隨機事件的概率

一、概率

1.在相同條件下，大量重復進行同一試驗，隨機事件A發(fā)生的頻率會在某個常數(shù)附近擺動，即隨機事件A

發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性.我們把這個常數(shù)叫做隨機事件A的概左.記作P(A).

2.頻率反映了一個隨機事件出現(xiàn)的頻繁程度，但是頻率是隨機的,而概率是一個確定的值,通常人們用挖

莖來反映隨機事件發(fā)生的可能性的大小.有時也用鰭來作為隨機事件概率的估計值.

二、事件的關系與運算

定義符號表示

如果事件4發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這

包含關系B3A（或AcB）

時稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B)

相等關系若83人且人那么稱事件人與事件8相等.A=B

并事件(和若某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生或事件B發(fā)生,稱此事

AUB或A+B

事件)件為事件A與事件B的并事件(或和事件)

交事件(積若某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生且事件B發(fā)生,則稱此

ACB或AB

事件)事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)

互斥事件若4Gl為不可能事件,那么事件A與事件4互斥API8=0

若AG8為不可能事件,AU8為必然事件,那么稱事

市立事件

件A與事件B互為對立事件

三、概率的幾個基本性質

1.概率的取值范圍：OWP(A)WI2.必然事件的概率P(E)=1.

3.不可能事件的概率P(F)=O

4.概率的加法公式：如果事件A與事件B互斥，則P(AUB)=P(A)+P(B).

5.對立事件的概率：若事件A與事件B互為對立事件，則AUB為必然事件.P(AUB)=1,P(A)=1-P(B).

例1：一個人打靶時連續(xù)射擊兩次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()

A.至多有一次中靶B.兩次都中靶C.只有一次中靶D.兩次都不中靶.

解：“至少一次中靶”的互斥事件是“兩次都不中靶”.選D。

例2：擲一枚均勻的硬幣兩次，事件M：一次正面朝上，一次反面朝上；事件N：至少一次正面朝上，則下

列結果正確的是()

A.P(/W)=T,P(A9=1B.P(M)=T,P(AO=1C.P(A/)=[,P(^T)=JD.P(M)=T,P(/V)=^

1113

解：P(M)=5，P(A9=I_7X2=4-

例3：某射手在一次射擊中,射中10環(huán),9環(huán)，8環(huán)的概率分別是().20,0.30,0.10.則此射手在一次射擊中不

夠8環(huán)的概率為()

A.0.40B,0.30C.0.60D.0.90

解：依題意，射中8環(huán)及以上的概率為0.20+0.30+0.10=0.60,故不夠8環(huán)的概率為1-0.60=0.40.選A

例4：盒子里共有大小相同的3只紅球，1只黃球，若從中隨機摸出兩只球，則它們顏色不同的概率是

解：從中摸出兩只球共有6種，其中顏色不同的有3種，故?=高3=91

例5：甲、乙兩人下棋，兩人和棋的概率是看乙獲勝的概率是/則乙不輸?shù)母怕适?

解：P=2+3=6-

1.互斥事件與對立事件包含類型

兩個事件A與B是互斥事件，有如下三種情況

(1)若事件A發(fā)生，則事件B就不發(fā)生；(2)若事件B發(fā)生，則事件A就不發(fā)生；

(3)事件A,B都不發(fā)生.兩個事件A與B是對立事件，僅有前兩種情況.因此，互斥未必對立，但對立一

定互斥.

2.從集合角度理解互斥事件和對立事件

從集合的角度看，幾個事件彼此互斥，是指由各個事件所含的結果組成的集合彼此的交集為空集，事

件A的對立事件所含的結果組成的集合，是全集中由事件A所含的結果組成的集合的補集.

例6：在2016年深圳里約奧運會火炬?zhèn)鬟f活動中，有編號為123,4,5的5名火炬手.若從中任選3人，則

選出的火炬手的編號相連的概率為()

AJ_R5CJ_n2

AioJOU5

解:從1,2,345中任取三個數(shù)的結果有10種，其中選出的火炬手的編號相連的事件有：(123),(2,3,4),(345),

選出的火炬手的編號相連的概率為。=奇

例7：從123,4,5中隨機取出三個不同的數(shù)，則其和為奇數(shù)的概率為()

解:可能的情況有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)共10

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種，其中和為奇數(shù)的有(1,2,4),(1,3,5),(2,3,4),(2,4,5)共4種，故所求概率「=m=不

例8：某飲料公司對一名員工進行測試以便確定其考評級別.公司準備了兩種不同的飲料共5杯，其顏色完

全相同，并且其中3杯為A飲料，另外2杯為B飲料，公司要求此員工一一品嘗后，從5杯次料中選出3

杯A飲料.若該員工3杯都選對，則評為優(yōu)秀；若3杯選對2杯，則評為良好；否則評為合格.假設此人

對A和B兩種飲料沒有鑒別能力.

(1)求此人被評為優(yōu)秀的概率；

(2)求此人被評為良好及以上的概率.

解：將5杯飲料編號為：1,2,345,編號123表示A飲料，編號4,5表示B飲料，則從5杯飲料中選出3

杯的所有可能情況為：(123),(124),(125),(134),(135),(145),(234),(235),(245),(3史)，可見共有

10種.令。表示此人被評為優(yōu)秀的事件，E表示此人被評為良好的事件，尸表示此人被評為良好及以上的

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事件，則(1)P(D)=正；(2)P(E)=$,P(D=P(0+P(E)=^.

例9：袋中有12個小球，分別為紅球、黑球、黃球、綠球，從中任取一球，得到紅球的概率為得到黑球

或黃球的概率是總得到黃球或綠球的概率是今試求得到黑球、黃球、綠球的概率各是多少？

解：分別記得到紅球、黑球、黃球、綠球為事件4、B、C、D由于A、B、C、。為互斥事件，根據(jù)已知得

4+砌+r0+股）=1,R叫，

到V修為+打。4,解睜HOJ,???得到黑球、黃球、綠球的概率分別為?

、尺。十只。)弓，盧功弓.

1.應用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先確定各事件是否彼此力斥，然后求出各事件分別發(fā)生的

概率，再求和.

2.求復雜事件的概率通常有兩種方法：一是將所求事件

轉化成彼此互斥的事件的和；二是先求其對立事件的概率，然后再應用公式求解.如果采用方法一，一定

要將事件拆分成若干個互斥事件，不能重復和遺漏；如果采用方法二，一定要找準其對立事件，否則容易

出現(xiàn)錯誤.

3.對立事件一定是互斥事件.互斥事件不一定是對立事件，可者助于集合思想去找準對立事件.

4.若A、B互斥且對立.則P(A)+P(B)=L

例10：某產品分甲、乙、丙三級，其中乙、丙均屬于次品，若生產中出現(xiàn)乙級品的概率為0.03,丙級品的

概率為0.01,則對成品抽查一件，恰好得正品的概率為()

A.0.99B.0.98C.0.97D.0.96

解：P=1-0.03-0.01=0.96.

例11：一個袋中有4個大小質地都相同的小球，其中紅球1個，白球2個，黑球1個，現(xiàn)從袋中有放回地

取球，每次隨機取一個.

⑴求連續(xù)取兩次都是白球的概率；

(2)若取一個紅球記2分，取一個白球記1分，取一個黑球記0分，求連續(xù)取兩次分數(shù)之和大于1分的概率.

解：(1)連續(xù)取兩次所包含的基本事件有：

(紅，紅)，(紅，白1),(紅，白2),(紅，黑)；(白1,紅)，(白1,白1),(白1,白2),(白I,黑)：

(白2,紅)，(白2,白1),(白2,白2),(白2,黑)；(黑，紅)，(黑，白1),(黑，白2),(黑，黑)

所以基本事件的總數(shù)M=16.

設事件A：連續(xù)取兩次都是白球，則事件A所包含的基本事件有：(白1,白1),(白1,白2),(白2,白1),

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(白2,白2)共4個，所以P(4)=諱=1

(2)法一：由(1)連續(xù)取兩次的事件總數(shù)為M=16,設事件無連續(xù)取兩次分數(shù)之和為0分，則戶(8)=七；

設事件C連續(xù)取兩次分數(shù)之和為1分，則P(C)=^=：：設事件。：連續(xù)取兩次分數(shù)之和大于1分，

則P(D)=1—P(8)—P(C)=￥。

法二：設事件B：連續(xù)取兩次分數(shù)之和為2分，則P(8)=金；設事件C連續(xù)取兩次分數(shù)之和為3分，則

4I

汽0=而：設事件D：連續(xù)取兩次分數(shù)之和為4分，則P(0="；：設事件氏連續(xù)取兩次分數(shù)之和大于1

分，則P(E)=P(8)+P(O+P(Q)=]|。Li___

例⑵如圖，A地到火車站共有兩條路徑Li和Lz，現(xiàn)隨機抽取100位從二>火車站

A地到達火車站的人進行調查，調查結果如下：\

所用時間(分鐘)10?2020?3030?4040?5050?60

選擇L的人數(shù)612181212

選擇心的人數(shù)0416164

(1)試估計40分鐘內不能趕到火車站的概率；

(2)分別求通過路徑L,和L2所用時間落在上表中各時間段內的頻率；

⑶現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站，為了盡最大可能在允許的時間內趕到火車

站，試通過計算說明，他們應如何選擇各自的路徑.

解：(1)由已知共調查了100人，其中40分鐘內不能趕到火車站的有12+12+16+4=44人，，用頻率估計

相應的概率為0.44.

(2)選擇L的有60人,選擇L2的有4()人，故由調查結果得頻率為:________________________________

所用時間(分鐘)10?2020?3()30?4040?5050?60

L\的頻率O.i0.20.30.20.2

乙2的頻率00.10.40.4().1

(3)A,,A2分別表示甲選擇L和L2時，在40分鐘內趕到火車站；

Bi，B2分別表示乙選擇Li和L?時，在50分鐘內趕到火車站.由(2)知P(Ai)=0.1+0.2+0.3=06

P(A2)=0.1+0.4=0.5,P(AI)>P(A2),P甲應選擇LI；P(Bi)=O」+02+0.3+0.2=0.8,

P(B2)=0.1+0.4+0.4=09,P(B2)>P(B)),???乙應選擇L2.

例13：甲、乙兩顆衛(wèi)星同時監(jiān)測臺風，在同一時刻，甲、乙兩顆衛(wèi)星準確預報臺風的概率分別為0.8和0.75,

則在同一時刻至少有一顆衛(wèi)星預報準確的概率為.

解：-1-0.2X0.25=0.95.答案：0.95。

例1%已知向量a=(x,〉，)，b=(\,-2),從6張大小相同，分別標有號碼1,2,3、4、5,6的卡片中，

有放回地抽取兩張，X、)，分別表示第一次、第二次抽取的卡片上的號碼.

(1)求滿足。?。=-1的概率；(2)求滿足。＞0的概率.

解：(1)設(x,歷表示一個基本事件，則兩次抽取卡片的所有基本事件有(1,1)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(1,6)、

(2,1)、(2,2)、…、(6,5)、(6,6),共36個.用A表示事件"〃乃=一1"，即工一2〉=一1,則A包含的基本事件

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有(1,1)、(3,2)、(5,3),共3個，尸⑷=%=五.

(2)4?力＞0,即x—2y＞0,在(I)中的36個基本事件中，滿足％—2戶0的事件有(3,1)、(4,1)、(5,1)、(6,1)、(5,2)、

(6,2),共6個,所以所求概率尸=.=,

例15：某次會議有6名代表參加，