§4數(shù)據(jù)的數(shù)字特征4.1平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差4.2標(biāo)準(zhǔn)差學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會(huì)求樣本的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差(重點(diǎn)).2.理解用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征的方法(難點(diǎn)).3.會(huì)應(yīng)用相關(guān)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的統(tǒng)計(jì)問題(重點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)).預(yù)習(xí)教材P25－31完成下列問題：知識(shí)點(diǎn)1眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)定義(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中重復(fù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù).(2)中位數(shù)：把一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，處在中間位置(或中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù))的數(shù)稱為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).(3)平均數(shù)：如果n個(gè)數(shù)x1，x2，…，xn，那么eq\o(x,\s\up1(－))＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)稱為這n個(gè)數(shù)的平均數(shù).【預(yù)習(xí)評(píng)價(jià)】1.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)有什么優(yōu)缺點(diǎn)？提示(1)眾數(shù)：眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn)，但它對(duì)其他數(shù)據(jù)信息的忽視使得它無法客觀地反映總體特征.(2)中位數(shù)：中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線，它不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響，這在某些情況下是優(yōu)點(diǎn)，但它對(duì)極端值的不敏感有時(shí)也會(huì)成為缺點(diǎn).(3)平均數(shù)：平均數(shù)可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息，但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中的極端值的影響較大，使平均數(shù)在估計(jì)總體時(shí)可靠性降低.2.一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可以有幾個(gè)？中位數(shù)是否也具有相同的結(jié)論？提示一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可能有一個(gè)，也可能有多個(gè)，中位數(shù)只有唯一一個(gè).知識(shí)點(diǎn)2標(biāo)準(zhǔn)差、方差1.標(biāo)準(zhǔn)差(1)平均距離與標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用s表示.假設(shè)樣本數(shù)據(jù)是x1，x2，…，xn，eq\o(x,\s\up1(－))表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù).xi到eq\o(x,\s\up1(－))的距離是|xi－eq\o(x,\s\up1(－))|(i＝1,2，…，n)，則用如下公式來計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差：s＝eq\r(\f(1,n)[x1－\o(x,\s\up1(－))2＋x2－\o(x,\s\up1(－))2＋…＋xn－\o(x,\s\up1(－))2].)(2)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差的步驟①求樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)eq\o(x,\s\up1(－))；②求每個(gè)樣本數(shù)據(jù)與樣本平均數(shù)的差xi－eq\o(x,\s\up1(－))(i＝1，2，…，n)；③求(xi－eq\o(x,\s\up1(－)))2(i＝1,2，…，n)；④求s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\o(x,\s\up1(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up1(－)))2＋…＋(xn－eq\o(x,\s\up1(－)))2]；⑤求s＝eq\r(s2)，即為標(biāo)準(zhǔn)差.2.方差標(biāo)準(zhǔn)差的平方s2叫作方差.s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\o(x,\s\up1(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up1(－)))2＋…＋(xn－eq\o(x,\s\up1(－)))2]，其中，xi(i＝1,2，…，n)是樣本數(shù)據(jù)，n是樣本容量，eq\o(x,\s\up1(－))是樣本平均數(shù).【預(yù)習(xí)評(píng)價(jià)】如何理解方差與標(biāo)準(zhǔn)差概念？提示(1)標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小.標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小.(2)標(biāo)準(zhǔn)差、方差的取值范圍：[0，＋∞).標(biāo)準(zhǔn)差、方差為0時(shí)，樣本各數(shù)據(jù)全相等，表明數(shù)據(jù)沒有波動(dòng)幅度，數(shù)據(jù)沒有離散性.(3)因?yàn)榉讲钆c原始數(shù)據(jù)的單位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以雖然方差與標(biāo)準(zhǔn)差在刻畫樣本數(shù)據(jù)的分散程度上是一樣的，但在解決實(shí)際問題時(shí)，一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差.題型一眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的簡(jiǎn)單運(yùn)用【例1】某公司的33名職工的月工資(以元為單位)如下表：職務(wù)董事長(zhǎng)副董事長(zhǎng)董事總經(jīng)理經(jīng)理管理員職員人數(shù)11215320工資5500500035003000250020001500(1)求該公司職工月工資的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)；(2)假設(shè)副董事長(zhǎng)的工資從5000元提升到20000元，董事長(zhǎng)的工資從5500元提升到30000元，那么新的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)又是多少？(精確到元)(3)你認(rèn)為哪個(gè)統(tǒng)計(jì)量更能反映這個(gè)公司員工的工資水平？結(jié)合此問題談一談你的看法.解(1)平均數(shù)是：eq\o(x,\s\up1(－))＝1500＋eq\f(4000＋3500＋2000×2＋1500＋1000×5＋500×3＋0×20,33)≈1500＋591＝2091(元)，中位數(shù)是1500元，眾數(shù)是1500元.(2)新的平均數(shù)是eq\o(x′,\s\up5(－))＝1500＋eq\f(28500＋18500＋2000×2＋1500＋1000×5＋500×3＋0×20,33)≈1500＋1788＝3288(元)，新的中位數(shù)是：1500元，新的眾數(shù)是1500元.(3)在這個(gè)問題中，中位數(shù)或眾數(shù)均能反映該公司員工的工資水平，因?yàn)楣局猩贁?shù)人的工資額與大多數(shù)人的工資額差別較大，這樣導(dǎo)致平均數(shù)與中位數(shù)偏差較大，所以平均數(shù)不能反映這個(gè)公司員工的工資水平.【例2】為了解A，B兩種輪胎的性能，某汽車制造廠分別從這兩種輪胎中隨機(jī)抽取了8個(gè)進(jìn)行測(cè)試，下面列出了每一個(gè)輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程數(shù)(單位：1000km)輪胎A96,112,97,108,100,103,86,98輪胎B108,101,94,105,96,93,97,106(1)分別計(jì)算A，B兩種輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的平均數(shù)、中位數(shù)；(2)分別計(jì)算A，B兩種輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的極差、標(biāo)準(zhǔn)差；(3)根據(jù)以上數(shù)據(jù)你認(rèn)為哪種型號(hào)的輪胎性能更加穩(wěn)定？解(1)A輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的平均數(shù)為：eq\f(96＋112＋97＋108＋100＋103＋86＋98,8)＝100，中位數(shù)為：eq\f(100＋98,2)＝99；B輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的平均數(shù)為：eq\f(108＋101＋94＋105＋96＋93＋97＋106,8)＝100，中位數(shù)為：eq\f(101＋97,2)＝99.(2)A輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的極差為：112－86＝26，標(biāo)準(zhǔn)差為s＝eq\r(\f(－42＋122＋－32＋82＋0＋32＋－142＋－22,8))＝eq\f(\r(221),2)≈7.43.B輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的極差為：108－93＝15，標(biāo)準(zhǔn)差為：s＝eq\r(\f(82＋12＋－62＋52＋－42＋－72＋－32＋62,8))＝eq\f(\r(118),2)≈5.43.(3)由于A和B的最遠(yuǎn)行駛里程的平均數(shù)相同，而B輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的極差和標(biāo)準(zhǔn)差較小，所以B輪胎性能更加穩(wěn)定.【遷移1】(變換條件)在本例中，輪胎A的數(shù)據(jù)全都加5，那么所得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)及標(biāo)準(zhǔn)差分別是多少？解新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：eq\f(96＋112＋97＋108＋100＋103＋86＋98＋8×5,8)＝105，標(biāo)準(zhǔn)差為：s＝eq\r(\f(－42＋122＋－32＋82＋0＋32＋142＋－22,8))＝eq\f(\r(221),2)≈7.43.【遷移2】(變換條件，變問法)由正整數(shù)組成的一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，其平均數(shù)和中位數(shù)都是2，且標(biāo)準(zhǔn)差等于1，則這組數(shù)據(jù)為________(從小到大排列).解析設(shè)四個(gè)數(shù)從小到大分別是x1，x2，x3，x4，根據(jù)已知可以得到方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2＋x3,2)＝2，,\f(x1＋x2＋x3＋x4,4)＝2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x3＝4，,x1＋x2＋x3＋x4＝8，,x\o\al(2,1)＋x\o\al(2,2)＋x\o\al(2,3)＋x\o\al(2,4)＝20.))又因?yàn)樗膫€(gè)數(shù)都是正整數(shù)，根據(jù)第一個(gè)式子知x2＝1，x3＝3或x2＝2，x3＝2，故x1＝1，x4＝3或x1＝2，x4＝2.代入第三個(gè)式子，易知只有x1＝1，x2＝1，x3＝3，x4＝3滿足條件，所以四個(gè)數(shù)分別是1,1,3,3.答案1,1,3,3【遷移3】(變條件，變問法)對(duì)甲、乙兩名自行車賽手在相同條件下進(jìn)行了6次測(cè)試，測(cè)得他們的最大速度(m/s)的數(shù)據(jù)如下表：甲273830373531乙332938342836(1)畫出莖葉圖，由莖葉圖你能獲得哪些信息？(2)分別求出甲、乙兩名自行車賽手最大速度(m/s)數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差，并判斷選誰參加比賽更合適.解(1)莖葉圖如下：從這個(gè)莖葉圖上可以看出，甲、乙的成績(jī)分布是均勻的，只是乙更好一些；乙的中位數(shù)是33.5，甲的中位數(shù)是33.因此乙發(fā)揮比較穩(wěn)定，總體得分情況比甲好.(2)eq\o(x,\s\up1(－))甲＝eq\f(27＋38＋30＋37＋35＋31,6)＝33，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(－62＋52＋－32＋42＋22＋－22,6)＝eq\f(47,3)，s甲≈3.96，eq\o(x,\s\up1(－))乙＝eq\f(33＋29＋38＋34＋28＋36,6)＝33，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(0＋－42＋52＋12＋－52＋32,6)＝eq\f(38,3)，s乙≈3.56.甲的中位數(shù)是33，乙的中位數(shù)是33.5.綜合比較，選乙參加比賽較為合適.規(guī)律方法1.方差、標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算的步驟(1)算出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)eq\o(x,\s\up1(－))；(2)算出每個(gè)樣本數(shù)據(jù)與樣本平均數(shù)的差xi－eq\o(x,\s\up1(－))(i＝1,2,3，…，n)；(3)算出(xi－eq\o(x,\s\up1(－)))2(i＝1,2，…，n)，求出這n個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即為樣本方差s2；(4)算出方差的算術(shù)平方根，即為樣本標(biāo)準(zhǔn)差s.2.平均數(shù)、方差的性質(zhì)及計(jì)算方法(1)性質(zhì)①若x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)是eq\o(x,\s\up1(－))，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)是meq\o(x,\s\up1(－))＋a.②數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn與數(shù)據(jù)x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差相等.③若x1，x2，…，xn的方差為s2，那么ax1，ax2，…，axn的方差為a2s2.(2)方差的計(jì)算①基本公式s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\o(x,\s\up1(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up1(－)))2＋…＋(xn－eq\o(x,\s\up1(－)))2].②簡(jiǎn)化計(jì)算公式：s2＝eq\f(1,n)[(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－neq\o(x,\s\up1(－))2]，或?qū)懗蓅2＝eq\f(1,n)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－eq\o(x,\s\up1(－))2，即方差等于原數(shù)據(jù)平方的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方.特別提醒：在實(shí)際問題中，僅靠平均數(shù)不能完全反映問題，還要研究其偏離平均值的離散程度(即方差或標(biāo)準(zhǔn)差)，根據(jù)具體問題，有時(shí)還要考慮中位數(shù)和眾數(shù).課堂達(dá)標(biāo)1.下列選項(xiàng)中，能反映一組數(shù)據(jù)的離散程度的是()A.平均數(shù) B.中位數(shù)C.方差 D.眾數(shù)解析由方差的定義，知方差反映了一組數(shù)據(jù)的離散程度.答案C2.一組樣本數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為13,14,19，x,23,27,28,31，其中位數(shù)為22，則x等于()A.21 B.22C.20 D.23解析根據(jù)題意知，中位數(shù)22＝eq\f(x＋23,2)，則x＝21.答案A3.一次選拔運(yùn)動(dòng)員的測(cè)試中，測(cè)得7名選手中的身高(單位：cm)分布的莖葉圖如圖所示.記錄的平均身高為177cm，有一名候選人的身高記錄不清楚，其末位數(shù)記為x，則x等于________.解析由題意知，10＋11＋0＋3＋x＋8＋9＝7×7，解得x＝8.答案84.某學(xué)員在一次射擊測(cè)試中射靶10次，命中環(huán)數(shù)如下：7,8，7,9,5,4,9,10,7,4則：(1)平均命中環(huán)數(shù)為________；(2)命中環(huán)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為________.解析(1)eq\o(x,\s\up1(－))＝eq\f(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4,10)＝7.(2)∵s2＝eq\f(1,10)[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，∴s＝2.答案(1)7(2)25.對(duì)甲、乙的學(xué)習(xí)成績(jī)進(jìn)行抽樣分析，各抽5門功課，得到的觀測(cè)值如下：甲6080709070乙8060708075問：甲、乙誰的平均成績(jī)好？誰的各門功課發(fā)展較平衡？解甲的平均成績(jī)?yōu)閑q\o(x,\s\up1(－))甲＝74，乙的平均成績(jī)?yōu)閑q\o(x,\s\up1(－))乙＝73，所以甲的平均成績(jī)好；甲的方差是seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)(142＋62＋42＋162＋42)＝104，乙的方差是seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)(72＋132＋32＋72＋22)＝56，由于seq\o\al(2,甲)>seq\o\al(2,乙)，所以乙的各門功課發(fā)展較平衡.課堂小結(jié)1.一組數(shù)據(jù)中的眾數(shù)可能不止一個(gè)，中位數(shù)是唯一的，求中位數(shù)時(shí)，必須先排序.2.標(biāo)準(zhǔn)差的平方s2稱為方差，有時(shí)用方差代替標(biāo)準(zhǔn)差測(cè)量樣本數(shù)據(jù)的離散程度.方差與標(biāo)準(zhǔn)差的測(cè)量效果是一致的，在實(shí)際應(yīng)用中一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差.基礎(chǔ)過關(guān)1.某學(xué)習(xí)小組在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各有1人，則該小組成績(jī)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)分別是()A.85,85,85 B.87,85,86C.87,85,85 D.87,85,90解析從小到大列出所有數(shù)學(xué)成績(jī)：75,80,85,85,85,85,90,90,95,100，觀察知眾數(shù)和中位數(shù)均為85，計(jì)算得平均數(shù)為87.答案C2.某臺(tái)機(jī)床加工的1000只產(chǎn)品中次品數(shù)的頻率分布如下表：次品數(shù)01234頻率0.50.20.050.20.05則次品數(shù)的眾數(shù)、平均數(shù)依次為()A.0,1.1 B.0,1C.4,1 D.0.5,2解析數(shù)據(jù)xi出現(xiàn)的頻率為pi(i＝1,2，…，n)，則x1，x2，…，xn的平均數(shù)為x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.因此次品數(shù)的平均數(shù)為0×0.5＋1×0.2＋2×0.05＋3×0.2＋4×0.05＝1.1.由頻率知，次品數(shù)的眾數(shù)為0.答案A3.在某次測(cè)量中得到的A樣本數(shù)據(jù)如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B樣本數(shù)據(jù)恰好是A樣本數(shù)據(jù)每個(gè)都加2后所得數(shù)據(jù).則A，B兩樣本的下列數(shù)字特征對(duì)應(yīng)相同的是()A.眾數(shù) B.平均數(shù)C.中位數(shù) D.標(biāo)準(zhǔn)差解析只有標(biāo)準(zhǔn)差不變，其中眾數(shù)、平均數(shù)和中位數(shù)都加2.答案D4.已知樣本9,10,11，x，y的平均數(shù)是10，方差是4，則xy＝________.解析由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9＋10＋11＋x＋y＝5×10，,\f(1,5)[9－102＋10－102＋11－102＋x－102＋y－102]＝4，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝20，,x－102＋y－102＝18.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝7，,y＝13))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝13，,y＝7，))所以xy＝91.答案915.甲、乙兩人在10天中每天加工零件的個(gè)數(shù)用莖葉圖表示如圖，中間一列的數(shù)字表示零件個(gè)數(shù)的十位數(shù)，兩邊的數(shù)字表示零件個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)，則這10天中甲、乙兩人日加工零件的平均數(shù)分別為________和________.解析由莖葉圖可知，甲的平均數(shù)為eq\f(9＋8＋20＋1＋3＋2＋100＋1＋1＋5＋90,10)＝24，乙的平均數(shù)為eq\f(9＋7＋1＋30＋1＋4＋2＋4＋80＋2＋90,10)＝23.答案24236.甲、乙兩機(jī)床同時(shí)加工直徑為100cm的零件，為檢驗(yàn)質(zhì)量，各從中抽取6件測(cè)量，數(shù)據(jù)為甲：9910098100100103乙：9910010299100100(1)分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差；(2)根據(jù)計(jì)算結(jié)果判斷哪臺(tái)機(jī)床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定.解(1)eq\o(x,\s\up1(－))甲＝eq\f(1,6)(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，eq\o(x,\s\up1(－))乙＝eq\f(1,6)(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,6)[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝eq\f(7,3)，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,6)[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.(2)兩臺(tái)機(jī)床所加工零件的直徑的平均值相同，又seq\o\al(2,甲)＞seq\o\al(2,乙)，所以乙機(jī)床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定.7.在一次科技知識(shí)競(jìng)賽中，兩組學(xué)生的成績(jī)?nèi)缦卤恚悍謹(jǐn)?shù)5060708090100人數(shù)甲組251013146乙組441621212已經(jīng)算得兩個(gè)組的平均分都是80分.請(qǐng)根據(jù)你所學(xué)過的統(tǒng)計(jì)知識(shí)，進(jìn)一步判斷這兩個(gè)組在這次競(jìng)賽中的成績(jī)誰優(yōu)誰劣，并說明理由.解(1)甲組成績(jī)的眾數(shù)為90，乙組成績(jī)的眾數(shù)為70，從成績(jī)的眾數(shù)比較看，甲組成績(jī)好些.(2)seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,2＋5＋10＋13＋14＋6)[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,4＋4＋16＋2＋12＋12)[4×(50－80)2＋4×(60－80)2＋16×(70－80)2＋2×(80－80)2＋12×(90－80)2＋12×(100－80)2]＝256.∵seq\o\al(2,甲)<seq\o\al(2,乙)，∴甲組成績(jī)較乙組成績(jī)穩(wěn)定，故甲組好些.(3)甲、乙兩組成績(jī)的中位數(shù)、平均數(shù)都是80分.其中，甲組成績(jī)?cè)?0分以上(包括80分)的有33人，乙組成績(jī)?cè)?0分以上(包括80分)的有26人.從這一角度看，甲組的成績(jī)較好.(4)從成績(jī)統(tǒng)計(jì)表看，甲組成績(jī)大于等于90分的有20人，乙組成績(jī)大于等于90分的有24人，所以乙組成績(jī)集中在高分段的人數(shù)多.同時(shí)，乙組得滿分的人數(shù)比甲組得滿分的人數(shù)多6人.從這一角度看，乙組的成績(jī)較好.能力提升8.甲、乙兩名同學(xué)在5次體育測(cè)試中的成績(jī)統(tǒng)計(jì)的莖葉圖如圖所示.若甲、乙兩人的平均成績(jī)分別是eq\o(x,\s\up1(－))甲，eq\o(x,\s\up1(－))乙，則下列結(jié)論正確的是()A.eq\o(x,\s\up1(－))甲＜eq\o(x,\s\up1(－))乙；乙比甲成績(jī)穩(wěn)定B.eq\o(x,\s\up1(－))甲＞eq\o(x,\s\up1(－))乙；甲比乙成績(jī)穩(wěn)定C.eq\o(x,\s\up1(－))甲＞eq\o(x,\s\up1(－))乙；乙比甲成績(jī)穩(wěn)定D.eq\o(x,\s\up1(－))甲＜eq\o(x,\s\up1(－))乙；甲比乙成績(jī)穩(wěn)定解析甲同學(xué)的成績(jī)?yōu)?8,77,72,86,92，乙同學(xué)的成績(jī)?yōu)?8,82,88,91,95，所以eq\o(x,\s\up1(－))甲＝eq\f(1,5)×(78＋77＋72＋86＋92)＝81，eq\o(x,\s\up1(－))乙＝eq\f(1,5)×(78＋82＋88＋91＋95)＝86.8.所以eq\o(x,\s\up1(－))甲＜eq\o(x,\s\up1(－))乙，從葉在莖上的分布情況來看，乙同學(xué)的成績(jī)更集中于平均值附近，這說明乙比甲成績(jī)穩(wěn)定.答案A9.如圖，樣本A和B分別取自兩個(gè)不同的總體，它們的樣本平均數(shù)分別為eq\o(x,\s\up1(－))A和eq\o(x,\s\up1(－))B，樣本標(biāo)準(zhǔn)差分別為sA和sB，則()A.eq\o(x,\s\up1(－))A＞eq\o(x,\s\up1(－))B，sA＞sBB.eqB.\o(x,\s\up1(－))A＜eq\o(x,\s\up1(－))B，sA＞sBC.eq\o(x,\s\up1(－))A＞eq\o(x,\s\up1(－))B，sA＜sBD.eqD.\o(x,\s\up1(－))A＜eq\o(x,\s\up1(－))B，sA＜sB解析由題圖知，A組的6個(gè)數(shù)分別為2.5,10,5,7.5，2.5，10；B組的6個(gè)數(shù)分別為15,10,12.5,10,12.5,10，所以eq\o(x,\s\up1(－))A＝eq\f(2.5＋10＋5＋7.5＋2.5＋10,6)＝eq\f(25,4)，eq\o(x,\s\up1(－))B＝eq\f(15＋10＋12.5＋10＋12.5＋10,6)＝eq\f(35,3).顯然eq\o(x,\s\up1(－))A＜eq\o(x,\s\up1(－))B.又由圖形可知，B組數(shù)據(jù)的分布比A組的均勻，變化幅度不大，故B組數(shù)據(jù)比較穩(wěn)定，方差較小，從而標(biāo)準(zhǔn)差較小，所以sA＞sB.答案B10.若40個(gè)數(shù)據(jù)的平方和是56，平均數(shù)是eq\f(\r(2),2)，則這組數(shù)據(jù)的方差是________，標(biāo)準(zhǔn)差是________.解析設(shè)這40個(gè)數(shù)據(jù)為xi(i＝1,2，…，40)，平均數(shù)為eq\o(x,\s\up1(－)).則s2＝eq\f(1,40)×[(x1－eq\o(x,\s\up1(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up1(－)))2＋…＋(x40－eq\o(x,\s\up1(－)))2]＝eq\f(1,40)[xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,40)＋40eq\o(x,\s\up1(－))2－2eq\o(x,\s\up1(－))(x1＋x2＋…＋x40)]＝eq\f(1,40)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(56＋40×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2－2×\f(\r(2),2)×40×\f(\r(2),2)))＝eq\f(1,40)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(56－40×\f(1,2)))＝0.9.∴s＝eq\r(0.9)＝eq\r(\f(9,10))＝eq\f(3\r(10),10).答案0.9eq\f(3\r(10),10)11.為了考察某校各班參加課外書法小組的人數(shù)，從全校隨機(jī)抽取5個(gè)班級(jí)，把每個(gè)班級(jí)參加該小組的人數(shù)作為樣本數(shù)據(jù)，已知樣本平均數(shù)為7，樣本方差為4，且樣本數(shù)據(jù)互不相同，則樣本數(shù)據(jù)中的最大值為_________.解析設(shè)樣本數(shù)據(jù)為：x1，x2，x3，x4，x5，平均數(shù)eq\o(x,\s\up1(－))＝(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)÷5＝7；方差s2＝[(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＋(x5－7)2]÷5＝4.從而有x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝35，①(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＋(x5－7)2