云南省昭通市大關縣二中2026屆數(shù)學高二上期末考試模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．將直線繞著原點逆時針旋轉，得到新直線的斜率是（）A. B.C. D.2．已知雙曲線C：的右焦點為，一條漸近線被圓截得的弦長為2b，則雙曲線C的離心率為（）A. B.C.2 D.3．若動點滿足方程，則動點P的軌跡方程為（）A. B.C. D.4．加斯帕爾·蒙日（圖1）是18～19世紀法國著名的幾何學家，他在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心，這個圓被稱為“蒙日圓”（圖2）．則橢圓的蒙日圓的半徑為（）A.3 B.4C.5 D.65．不等式的一個必要不充分條件是（）A. B.C. D.6．在平面直角坐標系xOy中，雙曲線（，）的左、右焦點分別為，，點M是雙曲線右支上一點，，且，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.7．在正方體中，E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點，則與平面所成的角的正弦值為（）A. B.C. D.8．從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線，經過橢圓反射后，反射光線經過橢圓的另一個焦點；從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經過雙曲線的另一個焦點.如圖①，一個光學裝置由有公共焦點的橢圓與雙曲線構成，現(xiàn)一光線從左焦點發(fā)出，依次經與反射，又回到了點，歷時秒；若將裝置中的去掉，如圖②，此光線從點發(fā)出，經兩次反射后又回到了點，歷時秒；若，則的長軸長與的實軸長之比為（）A. B.C. D.9．在中，內角所對的邊為，若，，，則（）A. B.C. D.10．直線的傾斜角的取值范圍是（）A. B.C. D.11．已知橢圓的左，右焦點分別為，，直線與C交于點M，N，若四邊形的面積為且，則C的離心率為（）A. B.C. D.12．從編號分別為,,,,的五個大小完全相同的小球中,隨機取出三個小球,則恰有兩個小球編號相鄰的概率為()A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在正項等比數(shù)列{an}中，若，與的等差中項為12，則等于_______.14．已知橢圓方程為，左、右焦點分別為、，P為橢圓上的動點，若的最大值為，則橢圓的離心率為___________.15．若函數(shù)，則_______16．記為等差數(shù)列的前n項和.若，則_________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知直線與雙曲線相交于、兩點.（1）當時，求；（2）是否存在實數(shù)，使以為直徑的圓經過坐標原點？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.18．（12分）在下列所給的三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并完成解答（若選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分）.①與直線平行；②與直線垂直；③直線l的一個方向向量為；已知直線l過點，且___________.（1）求直線l的一般方程；（2）若直線l與圓C：相交于M，N兩點，求弦長.19．（12分）已知，，其中.（1）求的值；（2）設（其中、為正整數(shù)），求的值.20．（12分）已知點F為拋物線：（）的焦點，點在拋物線上且在x軸上方，.（1）求拋物線的方程；（2）已知直線與曲線交于A，B兩點（點A，B與點P不重合），直線PA與x軸、y軸分別交于C、D兩點，直線PB與x軸、y軸分別交于M、N兩點，當四邊形CDMN的面積最小時，求直線l的方程.21．（12分）已知數(shù)列滿足，（）.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式；（2）數(shù)列滿足：（），求數(shù)列的前項和.22．（10分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是，已知（1）求角B的大??；（2）求三角形ABC的面積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】由題意知直線的斜率為，設其傾斜角為，將直線繞著原點逆時針旋轉，得到新直線的斜率為，化簡求值即可得到答案.【詳解】由知斜率為，設其傾斜角為，則，將直線繞著原點逆時針旋轉，則故新直線的斜率是.故選：B.2、A【解析】求出圓心到漸近線的距離，根據(jù)弦長建立關系即可求解.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，即，則點到漸近線的距離為，因為弦長為，圓半徑為，所以，即，因為，所以，則雙曲線的離心率為.故選：A.3、A【解析】根據(jù)方程可以利用幾何意義得到動點P的軌跡方程是以與為焦點的橢圓方程，從而求出軌跡方程.【詳解】由題意得：到與的距離之和為8，且8>4，故動點P的軌跡方程是以與為焦點的橢圓方程，故，，所以，，所以橢圓方程為.故選：A4、A【解析】由蒙日圓的定義，確定出圓上的一點即可求出圓的半徑.【詳解】由蒙日圓的定義，可知橢圓的兩條切線的交點在圓上，所以，故選：A5、B【解析】解不等式，由此判斷必要不充分條件.【詳解】，解得，所以不等式的一個必要不充分條件是.故選：B6、A【解析】本題考查雙曲線的定義、幾何性質及直角三角形的判定即可解決.【詳解】因為，，所以在中，邊上的中線等于的一半，所以．因為，所以可設，，則，解得，所以，由雙曲線的定義得，所以雙曲線的離心率故選：A7、B【解析】作出線面角構造三角形直接求解，建立空間直角坐標系用向量法求解.【詳解】設正方體棱長為2，、F分別為AB、CD的中點，由正方體性質知平面，所以平面平面，在平面作，則平面，因為，所以即為所求角，所以.故選：B8、D【解析】在圖①和圖②中，利用橢圓和雙曲線的定義，分別求得和的周長，再根據(jù)光速相同，且求解.【詳解】在圖①中，由橢圓的定義得：，由雙曲線的定義得，兩式相減得，所以的周長為，在圖②中，的周長為，因為光速相同，且，所以，即，所以，即的長軸長與的實軸長之比為，故選：D9、B【解析】利用正弦定理角化邊得到，再利用余弦定理構造方程求得結果.【詳解】，，由余弦定理得：，，.故選：B.10、A【解析】由直線方程求得直線斜率的范圍，再由斜率等于傾斜角的正切值可得直線的傾斜角的取值范圍.【詳解】∵直線的斜率,，設直線的傾斜角為，則，解得.故選：A.11、A【解析】根據(jù)題意可知四邊形為平行四邊形，設，進而得，根據(jù)四邊形面積求出點M的坐標，再代入橢圓方程得出關于e的方程，解方程即可.【詳解】如圖，不妨設點在第一象限，由橢圓的對稱性得四邊形為平行四邊形，設點，由，得，因為四邊形的面積為，所以，得，由，得，解得，所以，即點，代入橢圓方程，得，整理得，由，得，解得，由，得.故選：A12、C【解析】利用古典概型計算公式計算即可【詳解】從編號分別為,,,,的五個大小完全相同的小球中,隨機取出三個小球共有種不同的取法,恰好有兩個小球編號相鄰的有:,共有6種所以概率為故選:C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、128【解析】先根據(jù)條件利用等比數(shù)列的通項公式列方程組求出首項和公差，進而可得.【詳解】設正項等比數(shù)列{an}的公比為，由已知，得，①，又，②，由①②得，故答案為：128.14、【解析】利用橢圓的定義結合余弦定理可求得，再利用公式可求得該橢圓的離心率的值.【詳解】由橢圓的定義可得，由余弦定理可得，因為的最大值為，則，可得，因此，該橢圓的離心率為.故答案為：.15、1【解析】先對函數(shù)求導，然后令可求出的值【詳解】因為，所以，則，解得故答案為：16、5【解析】根據(jù)等差數(shù)列前項和的公式及等差數(shù)列的性質即可得出答案.【詳解】解：，所以.故答案為：5.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）不存在，理由見解析.【解析】（1）當時，將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，列出韋達定理，利用弦長公式可求得；（2）假設存在實數(shù)，使以為直徑的圓經過坐標原點，設、，將直線與雙曲線的方程聯(lián)立，列出韋達定理，由已知可得出，利用平面向量數(shù)量積的坐標運算結合韋達定理可得出，即可得出結論.【小問1詳解】解：設點、，當時，聯(lián)立，可得，，由韋達定理可得，，所以，.【小問2詳解】解：假設存在實數(shù)，使以為直徑的圓經過坐標原點，設、，聯(lián)立得，由題意可得，解得且，由韋達定理可知，因為以為直徑的圓經過坐標原點，則，所以，，整理可得，該方程無實解，故不存在.18、（1）若選擇①②，則直線方程為：；若選擇③，則直線方程為；（2）若選擇①②，則；若選擇③，則.【解析】（1）根據(jù)所選擇的條件，結合直線過點，即可寫出直線的方程；（2）利用（1）中所求直線方程，以及弦長公式，即可求得結果.【小問1詳解】若選①與直線平行，則直線的斜率；又其過點，故直線的方程為，則其一般式為；若選②與直線垂直，則直線的斜率滿足，解得；又其過點，故直線的方程為，則其一般式為；若選③直線l的一個方向向量為，則直線的斜率；又其過點，故直線的方程為，則其一般式為；綜上所述：若選擇①②，則直線方程為：；若選擇③，則直線方程為.【小問2詳解】對圓C：，其圓心為，半徑，根據(jù)（1）中所求，若選擇①②，則直線方程為，則圓心到直線的距離，則直線截圓所得弦長；若選擇③，則直線方程為，則圓心到直線的距離，則直線截圓所得弦長.綜上所述，若選擇①②，則；若選擇③，則.19、（1）；（2）.【解析】（1），，寫出的展開式通項，由可得出關于的方程，解出的值，再利用賦值法可求得所求代數(shù)式的值；（2）寫出的展開式，求出、的值，即可求得的值.【小問1詳解】解：設，，的展開式通項為，所以，，即，，解得，所以，.【小問2詳解】解：，，，因此，20、（1）；（2）或.【解析】(1)根據(jù)給定條件結合拋物線定義求出p即可作答.(2)聯(lián)立直線l與拋物線的方程，用點A，B坐標表示出點C，D，M，N的坐標，列出四邊形CDMN面積的函數(shù)關系，借助均值不等式計算得解.【小問1詳解】拋物線的準線：，由拋物線定義得，解得，所以拋物線的方程為.【小問2詳解】因為點在上，且，則，即，依題意，，設，，由消去并整理得，則有，，直線PA的斜率是，方程為，令，則，令，則，即點C，點D，同理點M，點N，則，，四邊形的面積有：，當且僅當，即時取“=”，所以當時四邊形CDMN的面積最小值為4，直線l的方程為或.21、(1)證明見解析，；(2).【解析】(1)將給定等式變形，計算即可判斷數(shù)列類型，再求出其通項而得解；(2)利用(1)的結論求出數(shù)列的通項，然后利用錯位相減法求解即得.【詳解】(1)因數(shù)列滿足，，則，而，于是數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，，即，所以數(shù)列是等比數(shù)列，，；(2)由(1)知，則于是得，，所以數(shù)列的前項和.22、（1）B=300（2）【解析】分析：（1）由同角三角函數(shù)