高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省多所學(xué)校2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】雙曲線的漸近線方程為，即．故選：C.2.如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，，則復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，則，得．故選：3.已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列選項(xiàng)中不可能是所對(duì)應(yīng)的圖象的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式為，這是關(guān)于的二次函數(shù)，且該二次函數(shù)圖象過原點(diǎn).當(dāng)時(shí)，是過原點(diǎn)的直線上的點(diǎn)，所以選項(xiàng)B正確，當(dāng)時(shí)，是過原點(diǎn)的拋物線上的點(diǎn)，所以選項(xiàng)A，D正確.故選：C.4.在平面直角坐標(biāo)中，已知三點(diǎn)，，，若向量，在上的投影向量相等，則的值為（）A.2 B.0 C.2 D.3【答案】B【解析】依題意，向量，在上的投影向量相等，所以，則，即，所以.故選：B.5.高二某班有30名男生和20名女生，男生的平均身高比女生的平均身高多12厘米，則男生的平均身高比全班的平均身高（）A.多4.8厘米 B.多5.6厘米 C.多7.2厘米 D.多8.4厘米【答案】A【解析】設(shè)男生平均身高為，女生平均身高為，則，總體平均身高為，則男生的平均身高減全班的平均身高為，故男生的平均身高比全班的平均身高多4.8厘米．故選：6.已知定點(diǎn)和直線，則點(diǎn)到直線的距離的最大值為（）A.2 B.2 C. D.【答案】D【解析】直線，即，由解得，所以直線過定點(diǎn)，所以的最大值為．故選：7.若函數(shù)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則（）A.最小值為，無最大值B.的最大值為，無最小值C.的最小值為，最大值為D.既沒有最小值，也沒有最大值【答案】A【解析】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，為偶函數(shù)，所以，，即，，解得．因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，無最大值．故選：A.8.橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，以為焦點(diǎn)的拋物線與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為，若，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，則拋物線方程可寫為，若，則，由橢圓的定義得，所以，，由拋物線的定義得，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入拋物線方程得，，所以，即，所以.所以橢圓的離心率.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，選錯(cuò)得0分．9.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為 B.C.在單調(diào)遞增 D.在的值域?yàn)椤敬鸢浮緼BD【解析】,對(duì)于A，故A正確；對(duì)于B的對(duì)稱軸方程為:，即，當(dāng)時(shí)，關(guān)于對(duì)稱，即，故B正確；對(duì)于C，由，得的單調(diào)遞增區(qū)間為，但不是上述區(qū)間的子集，故C錯(cuò)誤；對(duì)于，故D正確．故選：10.已知曲線，則（）A.曲線表示一個(gè)圓B.點(diǎn)在曲線上C.曲線被直線截得的弦長(zhǎng)為D.曲線與所有平行于軸的直線都有交點(diǎn)【答案】BD【解析】對(duì)于A，由圓的一般方程可知，圓的方程中無項(xiàng)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，代入點(diǎn)得，因此點(diǎn)在曲線上，故B正確；對(duì)于C，聯(lián)立，整理得，因此直線與曲線的交點(diǎn)分別為，弦長(zhǎng)為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)與軸平行的直線為，聯(lián)立，整理得，，故正確．故選：11.若四面體各棱長(zhǎng)為1或2，但不是正四面體，則下列說法正確的是（）A.四面體有可能是正三棱錐B.四面體中長(zhǎng)為1的棱最多有4條C.若四面體恰有兩條棱長(zhǎng)為1，則有且僅有2條棱所在的直線互相垂直D.四面體體積的最大值為【答案】ACD【解析】對(duì)于A：當(dāng)四面體的底面邊長(zhǎng)均為1，側(cè)棱長(zhǎng)均為2時(shí)，該四面體為正三棱錐，故A正確；對(duì)于B：假設(shè)四面體中長(zhǎng)為1的棱有4條，如圖，分三種情況討論：若底面有一條邊長(zhǎng)為1，不妨設(shè)，則側(cè)棱長(zhǎng)均為1，此時(shí)，構(gòu)不成三角形，該情況不成立；若底面有兩條邊長(zhǎng)為1，不妨設(shè)，此時(shí)，構(gòu)不成三角形，該情況不成立，若底面三條邊均為1，則側(cè)棱有一條為1，不妨設(shè)，此時(shí)，構(gòu)不成三角形，該情況不成立，所以四面體中長(zhǎng)為1的棱不可能有4條，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若兩條相鄰的棱長(zhǎng)為1，則構(gòu)不成三角形，該情況不成立；所以兩條為1的棱只能為對(duì)棱，不妨設(shè)，其余四邊長(zhǎng)為2，此時(shí)所有的三角形三邊均分別為，故共頂點(diǎn)的兩邊均不垂直，如圖以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系：則，，設(shè)，則，兩式相減得：，所以，所以，因?yàn)?，所以，解得，所以，所以，，，，，，所以，，，故，此時(shí)有且僅有2條棱所在的直線互相垂直，所以C選項(xiàng)正確；對(duì)于D：根據(jù)B選項(xiàng)可知四面體的六條棱長(zhǎng)可能為一條棱長(zhǎng)為1，其余為2；兩條棱長(zhǎng)為1，其余為2；或三條棱長(zhǎng)為1，三條棱長(zhǎng)為2；易知第一種情況體積最大，不妨設(shè)，其他棱長(zhǎng)為2，如圖建立空間直角坐標(biāo)系：則，，設(shè)，則，兩式相減得：，所以，所以，因?yàn)椋?，解得，所以，所以，又平面的一個(gè)法向量為，所以點(diǎn)到平面的距離為，又，所以四面體體積為，所以四面體體積的最大值為，故D正確；故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在等比數(shù)列中，，，則________．【答案】【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，又，所以，則.故答案為：.13.已知圓，圓是以圓上一點(diǎn)為圓心，半徑為1圓，圓與圓交于兩點(diǎn)，則當(dāng)最大時(shí)，的大小為___________．【答案】【解析】圓是以圓上一點(diǎn)為圓心，所以圓必經(jīng)過原點(diǎn)，又因?yàn)閳A經(jīng)過原點(diǎn)，所以圓與圓交于原點(diǎn)，設(shè)為．當(dāng)圓與圓的相交弦剛好是圓的直徑時(shí)，最大，此時(shí)，而，所以．故答案：.14.若，，且對(duì)任意實(shí)數(shù)均有．則滿足條件的有序?qū)崝?shù)對(duì)的個(gè)數(shù)為________．【答案】3【解析】要讓對(duì)于任意實(shí)數(shù)均成立，只需函數(shù)與圖象重合或?yàn)榈某：瘮?shù).當(dāng)函數(shù)與圖象重合時(shí)，所以，由于，可以取，；當(dāng)為的常函數(shù)時(shí)，，此時(shí)可以取.綜上，滿足條件的有序?qū)崝?shù)對(duì)的個(gè)數(shù)為3個(gè)（，，）.故答案為：3.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在中，角所對(duì)的邊分別是，已知．（1）證明：；（2）若為邊上一點(diǎn)，的面積是的面積的兩倍，，求的周長(zhǎng)．（1）證明：根據(jù)正弦定理，由可得：，即．在中，有，可以得到：，即.（2）解：由有.由可得：，即，解得：所以的周長(zhǎng)為.16.在直角坐標(biāo)系中，過圓上任意一點(diǎn)作軸的垂線段為垂足．當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線．（1）求的方程；（2）過點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，且的面積為，求直線的方程．解：（1）設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，則點(diǎn)．由是的中點(diǎn)得：.因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以將代入方程得：．故方程為：.（2）設(shè)直線的方程為：，，，聯(lián)立，得解得；，所以或所以直線的方程為或.17.已知等差數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．（1）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，，所以，即，解得，，所以?shù)列的通項(xiàng)公式；因?yàn)?，所以，所以，又，適合上式，所以的通項(xiàng)公式為：；（2）證明：由（1）知和，得：；.兩式相減得，所以，因，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又，所以.18.如圖，在四棱錐中，.（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）設(shè)是三棱錐外接球球面上的一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．（1）證明：如圖所示，在平面內(nèi)，取的中點(diǎn)，連接，，，，因?yàn)?，由勾股定理得，所以，在中，由，?在中，，所以，由，平面,得平面，又平面，所以平面平面.（2）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線為軸，軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，易知軸平行于，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由得，取，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由得，取，則，設(shè)平面與平面的夾角為，則，即平面與平面夾角的余弦值為.（3）解：設(shè)球心為，半徑為，易知，在中，，解得，所以在平面內(nèi)取一點(diǎn)，滿足，即，解得，則，，又因?yàn)椋?，則19.已知雙曲線：的離心率為2，且經(jīng)過點(diǎn)．（1）求雙曲線的方程；（2）已知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，首項(xiàng)記為．按照如下方式構(gòu)造點(diǎn)列：過點(diǎn)作斜率分別為，的兩條直線，，直線交雙曲線于，兩點(diǎn)，直線交雙曲線于，兩點(diǎn)，記弦與的中點(diǎn)分別為，，直線與軸交于點(diǎn)．（i）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（ii）設(shè)的面積為，若，，，證明：．（1）解：雙曲線的離心率