重慶一中高屆高二上期半期考試數(shù)學(xué)試題卷注意事項：答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫在答題卡上.作答時，務(wù)必將答案寫在答題卡上寫在本試卷及草稿紙上無效.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、單項選擇題本題共8小題，每小題5分，共分.1.方程表示的曲線為（）A.線段B.橢圓C.雙曲線D.不表示任何圖形【答案】B【解析】【分析】表示點到點，的距離之和為，結(jié)合橢圓的定義即可進行判斷.【詳解】表示點到點，的距離之和為，即，所以方程表示的曲線為橢圓.故選：B.2.雙曲線的焦點到它的漸近線的距離為（）A.1B.2C.D.3【答案】C【解析】【分析】求出雙曲線的焦點坐標(biāo)及漸近線方程，再利用點到直線的距離公式求解.【詳解】由對稱性，不妨取雙曲線的右焦點，漸近線方程為，第1頁/共21頁所以所求距離為.故選：C3.已知曲線在點處的切線與直線垂直，則的值為（）A.3B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解．【詳解】，又因為曲線在點處的切線與直線垂直，所以切線斜率，解得．故選：D．4.已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則當(dāng)取得最小值時，（）A.4B.5C.6D.7【答案】C【解析】【分析】先利用與等差數(shù)列前項和公式分析項的符號，再利用分析項的符號，最后判斷的最小值即可.【詳解】由等差數(shù)列前項和公式得：，因為，所以，即，因為，所以，又因為，可得，即，由，可知數(shù)列前6項為負(fù)，第7項開始為正，第2頁/共21頁因此當(dāng)取得最小值時，.故選：C.5.已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，則（）A.B.C.2D.4【答案】A【解析】【分析】利用等差數(shù)列定義，結(jié)合對數(shù)運算求出等比數(shù)列的公比，進而求得答案.【詳解】由數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，得，則，因此數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，所以.故選：A6.已知橢圓的左頂點為A，點P，Q均在C上且關(guān)于y軸對稱.若直線AP，AQ的斜率之積為，則橢圓C的離心率為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)出點坐標(biāo)，利用斜率坐標(biāo)公式，結(jié)合橢圓方程列式求出，進而求出離心率.【詳解】橢圓的左頂點，設(shè)點，則，且，由直線AP，AQ的斜率之積為，得，第3頁/共21頁故選：A7.已知橢圓的兩個焦點為，，過原點的直線與該橢圓交于，兩點，若，的面積為，則的周長為（）A.12B.C.D.6【答案】B【解析】【分析】由題意可得，則可得，再利用三角形面積公式與勾股定理計算即可得解.【詳解】，又，故，則，故，即，且有，故，即，故的周長為.故選：B.8.數(shù)列滿足，數(shù)的最大值為（）A.4B.6C.8D.10【答案】D【解析】第4頁/共21頁用裂項相消法計算可得，最后解出不等式即可得.【詳解】由，則，即，又，故數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，故，故；則，則，令，解得，故正整數(shù)的最大值為.故選：D.二、多項選擇題本題共3小題，每小題6分，共分.9.已知直線，圓，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線和圓總有公共點B.直線被圓截得的最短弦長為C.若圓與圓有且只有一條公切線，則實數(shù)D.當(dāng)時，圓上恰有兩個點到直線的距離等于1【答案】ABD【解析】【分析】將直線方程變形，求出直線經(jīng)過的定點，然后利用定點在圓的內(nèi)部可判斷A；根據(jù)過定點的直線與圓相交時最小弦長計算方法計算可判斷BC圓的位置關(guān)系，利用點到直線的距離公式進行計算可判斷D.【詳解】對于A，直線的方程為，第5頁/共21頁變形可得，令，解得，所以直線恒過定點，因為，所以定點在圓內(nèi)部，則直線和圓總有公共點，故A正確；對于B，因為直線過定點，且點在圓內(nèi)，則經(jīng)過，兩點的直線與直線垂直時，直線被圓截得的弦長最小，此時圓心到直線的距離為，所以最小弦長為，故B正確；對于C，圓的方程，即，其圓心為，半徑為，需滿足，若圓與圓有且只有一條公切線，則兩圓內(nèi)切，則有，解得，故C錯誤；對于D，圓，其圓心為，半徑為，當(dāng)時，直線的方程為，圓心到直線的距離為，依題意需滿足.因為，，，滿足，故圓上恰有兩個點到直線的距離等于1.故D正確.故選：ABD.10.已知直線與拋物線相交于，兩點，的焦點為，為坐標(biāo)原點，則下列結(jié)論正確的是（）A.若直線過焦點，則為鈍角B.若，則直線的斜率為第6頁/共21頁C.若，則直線過定點D.若的外接圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，則該圓的半徑為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)條件寫出，，選項A,證明，可得B,由的斜率；選項C,先設(shè)直線方程為，因為得到，代入直線方程得到恒過定點D,根據(jù)條件設(shè)圓心為拋物線的準(zhǔn)線相切，所以有圓心到準(zhǔn)線的距離等于半徑.【詳解】由題可知，設(shè)，直線過焦點，則設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程得到，即則所以，所以為鈍角，選項A正確；直線的斜率為因為即得或者，所以，選項B錯誤；第7頁/共21頁設(shè)直線方程為直線方程得到，所以直線恒過定點，選項C正確；的頂點為，其外接圓的圓心在的垂直平分線上，設(shè)圓心為，半徑為，因為外接圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，所以有圓心到準(zhǔn)線的距離等于半徑，選項D正確；故選：ACD將數(shù)列所有項排成如下數(shù)陣：從第二行開始每一行比上一行多兩項，且從左到右均構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列，第一列數(shù)，，，，成等差數(shù)列，若，，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.位于第45行第89列D.4048在數(shù)陣中出現(xiàn)1次【答案】AB【解析】【分析】先分析數(shù)陣的行列項數(shù)規(guī)律，利用第一列的等差數(shù)列求出首項；再計算前9項和驗證選項B；通過項數(shù)范圍確定的位置；最后分解4048的形式判斷其出現(xiàn)次數(shù).【詳解】首先分析數(shù)陣結(jié)構(gòu)：第行有項，前行項數(shù)和為，故第行第1列的項為.第一列成等差數(shù)列，記為，其中.第8頁/共21頁選項A，已知，，等差數(shù)列公差，故，A正確.選項B，前9項對應(yīng)前3行（項數(shù)和1行：；第2行（等比數(shù)列，公比2，和為；第3行（等比數(shù)列，公比2，首項，和為.前9項和為，B正確.選項C，前44行項數(shù)和為，第45行有項，對應(yīng)項數(shù)到，故位于第45行第88列，C錯誤.選項D，當(dāng)時，，當(dāng)時，數(shù)陣中第行第列的項為.令：當(dāng)時，，得，，符合條件；當(dāng)時，，得，，符合條件.故4048至少出現(xiàn)2次，D錯誤.故選：AB三、填空題本題共3小題，每小題5分，共分.12.已知等比數(shù)列的前n項和為，若，，則______．【答案】14【解析】【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)得：，，成等比數(shù)列，即2，4，成等比數(shù)列，由此能求出．第9頁/共21頁【詳解】等比數(shù)列的前n項和為，，，由等比數(shù)列的性質(zhì)得：，，成等比數(shù)列，，4，成等比數(shù)列，，解得．故答案為14．，，也成等比數(shù)列．13.若直線與曲線相切，則________.【答案】【解析】【分析】對進行求導(dǎo)得，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義和切點同時在直線和曲線上列方程，即可求出答案.【詳解】由得，設(shè)直線與曲線相切于點，則，解得，所以.故答案為：.14.雙曲線（，上存在點P，使得的中點在C的漸近線上，則雙曲線C的離心率的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】設(shè)圓上的一點，得到中點坐標(biāo)為，代入雙曲線的漸近線方程，得到，根據(jù)直線與圓存在公共點，結(jié)合，求得，進而求得離心率的取值范圍.第10頁/共21頁【詳解】由雙曲線的右焦點為，則，又由圓的圓心為，半徑為，設(shè)圓上的一點，可得的中點坐標(biāo)為，因為雙曲線的漸近線方程為，可得，即，又因為直線與圓存在公共點，則圓心到直線的距離，即，可得，所以，解得，所以雙曲線的離心率的取值范圍為.故答案為：.四、解答題本題共5小題，共分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖為正四棱錐，O為底面ABCD的中心，，.（1）求點B到平面PCD的距離；第11頁/共21頁（2）若E為PB的中點，求直線DE與平面PBC所成角的正弦值.【答案】（1）（2）【解析】1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面PCD的法向量，然后利用點面距的向量公式求解即可；（2）先求出平面PBC的法向量，然后利用線面角的向量公式求解即可.【小問1詳解】以為坐標(biāo)原點，、、方向為、、軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.由，，得，故，，，，，，，設(shè)平面PCD的一個法向量為，則，取，可得平面PCD的一個法向量為，又，所以點B到平面PCD的距離為；【小問2詳解】由E為PB的中點，得.，，，設(shè)平面PBC的一個法向量為，則，第12頁/共21頁取，可得平面PBC一個法向量為.設(shè)直線DE與平面PBC所成角為，則，故直線DE與平面PBC所成角的正弦值為.16.已知拋物線（）過點，其焦點為，若.（1）求的值以及拋物線的方程；（2）過點斜率為的直線交拋物線于，兩點，求面積的取值范圍.【答案】（1）的值為，拋物線的方程為（2）【解析】1）根據(jù)題意結(jié)合拋物線的方程和定義列式求，即可得結(jié)果；（2）設(shè)直線，，聯(lián)立方程可得韋達定理，進而可求和面積，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求值域即可.【小問1詳解】由題意可知：拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，則，且點在拋物線（）上，則，即，聯(lián)立方程，解得，即，所以的值為，拋物線的方程為.【小問2詳解】第13頁/共21頁由題意可設(shè)：直線，，，且，聯(lián)立方程，消去x可得，則，可得，，則，又因為點到直線的距離，則面積，構(gòu)造函數(shù)，顯然在內(nèi)單調(diào)遞增，且，，可知在內(nèi)的值域為，所以面積的取值范圍為.17.已知數(shù)列滿足，.（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，記數(shù)列的前項和為.第14頁/共21頁（i）求；（ii）若，，求的取值范圍.【答案】（1）證明見解析，；（2i）ii）.【解析】1左右同除即可得的通項公式；（2i）借助錯位相減法計算即可得ii）由題意可得，構(gòu)造數(shù)列，借助作商法可得數(shù)列單調(diào)性，即可求出數(shù)列的最大值，即可得解.【小問1詳解】由，則，即有，又，故數(shù)列為以為首項，為公差的等差數(shù)列，則，故；【小問2詳解】（i），則，，則第15頁/共21頁則；（ii），即，整理得，令，令，解得，又，故，則數(shù)列在時，單調(diào)遞增，在時，單調(diào)遞減，又，故的最大值為，故.18.若一個數(shù)列滿足是公比為是公比為的二級等比數(shù)列.如數(shù)列：1，3，7，15，31，，此數(shù)列是公比為2的二級等比數(shù)列.已知數(shù)列中，，.（1為數(shù)列的前.求數(shù)列是否為二級等比數(shù)列，請說明理由；（2是公比為3，？若存在，求出，；不存在，請說明理由.【答案】（1），且數(shù)列是公比為二級等比數(shù)列.（2）存在，.【解析】1）根據(jù)題意，求得，得到，進而求得，化簡得到第16頁/共21頁，得到數(shù)列為等比數(shù)列，求得其通項公式，得到是公比為二級等比數(shù)列.（2）設(shè)，得到，根據(jù)題意，求得，得到，利用累加法，求得，得到，由，得到，求得，得到，進而得到答案.【小問1詳解】解：由為數(shù)列的前項的和，滿足，且，，當(dāng)時，可得；當(dāng)時，可得，解得，所以，當(dāng)時，由，可得，兩式相減，可得，即，所以，又，故，又由，則，符合上式，所以數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列，所以，所以，設(shè)，可得，即，所以數(shù)列是首項為，公比為2的等比數(shù)列，即數(shù)列是公比為的二級等比數(shù)列.【小問2詳解】第17頁/共21頁設(shè)，則，因，可得，則，解得，所以，所以當(dāng)，，所以當(dāng)時，，又，也滿足該式，所以，故，因為，即，又因為，所以，即，所以，代入可得，即，即，解不等式，可得，因為函數(shù)為增函數(shù)，經(jīng)計算，滿足該不等式，而，均不滿足，故，所以，此時，即存在，使得成立.19.已知雙曲線（，.按照如下方式依次構(gòu)造點作斜率為（為常數(shù)且的下支交于點為關(guān)第18頁/共21頁于軸的對稱點，