第四節(jié)基本不等式及其應(yīng)用課標(biāo)要求1.了解基本不等式的證明過程.2.會用基本不等式解決簡單的最值問題.3.理解基本不等式在生活實際問題中的應(yīng)用.必備知識·整合〔知識梳理〕1.基本不等式ab≤a+b2等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立.提醒在運用基本不等式及其變形時，一定要驗證等號是否成立.2.算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a>0，b>0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為a+b2，幾何平均數(shù)為ab3.利用基本不等式求最值已知x>0，y>0，（1）如果xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時，x+y有最小值，是2p（2）如果x+y是定值q，那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時，xy有最大值，是q244.幾個重要的不等式(1)a2+〔課前自測〕1.概念辨析（正確的打“√”,錯誤的打“×”）.（1）不等式a2+b2≥2ab（2）函數(shù)y=x+1x(x>0)（3）函數(shù)f(x)=sinx+4（4）已知x,y均為實數(shù)，則“x>0且y>0”是“xy+y2.若x，y均為正實數(shù)，x+y=4,則xy的最大值是4.3.易錯題函數(shù)y=1?2x?3x(x<0)[解析]因為x<0，所以y=1?2x?3x當(dāng)且僅當(dāng)x=?62故函數(shù)的最小值為1+26易錯提醒本題應(yīng)用基本不等式時易忽略“正”致誤.4.（新教材改編題）函數(shù)y=x(3?2x)(0≤x≤1)的最大值是98[解析]因為0≤x≤1，所以1≤3?2x≤3，所以y=12?2x?(3?2x)≤12即x=345.已知a>0，b>0，a+b=1，則1a+2[解析]1a+2b=(a+b)?(1a+2b)=3+關(guān)鍵能力·突破考點一利用基本不等式求最值角度1直接法求最值例1（1）[2022山東濟(jì)南三模]已知正實數(shù)a，b滿足ab=4，則1a+9[解析]1a+9b≥2（2）若0<x<6，則x(6?x)的最大值為3.[解析]因為0<x<6，所以x>0，6?x>0，由基本不等式得，x(6?x)≤(x+6?x2)2=3方法感悟利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足“一正、二定、三相等”.（1）“一正”就是各項必須為正數(shù).（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的兩項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值.（3）“三相等”就是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號，則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方，這時改用對勾型函數(shù)的單調(diào)性求最值.角度2拼湊法求最值例2[2023湖南長沙二模]函數(shù)y=x+1x+2(x>?2)A.3 B.2 C.1 D.0[解析]因為x>?2，所以x+2>0，1x+2>0x+1x+2當(dāng)且僅當(dāng)x+2=1x+2即x=?1時等號成立.方法感悟拼湊法就是將相關(guān)代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)變形，通過添項、拆項等方法湊成和為定值或積為定值的形式，然后利用基本不等式求解最值.拼湊法的實質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵.角度3常數(shù)代換法求最值例3[2022福建泉州模擬]若正實數(shù)x，y滿足1x+y=2，則x+4A.4 B.92 C.5 D.9[解析]因為x，y是正實數(shù)，所以xy>0，故x+4y=12(1x+y)(x+4y方法感悟常數(shù)代換法求解最值的基本步驟（1）根據(jù)已知條件或其變形確定定值（常數(shù)）；（2）把確定的定值（常數(shù)）變形為1；（3）把“1”的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘或相除，進(jìn)而構(gòu)造和或積為定值的形式；（4）利用基本不等式求解最值.角度4消元法求最值例4[2023浙江杭州高三月考]已知5x2y2+[解析]解法一：易知y≠0，由5x2y2+則x2+y2=即y2=12時取等號，則x2解法二：4=(5x=254則x2+y2≥即x2=310，y2=12方法感悟消元法，即先根據(jù)條件建立兩個量之間的函數(shù)關(guān)系，然后代入代數(shù)式，再進(jìn)行最值的求解.有時會出現(xiàn)多元的問題，解決方法是消元后利用基本不等式求解，但應(yīng)注意各個元的范圍.1.[2022湖北荊州期中]若a>0，b>0，且a+2b=4，則ab的最大值為(D)A.14 B.4 C.12 D.[解析]∵a>0，b>0，∴a+2b≥22ab，所以22ab≤4，解得ab≤2，當(dāng)且僅當(dāng)a=2b，即a=2，b=1時等號成立.故2.[2022廣東惠州二模]函數(shù)f(x)=x2?4x+5A.最大值52 B.最小值52 C.最大值2[解析]解法一：∵x≥52，∴x?2≥12>0，則x2?4x+5x?2解法二：令x?2=t，則t≥12，x=t+2，則原函數(shù)可化為y=(t+2)2?4(t+2)+5t=t2+13.[2022遼寧沈陽模擬]已知正實數(shù)x，y滿足2x+1y=1A.2 B.4 C.8 D.12[解析]由x>0，y>0，2x+1y=1所以4xy?3x?6y=4x+8y?3x?6y=x+2y=(2x+1y)(x+2y)=4+4yx+xy4.已知x>0，y>0，x+3y+xy=9，則x+3y的最小值為6.[解析]解法一（換元消元法）：由已知得x+3y=9?xy，因為x>0，y>0，所以x+3y≥23xy，所以3xy≤(x+3y2)2，當(dāng)且僅當(dāng)x=3y，即x=3，y=1時取等號，所以x+3y+13(x+3y2)2≥9，即(x+3y)2+12(x+3y)?108≥0解法二（代入消元法）：由x+3y+xy=9，得x=9?3y1+y，所以x+3y=9?3y1+y+3y=9?3y+3y(1+y)1+y=9+3y21+y=3(1+y考點二利用基本不等式證明不等式合作探究例5[2022山西大學(xué)附屬中學(xué)高三診斷測試]已知a，b，c均為正實數(shù)，且a+b+c=1.求證：(1[答案]證明因為a，b，c均為正實數(shù)，a+b+c=1，所以1a?1=1?aa=b+ca≥上述三個不等式兩邊均為正數(shù)，分別相乘，得(1a當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=13變式.若本例的條件不變，求證：1a[答案]證明1a+1b+方法感悟利用基本不等式證明不等式的策略與注意事項（1）策略：從已證不等式和問題的已知條件出發(fā)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后轉(zhuǎn)化為所求問題，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.（2）注意事項：①多次使用基本不等式時，要注意等號能否同時成立；②巧用“1”的代換證明不等式；③對不能直接使用基本不等式的證明可重新組合，形成基本不等式模型，再使用.5.[2023廣東湛江期中]已知a>0，b>0，且a+b=1a+[答案]證明a+b=1a+1b則ab=1，即a+b≥2ab=2當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時，等號成立，所以a+b≥2.考點三基本不等式的實際應(yīng)用例6[2023廣東佛山期中]如圖，某房地產(chǎn)開發(fā)公司計劃在一個樓區(qū)內(nèi)建造一個矩形公園ABCD，公園由矩形的休閑區(qū)（陰影部分）A1B1C1D1和環(huán)公園人行道組成，已知休閑區(qū)A1B（1）求矩形ABCD所占面積S（單位：m2）關(guān)于x[答案]因為休閑區(qū)的長為xm，休閑區(qū)A1B1C所以休閑區(qū)的寬為1000從而矩形ABCD的長與寬分別為(x+16)m，(1因此矩形ABCD所占面積S=(x+16)?(1（2）要使公園所占面積最小，試問：休閑區(qū)A1[答案]S=(x+16)(1000x+10)=10(x+即x=40時取等號，則休閑區(qū)的寬為1000因此要使公園所占面積最小，休閑區(qū)A1B1C1D1方法感悟利用基本不等式解決實際問題的策略（1）根據(jù)實際問題抽象出函數(shù)的解析式，再利用基本不等式求得函數(shù)的最值；（2）解應(yīng)用題時，一定要注意變量的實際意義及其取值范圍；（3）在應(yīng)用基本不等式求函數(shù)最值時，若等號取不到，則可以利用函數(shù)的單調(diào)性求解.6.[2022山東濟(jì)南模擬]單位時間內(nèi)通過道路上指定斷面的車輛數(shù)被稱為“道路容量”，與道路設(shè)施、交通服務(wù)、環(huán)境、氣候等諸多條件相關(guān).假設(shè)某條道路一小時通過的車輛數(shù)N滿足關(guān)系N=1000v0.7v+0.3v2+d0，其中d0為安全距離，A.135 B.149 C.165 D.195[解析]由題意得，N=1000v0.7v+0.3v2+30=1000考點四基本不等式的綜合應(yīng)用角度1基本不等式與其他知識交匯的最值問題例7（1）[2022湖北黃岡中學(xué)三模]已知二次函數(shù)f(x)=ax2+2x+c（x∈R，a，c為常數(shù)）的值域為[1,+∞)，則A.?3 B.3 C.?4 D.4[解析]因為二次函數(shù)f(x)=ax2+2x+c(x∈R)的值域為[1,+∞)且f(x)min=4ac?44a=ac?1a=1，所以所以1a+4c=c+4c?1≥2（2）[2022福建莆田華僑中學(xué)模擬]已知點E是△ABC的中線BD上的一點（不包括端點）.若AE=xAB+yAC，則A.4 B.6 C.8 D.9[解析]由題意及共線向量定理可設(shè)BE=λBD∵AE=(1?λ)AB+∴x=1?λ，y=λ2∴2x+1y=21?λ+2λ角度2求參數(shù)的值或取值范圍例8[2023湖北天門模擬]若?x，y>0，x+y+2xy≤a(2x+3y)成立，則實數(shù)a的最小值是(A.45 B.56 C.63 [解析]由x>0，y>0，得4x>0，9y>0，所以4x+9y≥24x?9y=12xy，當(dāng)且僅當(dāng)4x=9y時等號成立，所以10x?6x+15y?6y≥12xy即5(2x+3y)≥6(x+y+2xy)，由2x+3y>0，得x+y+2xy2x+3y≤56，當(dāng)且僅當(dāng)4x=9y時等號成立，所以x+y+2xy2x+3y的最大值為故a的最小值為56方法感悟（1）當(dāng)基本不等式與其他知識相結(jié)合時，往往是提供一個應(yīng)用基本不等式的條件，然后利用基本不等式求最值.（2）求參數(shù)的值或取值范圍時，要觀察題目的特點，利用基本不等式確定等號成立的條件，從而得到參數(shù)的值或取值范圍.7.[2022山東日照二模]已知第一象限的點M(a,1b)在直線3x+4y?1=0上，則1[解析]因為第一象限的點M(a,1b)在直線3x+4y?1=0上，所以3a+4b=1，所以1a+3b=(3a+4b)(1a+3b)=15+8.已知a>0，b>0，a+2b=2，若2a+4b≥m[解析]由題意及基本不等式可得2a+當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=1時，等號成立，所以m≤4.因此實數(shù)m的取值范圍是(?∞,4].拓展視野基本不等式鏈基本不等式ab≤21a+以上不等式中，21a+1b，ab，a+b2，一、利用基本不等式鏈求最值例1（1）當(dāng)?12<x<52[解析]由a+b2≤a2+則y=2x?1+當(dāng)且僅當(dāng)2x?1=5?2x，即x=（2）已知x，y均為正實數(shù)，且1x+2+1y+2=[解析]解法一：x+y2=(x+2)+(y+2)2?2≥21x+2解法二：∵x，y均為正實數(shù)，且1x+2+∴6(1x+2+1y+2)=1，則x+y=(x+2)+(y+2)?4=6(1x+2二、利用基本不等式鏈證明不等式例2已知a，b，c都是非負(fù)實數(shù)，求證：a2[答案]證明由a2+b22同理可得b2+c2≥相加可得a2+b2+分層突破訓(xùn)練基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練1.已知x>1，則(B)A.x+1x?1>3 B.x+1x?1≥3 C.2.[2023湖北武漢模擬]已知正實數(shù)x，y，則“x+y=1”是“1x+1A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件[解析]x+y=1時，1x+1y=(當(dāng)x=y=13時，1x+1故選B.3.函數(shù)y=x2+2A.23+2 B.23?2 C.23[解析]∵x>1，∴x?1>0.∴y=x=(x?1≥2(x?1)?3當(dāng)且僅當(dāng)x?1=3x?1即x=1+34.[2022廣東北江實驗學(xué)校模擬]若直線ax+by?1=0(a>0,b>0)平分圓C:x2+y2A.[18,+∞) B.(0,18] C.[解析]由題意得，直線ax+by?1=0過圓心(1,2)，所以a+2b=1，所以22ab≤1即ab≤18，當(dāng)且僅當(dāng)a=2b即a=12，b=14又a>0，b>0，所以ab∈(0,185.[2023廣東茂名二模]已知正實數(shù)a，b滿足2a+b=ab，則a4?2A.0 B.2 C.4 D.6[解析]易知a≠1，∵2a+b=ab，∴2a=b(a?1)，∴b=2aa?1∴a4?2b=a46.多選題在下列函數(shù)中，最小值是2的函數(shù)有(AD)A.f(x)=x2+1xC.f(x)=x2+4x2[解析]對于選項A，∵x2>0，∴由基本不等式可得x2+1x2≥2，當(dāng)且僅當(dāng)對于選項B，∵0<x<π2，∴0<cosx<1，由基本不等式可得cosx+1cosx≥2，當(dāng)且僅當(dāng)cosx=1cosx對于選項C，由基本不等式可得f(x)=x2+4x2+3=x對于選項D，∵3x>0，∴由基本不等式可得f(x)=3x+437.[2021天津，13,5分]若a>0，b>0，則1a+a[解析]∵a>0，b>0，∴1a+ab2+b≥21a×a8.[2022湖北襄陽四中高三一模]已知x>0，y>0，且2x+1y=1，若x+2y>[解析]∵x>0，y>0，且2x+1y=1，∴x+2y=(x+2y)?(2x+1y)=4+xy+4yx≥4+2xy?4yx=8，當(dāng)且僅當(dāng)xy=4y9.（1）當(dāng)x<32時，求函數(shù)[答案]y=12當(dāng)x<32時，3?2x>0∴3?2x2當(dāng)且僅當(dāng)3?2x2=83?2x∴y≤?4+32=?52（2）設(shè)0<x<2，求函數(shù)y=x(4?2x)[答案]∵0<x<2，∴2?x>0，∴y=x(4?2x)=當(dāng)且僅當(dāng)x=2?x，即x=1時取等號，∴當(dāng)x=1時，函數(shù)y=x(4?2x)的最大值為210.某小區(qū)為了升級居住環(huán)境，擬在小區(qū)的閑置地中規(guī)劃一個面積為200m2的矩形區(qū)域（如圖所示），按規(guī)劃要求：在矩形內(nèi)的四周安排2m寬的綠化，綠化造價為200元/m2，中間區(qū)域地面硬化以方便后期放置各類健身器材，硬化造價為100元（1）將y表示為關(guān)于x的函數(shù)；[答案]易得綠化的面積為2×2×x+2×2×(200x中間區(qū)域的面積為(x?4)(200x故y=(4x+800x由x?4>0，200x?4>0可得4<x<50，故y=400x+80（2）當(dāng)x取何值時，總造價最低？并求出最低總造價.[答案]由基本不等式可得400x+80000x+18400≥400×2200+18400=8000211.已知a>0,b>0，且a+b=4.求證：（1）1a[答案]證明由a+b=4，得a+b+1=5，所以(1a+1b+1)×1=1=(1a+1b+1（2）4ab[答案]4ab+ab=(a+b)2能力強(qiáng)化練12.[2023湖北十堰三模]函數(shù)f(x)=16x+A.4 B.22 C.3 D.4[解析]因為16x+14x≥216x2×2x+12x?1=2×2所以f(x)的最小值為4.13.[2022山東棗莊一模]多選題已知正實數(shù)a，b滿足a2+bA.a+b的最大值是2 B.ab的最大值是12C.a?b的最小值是?1 D.ab?2的最小值為?[解析]由(a+b2)2≤a2+由ab≤a2+b22得由正數(shù)a，b及a2+b2=1知0<a<1，0<b<1，可得?1<?b<0令ab?2=k，則a=k(b?2)，兩邊同時平方得k2(b?2)2=a2=1?b2，整理得