高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省武漢市東湖高新區(qū)2025-2026學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意，，，且，所以.故選：C.2.命題，的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】命題“，”是存在量詞命題，其否定是全稱量詞命題，所以命題“，”的否定是：，.故選：B.3.設(shè)是三條邊的邊長(zhǎng)，則“”是“為直角三角形”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因?yàn)椋葍r(jià)于為直角，若為直角，則為直角三角形，但為直角三角形，則或或?yàn)橹苯牵灰欢ㄓ袨橹苯?，所以“”是“為直角三角形”的充分不必要條件.故選：A.4.冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則m的值為（）A.1 B.2 C.3 D.6【答案】B【解析】由函數(shù)為冪函數(shù)，得，解得或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，符合題意，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，不符合題意，故.故選：B.5.若，且，則的最小值為（）A.12 B.9 C.6 D.3【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，即，令，得，解得（不符合題意舍去）或，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即的最小值為.故選：C.6.已知，若，，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因，則為偶函數(shù)，因時(shí)，，在上單調(diào)遞增，又，故.故選：D.7.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)函數(shù)的對(duì)稱中心為，則函數(shù)為奇函數(shù)，則，得，整理得，所以，解得，所以函數(shù)圖象的對(duì)稱中心是.故選：A.8.已知函數(shù)，若的最小值為，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)，在上遞減，在上遞增，且，由在上遞減，在上遞增，又的最小值為，故且，綜上，.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分.9.下列命題中正確的是（）A.若，則B.若，，則C.若，，則D.若，則【答案】BC【解析】選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，，因，，則，故，B正確；選項(xiàng)C，由得，又，故，C正確；選項(xiàng)D，由得，故，D錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知，，且，則（）A. B.的最大值為4C.的最小值為9 D.的最大值為3【答案】ACD【解析】對(duì)于A，由，，且，顯然，則，即，故A正確；對(duì)于B，由，，且，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為4，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，，且，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為9，故C正確；對(duì)于D，由C知，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，滿足題意，則的最大值為3，故D正確.故選：ACD.11.函數(shù)稱為“對(duì)勾函數(shù)”，類比研究“對(duì)勾函數(shù)”的圖象和性質(zhì)的方法，研究函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以下關(guān)于函數(shù)的結(jié)論正確的有（）A.方程有唯一根B.函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增C.函數(shù)在區(qū)間的值域?yàn)镈.方程有兩個(gè)不同的根【答案】ABD【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，單調(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，則，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)，，則，，所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增；綜上，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增；對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，所以函?shù)在區(qū)間上有唯一零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間沒有零點(diǎn)，綜上，方程有唯一根，故A正確；對(duì)于B，由函數(shù)性質(zhì)可知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，故B正確；對(duì)于C，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，，所以函數(shù)在區(qū)間的值域?yàn)椋蔆錯(cuò)誤；對(duì)于D，方程，即，有，即，，化簡(jiǎn)得，即方程有兩個(gè)不同的根，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，，則的取值范圍為______.【答案】【解析】設(shè)，即，解得.所以.因?yàn)椋?所以，.所以.故答案為：.13.已知關(guān)于的不等式的解集為，則的最小值是______．【答案】【解析】由一元二次不等式與一元二次等式的關(guān)系，知道的解為，由韋達(dá)定理知，，所以當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)．14.對(duì)于定義域?yàn)镈的函數(shù)，若同時(shí)滿足下列條件：①在D內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②存在區(qū)間，使在區(qū)間上的值域也為，則稱為D上的“精彩函數(shù)”，為函數(shù)的“精彩區(qū)間”.若函數(shù)是“精彩函數(shù)”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為______.【答案】【解析】由題意知的定義域?yàn)?，且在定義域上單調(diào)遞增，又函數(shù)是“精彩函數(shù)”，故有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，即有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，設(shè)兩根為，且，令，則，即，解得，故實(shí)數(shù)m的取值范圍為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知集合，，.（1）；（2）若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解：（1）由，得，所以，故集合.因?yàn)?，所以，所?（2）因?yàn)?，所?當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍為.16.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.（1）求m、n的值；（2）證明在上單調(diào)遞增；（3）求使成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：（1）由題意，可得，解得.此時(shí)，，且，故是定義在上的奇函數(shù)，滿足題意.所以.（2）任取，且，則，因?yàn)椋?，所以，，，，即，所以，即，即，所以函?shù)在上單調(diào)遞增.（3）由（1）（2）知，函數(shù)是奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增.所以，即，，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.17.如圖，居民小區(qū)要建一座休閑場(chǎng)所，它的主體造型平面圖是由兩個(gè)相同的矩形和構(gòu)成的面積為的十字形地域，計(jì)劃在正方形上建一座花壇，造價(jià)為3270元；在四個(gè)相同的矩形（圖中陰影部分）上鋪上花崗巖地坪，造價(jià)為300元；再在四個(gè)扇形（圖中四個(gè)直角扇形，如扇形）上鋪草坪，造價(jià)為160元.（1）設(shè)總造價(jià)為S（單位：元），長(zhǎng)為x（單位：m），試求出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式并求出定義域（這里）；（2）當(dāng)x取何值時(shí)總造價(jià)S最小，并求出S最小值.解：（1）設(shè)，因，則，即，則.（2），當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)S最小值為（元）.18.已知函數(shù)，.（1）若，試求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；（2）若，對(duì)于任意的，存在，使得，求a的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)椋?，，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值為12.（2）函數(shù)，對(duì)稱軸為，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，所以函數(shù)在上的值域?yàn)?，又函?shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以函數(shù)在上的值域?yàn)?，若?duì)于任意的，存在，使得，即在上的值域是在上的值域的子集，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.19.若存在常數(shù)使得函數(shù)與在給定區(qū)間上的任意實(shí)數(shù)x都有，則稱是與的“隔離直線函數(shù)”.已知函數(shù)，.（1）證明：當(dāng)，有；（2）對(duì)任意的時(shí)，恒成立，求的值；（3）當(dāng)時(shí)，與是否存在“隔離直線函數(shù)”？若存在，請(qǐng)求出“隔離直線函數(shù)”解析式；若不存在，請(qǐng)說明理由.解：（1）因?yàn)?，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，等號(hào)成立；所以，即，所以.（2）因?yàn)樵谏虾愠闪?，即在R上恒成立，所以，解得.（3）假設(shè)存在“隔離直線函數(shù)”，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以在上恒