高級中學名校試卷PAGEPAGE1湖南省湘東教學聯(lián)盟2026屆高三上學期11月聯(lián)考數(shù)學試題一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】∵，或，∴．故選：A.2.若復數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為,所以，故選：B.3.雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】雙曲線的實半軸長，虛半軸長，則半焦距，所以所求離心率.故選：D.4.已知函數(shù)恒成立，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意得，是函數(shù)的最大值，，得，，又．故選：A.5.已知等差數(shù)列滿足：，則前20項的和為（）A.190 B.360 C.400 D.440【答案】C【解析】設數(shù)列公差為，令得，，令得，則，即，解得，．故選：C.6.若，，，則、、的大小關系為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因為函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，即，因為，，函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，即，故．故選：C.7.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】〖祥解〗由兩角和的正弦結(jié)合弦切互化化簡即可.【詳析】，又，，，又由，得，，即．故選：B.8.已知均為定義在上的函數(shù)，，若的圖象關于直線對稱，且，則的值是（）A.463 B.464 C.465 D.466【答案】B【解析】由的圖象關于直線對稱，可得的圖象關于直線對稱，即的圖象關于直線對稱，則，由，可得，又，得，所以，即，所以的圖象關于點對稱，即為奇函數(shù)，所以，函數(shù)的周期為4；由可得，又因為，所以，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，得，所以．故選：B.二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.隨著人工智能應用軟件豆包、Kimi、DeepSeek陸續(xù)出現(xiàn)，AI成為各行各業(yè)創(chuàng)新應用的熱門話題．某課題小組對本市各行業(yè)人群使用AI頻率進行調(diào)查研究，下列說法正確的是（）A.甲同學根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)，利用最小二乘法得到AI每周使用頻次關于年齡的經(jīng)驗回歸方程為，可以推斷使用頻次與年齡正相關且相關系數(shù)為0.2B.乙同學開展了AI每周使用頻次與年齡的相關性研究，經(jīng)計算樣本相關系數(shù)，可以推斷兩個變量正線性相關，且相關程度很強C.丙同學研究性別因素是否影響AI使用頻次，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，計算得到，可以認為不同性別的AI使用頻次有差異D.丁同學得到經(jīng)驗回歸方程①和②，通過決定系數(shù)來比較模型的擬合效果，經(jīng)驗回歸方程①和②的分別約為0.731和0.997，因此經(jīng)驗回歸方程②的刻畫效果比經(jīng)驗回歸方程①好很多【答案】BD【解析】A選項：在經(jīng)驗回歸方程中，斜率參數(shù)，只能說明使用頻次與年齡正相關，但相關系數(shù)不是0.2，故A錯誤；B選項：樣本相關系數(shù)的絕對值越接近于1，兩個變量的線性相關性越強，，說明兩個變量正線性相關，且相關程度很強，故B正確；C選項：根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，計算得到，沒有充分證據(jù)證明不同性別的AI使用頻次有差異，故C錯誤；D選項：決定系數(shù)越接近于1，模型的擬合效果越好，經(jīng)驗回歸方程①和②的分別約為0.731和0.997，因此經(jīng)驗回歸方程②的刻畫效果比經(jīng)驗回歸方程①好．故選：BD．10.已知圓，直線，點為圓上一點，點為坐標原點，則下列敘述正確的有（）A.的最小值為B.當時，直線與圓相切C.的最小值為D.若圓上有且僅有三個點到直線的距離為，則【答案】AC【解析】已知圓的方程可化為，故圓心，半徑，對于A：因為為圓上一點，所以，故A正確；對于B：當時，直線，根據(jù)點到直線的距離公式，得圓心到直線的距離，所以直線與圓不相切，故B錯誤；對于C的幾何意義為圓上一點與原點連線的斜率，設，則直線的方程為，當直線與圓相切時，圓心到直線的距離，解得，所以，故C正確；對于D：因為圓的半徑，要使圓上有且僅有三個點到直線的距離為，則圓心到直線的距離，由點到直線的距離公式，即，解得，故D錯誤．故選：AC．11.如圖，三棱臺中，平面，則（）A.三棱臺的體積為B.平面C.D.若點在側(cè)面上運動，且與平面所成角的正切值為4，則點在側(cè)面上的軌跡長度為【答案】ABD【解析】A選項：，，故A正確；B選項：平面，平面平面，又為的中點，，平面，平面，故B正確；C選項：由B選項答案可知平面，若，而平面，則平面，，與條件矛盾，故錯誤；D選項：如圖，在平面中，作于點，由B選項答案可知，平面，，平面，平面為與平面所成角，依題意，又，又．在側(cè)面上的軌跡是以為圓心，半徑為的半圓，軌跡長度為，故D正確．故選：ABD．三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.設為單位向量，且，與的夾角為，則的值為___________．【答案】4【解析】因為，所以，所以，又因為為單位向量，與的夾角為，所以，故答案為：4．13.已知拋物線的焦點為，過點且斜率為的直線交拋物線于兩點，則線段的長為___________．【答案】13【解析】拋物線的焦點為，，拋物線的方程為．直線的方程：，聯(lián)立得，設，則．另解：．14.設，若，，則___________．【答案】1【解析】，化簡得，①，得，②，令，，在定義域上單調(diào)遞增，由①，②可得，又是奇函數(shù)，，即，．故答案為：1四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.如圖，空間幾何體的底面是以為直角的等腰直角三角形，平面平面，直線平面，且．（1）求證：平面；（2）若平面，求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：過點作于點，連接，平面平面，且平面平面平面，平面.又平面，，又平面平面，平面.（2）解：取G為的中點，由題知底面是以為直角的等腰直角三角形，易得，又平面，且平面，，而，，而，故平面，因平面，而由（1）知平面，平面，則，故H與G重合.又，平面，則平面，又平面，則，又，故四邊形AHDE為矩形.如圖，以為原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，因，則.平面的一個法向量可取為，設直線與平面所成角為，，直線與平面所成角的正弦值為.16.已知函數(shù)．（1）當時，求曲線在處的切線方程；（2）判斷的單調(diào)性；（3）若在上有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）當時，，，由題意知切點為，切線斜率，切線方程為：，即；（2）的定義域為，，當時，在上單調(diào)遞增；當時，時，單調(diào)遞增，時，單調(diào)遞減；當時，時，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增；綜上：當時，在上單調(diào)遞增，當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（3）法一：，令，得，即，得，令，令，得，當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減，．又，當時，，當時，，時，，當且時，，當時，有2個零點，實數(shù)的取值范圍為；法二：由題意可得，令，，當時，恒成立，則在上單調(diào)遞增，當時，時，，只有一個零點，即只有一個零點，不符合題意；當時，令，解得，當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，，當時，時，，故當，即時，有2個零點．實數(shù)的取值范圍為.17.已知，直線相交于點，且，點的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）過點的直線交曲線于兩點，直線與曲線的另一個交點為，線段的中點為的面積為，求直線的方程．解：（1）設，已知，由，得，化簡得：，曲線的方程為.（2）依題意，過點的直線斜率不為0，設直線，聯(lián)立得，設，則.為的中點，為的中點，，，解得，直線的方程為：，即.18.已知的內(nèi)角的對邊分別為．（1）若，求角的值；（2）角的平分線交的外接圓于點，圓的半徑為．（i）當時，求的值；（ii）當為何值時，的面積取最大值．解：（1），由正弦定理得，即，由余弦定理得，，.（2）（i）解法1：為直徑且，如圖，連接并延長交于點，連接，在中，，，，又平分，，，在Rt中，，.解法2：連接，平分，，易得，由正弦定理得，在中，，即，同理在中，，是方程的兩根，.（ii）解法1：如圖，連接，設，又外接圓的半徑為，，在中，由余弦定理可得，，得，同理，在中，，是方程的兩根，.又，，.設，則，，，令，則，令，時，（舍）或，設，則當，即時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，即時，，函數(shù)單調(diào)遞增當，即時，取最大值，面積最大.解法2：如圖，連接并延長交圓于點，連接，在中，，，，設，平分，，連接，在中，，在Rt中，，，由，知，即，問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值，同解法1．19.某公司為了開拓新產(chǎn)品市場，組織人類挑戰(zhàn)機器人對抗賽活動．每局比賽只有勝和負兩種情況，無平局，每局比賽挑戰(zhàn)者戰(zhàn)勝機器人的概率為，勝者記2分，其余記1分．每個挑戰(zhàn)者只能挑戰(zhàn)一局，每局勝負不受其他因素的影響．（1）求三局比賽中，人類隊累計得分的分布列和數(shù)學期望；（2）若局比賽中，人類隊累計得分為分的概率為，求；（3）若采用“比賽賽滿局，勝方至少獲得局勝利”的賽制，人類隊取勝的概率為；若采用“比賽賽滿局，勝方至少獲得局勝利”的賽制，人類隊取勝的概率為，比較與的大小，并說明其統(tǒng)計意義．解：（1）的所有可能取值為3，4，5，6，的分布列為Y3456數(shù)學期望.（2）依題意，局比賽中，人類隊累計得分為分，即局中有2局人類隊取勝，當時，，當時，也符合上式.，設得：，，（3）設“賽滿局人類隊獲勝”為事件，要使事件發(fā)生，有兩種情況：第一階段賽滿