式組與取值范圍的理論基礎(chǔ)1不等式組的核心概念回顧在七年級(jí)上冊(cè)，我們已學(xué)習(xí)了一元一次不等式的解法。當(dāng)一個(gè)問題中存在多個(gè)不等約束時(shí)，就需要用“不等式組”來描述。例如：定義：由幾個(gè)含有相同未知數(shù)的一元一次不等式組成的式子，稱為一元一次不等式組（記作：$\begin{cases}a_1x+b_1>c_1\a_2x+b_2<c_2\end{cases}$）。解集：不等式組中所有不等式解集的公共部分，即同時(shí)滿足所有不等式的未知數(shù)取值范圍。關(guān)鍵工具——數(shù)軸法：在數(shù)軸上分別畫出每個(gè)不等式的解集，公共部分即為不等式組的解集。例如，解不等式組$\begin{cases}x-2>0\3x-6<12\end{cases}$時(shí)，第一步解出$x>2$，第二步解出$x<6$，在數(shù)軸上標(biāo)出這兩個(gè)區(qū)間，公共部分$2<x<6$即為解集。2取值范圍的數(shù)學(xué)本質(zhì)“取值范圍”是指變量在問題中允許的所有可能值的集合。它可能由以下兩類條件限定：顯性條件：題目中明確給出的不等關(guān)系（如“不超過5”“至少3”）；隱性條件：?jiǎn)栴}背景隱含的約束（如人數(shù)為正整數(shù)、幾何圖形中邊長(zhǎng)大于0）。例如，用100元買單價(jià)8元的筆記本和12元的筆，設(shè)買$x$本筆記本、$y$支筆，則“總花費(fèi)不超過100元”是顯性條件（$8x+12y\leq100$），而“$x,y$為非負(fù)整數(shù)”是隱性條件。03應(yīng)用場(chǎng)景：不等式組在不同問題中的取值范圍求解1數(shù)字類問題：確定整數(shù)解的范圍典型例題：一個(gè)兩位數(shù)，十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字大2，且這個(gè)兩位數(shù)小于40，求所有可能的兩位數(shù)。分析步驟：設(shè)個(gè)位數(shù)字為$x$，則十位數(shù)字為$x+2$，兩位數(shù)可表示為$10(x+2)+x=11x+20$；顯性條件：兩位數(shù)小于40→$11x+20<40$；隱性條件：個(gè)位數(shù)字$x$為0-9的整數(shù)，十位數(shù)字$x+2$為1-9的整數(shù)（因十位不能為0）→$x+2\geq1$且$x+2\leq9$，即$x\geq-1$（自然滿足）且$x\leq7$；1數(shù)字類問題：確定整數(shù)解的范圍解不等式$11x+20<40$得$x<\frac{20}{11}\approx1.81$，結(jié)合$x$為整數(shù)且$x\leq7$，得$x=0$或$x=1$；驗(yàn)證：當(dāng)$x=0$時(shí)，兩位數(shù)為20；當(dāng)$x=1$時(shí)，兩位數(shù)為31。均滿足條件。學(xué)生常見誤區(qū)：易忽略十位數(shù)字不能為0的隱性條件，導(dǎo)致多解（如$x=-1$時(shí)十位為1，但個(gè)位不能為負(fù)數(shù)）。教學(xué)中可通過“生活常識(shí)”引導(dǎo)：“有沒有十位是0的兩位數(shù)？”幫助學(xué)生理解隱性約束。2實(shí)際生活問題：方案設(shè)計(jì)中的最優(yōu)范圍案例背景：某班級(jí)計(jì)劃用500元購(gòu)買A、B兩種文具獎(jiǎng)勵(lì)學(xué)生，A單價(jià)15元，B單價(jià)25元，要求購(gòu)買總數(shù)不少于25件，且A的數(shù)量不超過B的3倍。求A的可能購(gòu)買數(shù)量范圍。建模過程：設(shè)購(gòu)買A為$x$件，B為$y$件；顯性條件：總花費(fèi)：$15x+25y\leq500$；總數(shù)約束：$x+y\geq25$；數(shù)量關(guān)系：$x\leq3y$；隱性條件：$x,y$為非負(fù)整數(shù)；2實(shí)際生活問題：方案設(shè)計(jì)中的最優(yōu)范圍消元轉(zhuǎn)化：由$x+y\geq25$得$y\geq25-x$，代入$x\leq3y$得$x\leq3(25-x)$，即$x\leq\frac{75}{4}=18.75$，故$x\leq18$（因$x$為整數(shù)）；代入總花費(fèi)：$15x+25(25-x)\leq500$（取$y$最小值使總花費(fèi)最大），化簡(jiǎn)得$-10x+625\leq500$，即$x\geq12.5$，故$x\geq13$；結(jié)論：$x$的取值范圍為13≤x≤18（整數(shù)）。教學(xué)啟示：此類問題需引導(dǎo)學(xué)生“逐步消元”，將多變量問題轉(zhuǎn)化為單變量不等式組，同時(shí)注意“最極端情況”的分析（如$y$取最小值時(shí)總花費(fèi)最大，從而得到$x$的下限）。3幾何問題：圖形存在性的范圍限定經(jīng)典問題：已知三角形三邊為$a,a+1,a+2$，其中$a$為正整數(shù)，求$a$的取值范圍。關(guān)鍵分析：三角形存在的必要條件是“任意兩邊之和大于第三邊”，因此需滿足：$a+(a+1)>a+2$→$a>1$；$a+(a+2)>a+1$→$a>-1$（自然滿足，因$a$為正整數(shù)）；$(a+1)+(a+2)>a$→$a>-3$（同樣自然滿足）；結(jié)合$a$為正整數(shù)，得$a\geq2$。拓展思考：若題目改為“等腰三角形”，則需分情況討論：3幾何問題：圖形存在性的范圍限定1若$a=a+1$，無解；2若$a=a+2$，無解；3若$a+1=a+2$，無解；4因此不存在等腰情況。這說明幾何問題中需結(jié)合圖形特性補(bǔ)充約束。04進(jìn)階提升：含參數(shù)不等式組的取值范圍求解1參數(shù)在不等式中的位置與影響當(dāng)不等式組中含有參數(shù)（如$k$）時(shí)，參數(shù)會(huì)影響解集的范圍。例如，解關(guān)于$x$的不等式組$\begin{cases}2x-1>3\x<k\end{cases}$，其解集為$2<x<k$，此時(shí)$k$的取值直接決定解集是否存在：若$k\leq2$，則無解；若$k>2$，則解集為$(2,k)$。2典型題型：已知解集求參數(shù)范圍例題：若不等式組$\begin{cases}x-a\geq0\5-2x>1\end{cases}$的整數(shù)解有3個(gè)，求$a$的取值范圍。解題步驟：解不等式：$x\geqa$，$x<2$，故解集為$a\leqx<2$；整數(shù)解有3個(gè)，即1,0,-1（因$x<2$，最大整數(shù)為1，依次向下數(shù)3個(gè)）；需滿足$-2<a\leq-1$：若$a=-1$，則解集為$-1\leqx<2$，整數(shù)解為-1,0,1（3個(gè)）；若$a\leq-2$，則整數(shù)解包含-2，變?yōu)?個(gè)，不符合；若$a>-1$，則整數(shù)解為0,1（2個(gè)），也不符合。2典型題型：已知解集求參數(shù)范圍教學(xué)技巧：可通過數(shù)軸動(dòng)態(tài)演示參數(shù)$a$的移動(dòng)對(duì)整數(shù)解數(shù)量的影響，幫助學(xué)生直觀理解“邊界值是否包含”的關(guān)鍵（如$a$能否等于-1）。05總結(jié)與升華：不等式組應(yīng)用的核心思想1知識(shí)脈絡(luò)回顧從“單個(gè)不等式”到“不等式組”，從“解的表示”到“取值范圍的確定”，我們經(jīng)歷了“問題抽象→數(shù)學(xué)建模→求解驗(yàn)證”的完整過程。不等式組的本質(zhì)是多條件約束下的范圍限定，其應(yīng)用覆蓋數(shù)字、生活、幾何等多領(lǐng)域，核心步驟可總結(jié)為：明確變量，識(shí)別所有顯性與隱性約束；列出不等式組，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)表達(dá)式；求解不等式組，確定公共解集；結(jié)合實(shí)際背景（如整數(shù)、正數(shù)）調(diào)整范圍；驗(yàn)證結(jié)果是否滿足所有條件。2數(shù)學(xué)思想的滲透本節(jié)課不僅是知識(shí)的學(xué)習(xí)，更是數(shù)學(xué)建模思想的實(shí)踐——將生活問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)拇鷶?shù)方法求解，再回歸實(shí)際檢驗(yàn)。正如我常對(duì)學(xué)生說的：“數(shù)學(xué)不是紙上的符號(hào)，而是解決問題的工具。當(dāng)你能用不等式組分析空調(diào)溫度的波動(dòng)、計(jì)算文具的最優(yōu)購(gòu)買方案時(shí)，你就真正掌握了數(shù)學(xué)的力量。”3課后延伸建議觀察生活中的“范圍限定”現(xiàn)象（如電梯載重、手機(jī)電量提示