21世紀(jì)教育網(wǎng)精品試卷·第2頁(yè)（共2頁(yè)）2024年中考數(shù)學(xué)真題專題分類精選匯編（2025年中考復(fù)習(xí)全國(guó)通用）專題13二次函數(shù)的綜合題一、選擇題1.（2024四川瀘州）已知二次函數(shù)（x是自變量）的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.2.（2024四川自貢）一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中圖象如圖所示，則n的取值范圍是（）A. B. C. D.二、填空題1.（2024甘肅威武）如圖1為一汽車停車棚，其棚頂?shù)臋M截面可以看作是拋物線的一部分，如圖2是棚頂?shù)呢Q直高度y（單位：）與距離停車棚支柱的水平距離x（單位：）近似滿足函數(shù)關(guān)系的圖象，點(diǎn)在圖象上．若一輛箱式貨車需在停車棚下避雨，貨車截面看作長(zhǎng)，高的矩形，則可判定貨車________完全停到車棚內(nèi)（填“能”或“不能”）．2.（2024廣西）如圖，壯壯同學(xué)投擲實(shí)心球，出手（點(diǎn)P處）的高度是，出手后實(shí)心球沿一段拋物線運(yùn)行，到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，水平距離是，高度是．若實(shí)心球落地點(diǎn)為M，則______．3.（2024四川德陽(yáng)）如圖，拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，與軸的一個(gè)交點(diǎn)位于0和1之間，則以下結(jié)論：①；②；③若拋物線經(jīng)過點(diǎn)，則；④若關(guān)于的一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根，則．其中正確結(jié)論是______（請(qǐng)?zhí)顚懶蛱?hào)）．三、解答題1.（2024甘肅臨夏）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，作直線．（1）求拋物線的解析式．（2）如圖1，點(diǎn)是線段上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，請(qǐng)問線段是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）如圖2，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作線段（點(diǎn)在直線下方），已知，若線段與拋物線有交點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．2.（2024甘肅威武）如圖1，拋物線交x軸于O，兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為．點(diǎn)C為的中點(diǎn)．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）過點(diǎn)C作，垂足為H，交拋物線于點(diǎn)E．求線段的長(zhǎng)．（3）點(diǎn)D為線段上一動(dòng)點(diǎn)（O點(diǎn)除外），在右側(cè)作平行四邊形．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)F落在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；②如圖3，連接，，求的最小值．3.（2024深圳）為了測(cè)量拋物線的開口大小，某數(shù)學(xué)興趣小組將兩把含有刻度的直尺垂直放置，并分別以水平放置的直尺和豎直放置的直尺為x，y軸建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，該數(shù)學(xué)小組選擇不同位置測(cè)量數(shù)據(jù)如下表所示，設(shè)的讀數(shù)為x，讀數(shù)為y，拋物線的頂點(diǎn)為C．（1）（Ⅰ）列表：①②③④⑤⑥x023456y012.2546.259（Ⅱ）描點(diǎn)：請(qǐng)將表格中的描在圖2中；（Ⅲ）連線：請(qǐng)用平滑的曲線在圖2將上述點(diǎn)連接，并求出y與x的關(guān)系式；（2）如圖3所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)為C，該數(shù)學(xué)興趣小組用水平和豎直直尺測(cè)量其水平跨度為，豎直跨度為，且，，為了求出該拋物線的開口大小，該數(shù)學(xué)興趣小組有如下兩種方案，請(qǐng)選擇其中一種方案，并完善過程：方案一：將二次函數(shù)平移，使得頂點(diǎn)C與原點(diǎn)O重合，此時(shí)拋物線解析式．①此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為________；②將點(diǎn)坐標(biāo)代入中，解得________；（用含m，n的式子表示）方案二：設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為①此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)為________；②將點(diǎn)B坐標(biāo)代入中解得________；（用含m，n的式子表示）（3）【應(yīng)用】如圖4，已知平面直角坐標(biāo)系中有A，B兩點(diǎn)，，且軸，二次函數(shù)和都經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，且和的頂點(diǎn)P，Q距線段的距離之和為10，求a的值．4.（2024貴州?。┠吵匈?gòu)入一批進(jìn)價(jià)為10元/盒的糖果進(jìn)行銷售，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：銷售單價(jià)不低于進(jìn)價(jià)時(shí)，日銷售量y（盒）與銷售單價(jià)x（元）是一次函數(shù)關(guān)系，下表是y與x的幾組對(duì)應(yīng)值．銷售單價(jià)x/元…1214161820…銷售量y/盒…5652484440…（1）求y與x的函數(shù)表達(dá)式；（2）糖果銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，所獲日銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？（3）若超市決定每銷售一盒糖果向兒童福利院贈(zèng)送一件價(jià)值為m元的禮品，贈(zèng)送禮品后，為確保該種糖果日銷售獲得的最大利潤(rùn)為392元，求m的值．5.（2024武漢市）16世紀(jì)中葉，我國(guó)發(fā)明了一種新式火箭“火龍出水”，它是二級(jí)火箭的始祖．火箭第一級(jí)運(yùn)行路徑形如拋物線，當(dāng)火箭運(yùn)行一定水平距離時(shí)，自動(dòng)引發(fā)火箭第二級(jí)，火箭第二級(jí)沿直線運(yùn)行．某科技小組運(yùn)用信息技術(shù)模擬火箭運(yùn)行過程．如圖，以發(fā)射點(diǎn)為原點(diǎn)，地平線為x軸，垂直于地面的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，分別得到拋物線和直線．其中，當(dāng)火箭運(yùn)行的水平距離為時(shí)，自動(dòng)引發(fā)火箭的第二級(jí)．（1）若火箭第二級(jí)的引發(fā)點(diǎn)的高度為．①直接寫出a，b的值；②火箭在運(yùn)行過程中，有兩個(gè)位置的高度比火箭運(yùn)行的最高點(diǎn)低，求這兩個(gè)位置之間的距離．（2）直接寫出a滿足什么條件時(shí)，火箭落地點(diǎn)與發(fā)射點(diǎn)的水平距離超過．6.（2024武漢市）拋物線交軸于，兩點(diǎn)（在的右邊），交軸于點(diǎn)．（1）直接寫出點(diǎn)，，的坐標(biāo)；（2）如圖（1），連接，，過第三象限的拋物線上的點(diǎn)作直線，交y軸于點(diǎn)．若平分線段，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）如圖（2），點(diǎn)與原點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，過原點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸下方），線段交拋物線于另一點(diǎn)，連接．若，求直線的解析式．7.（2024湖北?。┤鐖D1，二次函數(shù)交軸于和，交軸于．（1）求的值．（2）為函數(shù)圖象上一點(diǎn)，滿足，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)．（3）如圖2，將二次函數(shù)沿水平方向平移，新的圖象記為與軸交于點(diǎn)，記，記頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為．①求與的函數(shù)解析式．②記與軸圍成的圖象為與重合部分（不計(jì)邊界）記為，若隨增加而增加，且內(nèi)恰有2個(gè)橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)，直接寫出的取值范圍．8.（2024吉林省）小明利用一次函數(shù)和二次函數(shù)知識(shí)，設(shè)計(jì)了一個(gè)計(jì)算程序，其程序框圖如圖（1）所示，輸入x的值為時(shí)，輸出y的值為1；輸入x的值為2時(shí)，輸出y的值為3；輸入x的值為3時(shí)，輸出y的值為6．（1）直接寫出k，a，b的值．（2）小明在平面直角坐標(biāo)系中畫出了關(guān)于x的函數(shù)圖像，如圖（2）．Ⅰ．當(dāng)y隨x的增大而增大時(shí)，求x的取值范圍．Ⅱ．若關(guān)于x的方程（t為實(shí)數(shù)），在時(shí)無(wú)解，求t的取值范圍．Ⅲ．若在函數(shù)圖像上有點(diǎn)P，Q（P與Q不重合）．P的橫坐標(biāo)為m，Q的橫坐標(biāo)為．小明對(duì)P，Q之間（含P，Q兩點(diǎn)）的圖像進(jìn)行研究，當(dāng)圖像對(duì)應(yīng)函數(shù)的最大值與最小值均不隨m的變化而變化，直接寫出m的取值范圍．2024年中考數(shù)學(xué)真題專題分類精選匯編（2025年中考復(fù)習(xí)全國(guó)通用）專題13二次函數(shù)的綜合題一、選擇題1.（2024四川瀘州）已知二次函數(shù)（x是自變量）的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】本題考查了二次函數(shù)圖象與性質(zhì)．利用二次函數(shù)的性質(zhì)，拋物線與軸有2個(gè)交點(diǎn)，開口向上，而且與軸的交點(diǎn)不在負(fù)半軸上，然后解不等式組即可．【詳解】二次函數(shù)圖象經(jīng)過第一、二、四象限，設(shè)拋物線與軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，由題意可得解得．故選：A．2.（2024四川自貢）一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中圖象如圖所示，則n的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象，一次函數(shù)圖象，二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)題意列不等式組，解不等式組即可得到結(jié)論，正確地識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)題意得：，解得：，∴的取值范圍是，故選：C．二、填空題1.（2024甘肅威武）如圖1為一汽車停車棚，其棚頂?shù)臋M截面可以看作是拋物線的一部分，如圖2是棚頂?shù)呢Q直高度y（單位：）與距離停車棚支柱的水平距離x（單位：）近似滿足函數(shù)關(guān)系的圖象，點(diǎn)在圖象上．若一輛箱式貨車需在停車棚下避雨，貨車截面看作長(zhǎng)，高的矩形，則可判定貨車________完全停到車棚內(nèi)（填“能”或“不能”）．【答案】能【解析】本題主要考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題意求出當(dāng)時(shí)，y的值，若此時(shí)y的值大于，則貨車能完全停到車棚內(nèi)，反之，不能，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵，，∴，中，當(dāng)時(shí)，，∵，∴可判定貨車能完全停到車棚內(nèi)，故答案為：能．2.（2024廣西）如圖，壯壯同學(xué)投擲實(shí)心球，出手（點(diǎn)P處）的高度是，出手后實(shí)心球沿一段拋物線運(yùn)行，到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，水平距離是，高度是．若實(shí)心球落地點(diǎn)為M，則______．【答案】【解析】本題考查的是二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，設(shè)拋物線為，把點(diǎn)，代入即可求出解析式；當(dāng)時(shí)，求得x的值，即為實(shí)心球被推出的水平距離．【詳解】以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線方向?yàn)閤軸正半軸，射線方向?yàn)閥軸正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，∵出手后實(shí)心球沿一段拋物線運(yùn)行，到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，水平距離是，高度是．設(shè)拋物線解析式為：，把點(diǎn)代入得：，解得：，∴拋物線解析式為：；當(dāng)時(shí)，，解得，（舍去），，即此次實(shí)心球被推出的水平距離為．故答案為：3.（2024四川德陽(yáng)）如圖，拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，與軸的一個(gè)交點(diǎn)位于0和1之間，則以下結(jié)論：①；②；③若拋物線經(jīng)過點(diǎn)，則；④若關(guān)于的一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根，則．其中正確結(jié)論是______（請(qǐng)?zhí)顚懶蛱?hào)）．【答案】①②④【解析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．①利用拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和開口方向即可判斷；②利用拋物線的對(duì)稱軸求出，根據(jù)圖象可得當(dāng)時(shí)，，即可判斷；③利用拋物線的對(duì)稱軸，設(shè)兩點(diǎn)橫坐標(biāo)與對(duì)稱軸的距離為，求出距離，根據(jù)圖象可得，距離對(duì)稱軸越近的點(diǎn)的函數(shù)值越大，即可判斷；④根據(jù)圖象即可判斷．【詳解】解：①∵拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，∴，即，由圖可知，拋物線開口方向向下，即，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，故①正確，符合題意；②∵直線是拋物線的對(duì)稱軸，∴，∴，∴由圖象可得：當(dāng)時(shí)，，∴，即，故②正確，符合題意；③∵直線是拋物線的對(duì)稱軸，設(shè)兩點(diǎn)橫坐標(biāo)與對(duì)稱軸的距離為，則，，∴，根據(jù)圖象可得，距離對(duì)稱軸越近的點(diǎn)的函數(shù)值越大，∴，故③錯(cuò)誤，不符合題意；④如圖，∵關(guān)于x的一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根，∴，故④正確，符合題意．故答案為：①②④三、解答題1.（2024甘肅臨夏）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，作直線．（1）求拋物線的解析式．（2）如圖1，點(diǎn)是線段上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，請(qǐng)問線段是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）如圖2，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作線段（點(diǎn)在直線下方），已知，若線段與拋物線有交點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．【答案】（1）（2）存在，最大值是，（3）或【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．（1）兩點(diǎn)式直接求出函數(shù)解析式即可；（2）過點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，設(shè)，根據(jù)三角函數(shù)得到，得到當(dāng)最大時(shí)，的值最大，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值即可；（3）設(shè)，得到，求出點(diǎn)恰好在拋物線上且時(shí)的值，即可得出結(jié)果．【小問1詳解】解：∵拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，∴，∴；【小問2詳解】存在；∵，∴當(dāng)時(shí)，，∴，∵，∴，∴，設(shè)直線的解析式為：，把代入，得：，∴，過點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，設(shè)，則：，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴當(dāng)最大時(shí)，最大，∵，∴當(dāng)時(shí)，的最大值為，此時(shí)最大，為，∴；【小問3詳解】設(shè)，則：，當(dāng)點(diǎn)恰好在拋物線上時(shí)，則：，∴，當(dāng)時(shí)，則：，解得：或，∵線段與拋物線有交點(diǎn)，∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的取值范圍是或．2.（2024甘肅威武）如圖1，拋物線交x軸于O，兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為．點(diǎn)C為的中點(diǎn)．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）過點(diǎn)C作，垂足為H，交拋物線于點(diǎn)E．求線段的長(zhǎng)．（3）點(diǎn)D為線段上一動(dòng)點(diǎn)（O點(diǎn)除外），在右側(cè)作平行四邊形．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)F落在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；②如圖3，連接，，求的最小值．【答案】（1）（2）（3）①②【解析】【分析】（1）根據(jù)頂點(diǎn)為．設(shè)拋物線，把代入解析式，計(jì)算求解即可；（2）根據(jù)頂點(diǎn)為．點(diǎn)C為的中點(diǎn)，得到，當(dāng)時(shí)，，得到．結(jié)合，垂足為H，得到的長(zhǎng)．（3）①根據(jù)題意，得，結(jié)合四邊形是平行四邊形，設(shè)，結(jié)合點(diǎn)F落在拋物線上，得到，解得即可；②過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)N，作點(diǎn)D關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)G，過點(diǎn)G作軸于點(diǎn)H，連接，，，利用平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，矩形判定和性質(zhì)，計(jì)算解答即可．【小問1詳解】∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．設(shè)拋物線，把代入解析式，得，解得，∴．【小問2詳解】∵頂點(diǎn)為．點(diǎn)C為的中點(diǎn)，∴，∵，∴軸，∴E的橫坐標(biāo)為1，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，∴．∴．【小問3詳解】①根據(jù)題意，得，∵四邊形是平行四邊形，∴點(diǎn)C，點(diǎn)F的縱坐標(biāo)相同，設(shè)，∵點(diǎn)F落在拋物線上，∴，解得，(舍去)；故．②過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)N，作點(diǎn)D關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)G，過點(diǎn)G作軸于點(diǎn)H，連接，，，則四邊形矩形，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，故當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，∵，∴的最小值，就是的最小值，且最小值就是，延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)M，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故的最小值是．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)求線段和的最小值，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3.（2024深圳）為了測(cè)量拋物線的開口大小，某數(shù)學(xué)興趣小組將兩把含有刻度的直尺垂直放置，并分別以水平放置的直尺和豎直放置的直尺為x，y軸建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，該數(shù)學(xué)小組選擇不同位置測(cè)量數(shù)據(jù)如下表所示，設(shè)的讀數(shù)為x，讀數(shù)為y，拋物線的頂點(diǎn)為C．（1）（Ⅰ）列表：①②③④⑤⑥x023456y012.2546.259（Ⅱ）描點(diǎn)：請(qǐng)將表格中的描在圖2中；（Ⅲ）連線：請(qǐng)用平滑的曲線在圖2將上述點(diǎn)連接，并求出y與x的關(guān)系式；（2）如圖3所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)為C，該數(shù)學(xué)興趣小組用水平和豎直直尺測(cè)量其水平跨度為，豎直跨度為，且，，為了求出該拋物線的開口大小，該數(shù)學(xué)興趣小組有如下兩種方案，請(qǐng)選擇其中一種方案，并完善過程：方案一：將二次函數(shù)平移，使得頂點(diǎn)C與原點(diǎn)O重合，此時(shí)拋物線解析式．①此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為________；②將點(diǎn)坐標(biāo)代入中，解得________；（用含m，n的式子表示）方案二：設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為①此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)為________；②將點(diǎn)B坐標(biāo)代入中解得________；（用含m，n的式子表示）（3）【應(yīng)用】如圖4，已知平面直角坐標(biāo)系中有A，B兩點(diǎn)，，且軸，二次函數(shù)和都經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，且和的頂點(diǎn)P，Q距線段的距離之和為10，求a的值．【答案】（1）圖見解析，；（2）方案一：①；②；方案二：①；②；（3）a的值為或．【解析】【分析】（1）描點(diǎn)，連線，再利用待定系數(shù)法求解即可；（2）根據(jù)圖形寫出點(diǎn)或點(diǎn)B的坐標(biāo)，再代入求解即可；（3）先求得，，的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，再求得頂點(diǎn)距線段的距離為，得到的頂點(diǎn)距線段的距離為，得到的頂點(diǎn)坐標(biāo)為或，再分類求解即可．【小問1詳解】解：描點(diǎn)，連線，函數(shù)圖象如圖所示，觀察圖象知，函數(shù)為二次函數(shù)，設(shè)拋物線的解析式為，由題意得，解得，∴y與x的關(guān)系式為；【小問2詳解】解：方案一：①∵，，∴，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；故答案：；②由題意得，解得，故答案為：；方案二：①∵C點(diǎn)坐標(biāo)為，，，∴，此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)為；故答案為：；②由題意得，解得，故答案為：；【小問3詳解】解：根據(jù)題意和的對(duì)稱軸為，則，，的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴頂點(diǎn)距線段的距離為，∴的頂點(diǎn)距線段的距離為，∴的頂點(diǎn)坐標(biāo)為或，當(dāng)?shù)捻旤c(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，，將代入得，解得；當(dāng)?shù)捻旤c(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，，將代入得，解得；綜上，a的值為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，拋物線的平移等，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．4.（2024貴州?。┠吵匈?gòu)入一批進(jìn)價(jià)為10元/盒的糖果進(jìn)行銷售，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：銷售單價(jià)不低于進(jìn)價(jià)時(shí)，日銷售量y（盒）與銷售單價(jià)x（元）是一次函數(shù)關(guān)系，下表是y與x的幾組對(duì)應(yīng)值．銷售單價(jià)x/元…1214161820…銷售量y/盒…5652484440…（1）求y與x的函數(shù)表達(dá)式；（2）糖果銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，所獲日銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？（3）若超市決定每銷售一盒糖果向兒童福利院贈(zèng)送一件價(jià)值為m元的禮品，贈(zèng)送禮品后，為確保該種糖果日銷售獲得的最大利潤(rùn)為392元，求m的值．【答案】（1）（2）糖果銷售單價(jià)定為25元時(shí)，所獲日銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是450元（3）2【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）設(shè)日銷售利潤(rùn)為w元，根據(jù)利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×銷售量求出w關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（3）設(shè)日銷售利潤(rùn)為w元，根據(jù)利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×銷售量-m×銷售量求出w關(guān)于x函數(shù)表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【小問1詳解】解∶設(shè)y與x函數(shù)表達(dá)式為，把，；，代入，得，解得，∴y與x的函數(shù)表達(dá)式為；【小問2詳解】解：設(shè)日銷售利潤(rùn)為w元，根據(jù)題意，得，∴當(dāng)時(shí)，有最大值為450，∴糖果銷售單價(jià)定為25元時(shí)，所獲日銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是450元；【小問3詳解】解：設(shè)日銷售利潤(rùn)為w元，根據(jù)題意，得，∴當(dāng)時(shí)，有最大值為，∵糖果日銷售獲得的最大利潤(rùn)為392元，∴，化簡(jiǎn)得解得，當(dāng)時(shí)，,則每盒的利潤(rùn)為：,舍去，∴m的值為2．5.（2024武漢市）16世紀(jì)中葉，我國(guó)發(fā)明了一種新式火箭“火龍出水”，它是二級(jí)火箭的始祖．火箭第一級(jí)運(yùn)行路徑形如拋物線，當(dāng)火箭運(yùn)行一定水平距離時(shí)，自動(dòng)引發(fā)火箭第二級(jí)，火箭第二級(jí)沿直線運(yùn)行．某科技小組運(yùn)用信息技術(shù)模擬火箭運(yùn)行過程．如圖，以發(fā)射點(diǎn)為原點(diǎn)，地平線為x軸，垂直于地面的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，分別得到拋物線和直線．其中，當(dāng)火箭運(yùn)行的水平距離為時(shí)，自動(dòng)引發(fā)火箭的第二級(jí)．（1）若火箭第二級(jí)的引發(fā)點(diǎn)的高度為．①直接寫出a，b的值；②火箭在運(yùn)行過程中，有兩個(gè)位置的高度比火箭運(yùn)行的最高點(diǎn)低，求這兩個(gè)位置之間的距離．（2）直接寫出a滿足什么條件時(shí)，火箭落地點(diǎn)與發(fā)射點(diǎn)的水平距離超過．【答案】（1）①，；②（2）【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）①將代入即可求解；②將變?yōu)?，即可確定頂點(diǎn)坐標(biāo)，得出，進(jìn)而求得當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的x的值，然后進(jìn)行比較再計(jì)算即可；（2）若火箭落地點(diǎn)與發(fā)射點(diǎn)的水平距離為，求得，即可求解．【小問1詳解】解：①∵火箭第二級(jí)的引發(fā)點(diǎn)的高度為∴拋物線和直線均經(jīng)過點(diǎn)∴，解得，．②由①知，，∴∴最大值當(dāng)時(shí)，則解得，又∵時(shí)，∴當(dāng)時(shí)，則解得∴這兩個(gè)位置之間的距離．【小問2詳解】解：當(dāng)水平距離超過時(shí)，火箭第二級(jí)的引發(fā)點(diǎn)為，將，代入，得，解得，∴．6.（2024武漢市）拋物線交軸于，兩點(diǎn)（在的右邊），交軸于點(diǎn)．（1）直接寫出點(diǎn)，，的坐標(biāo)；（2）如圖（1），連接，，過第三象限的拋物線上的點(diǎn)作直線，交y軸于點(diǎn)．若平分線段，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）如圖（2），點(diǎn)與原點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，過原點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸下方），線段交拋物線于另一點(diǎn)，連接．若，求直線的解析式．【答案】（1），，（2）（3）【解析】【分析】（1）分別令，解方程，即可求解；（2）分別求得直線，根據(jù)得出的解析式，設(shè)，進(jìn)而求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)平分線段，則的中點(diǎn)在直線上，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線解析式，即可求解．（3）過點(diǎn)作軸，過點(diǎn)分別作的垂線，垂足分別為，證明，得出，先求得點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)直線的解析式為，直線的解析式為，聯(lián)立拋物線解析式，設(shè)，，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得出，，，進(jìn)而求得，代入，化簡(jiǎn)后得出，即，進(jìn)而即可求解．【小問1詳解】解：由，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)，解得：∵在的右邊∴，，【小問2詳解】解：設(shè)直線的解析式為將，代入得，解得：∴直線的解析式為∵設(shè)直線的解析式為∵在第三象限的拋物線上設(shè)，∴∴∴設(shè)的中點(diǎn)為，則由，，設(shè)直線的解析式為，將代入得，，解得：∴直線的解析式為，∵平分線段，∴在直線上，∴解得：（舍去）當(dāng)時(shí)，∴；【小問3詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)作軸，過點(diǎn)分別作的垂線，垂足分別為，∴∴∴∴即∵點(diǎn)與原點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，∴,設(shè)直線的解析式為，直線的解析式為聯(lián)立直線與拋物線解析式可得，，即聯(lián)立直線與拋物線解析式可得，即設(shè)，，∴，，，∴，∵∴，將代入得：∴，∴，∴直線解析式為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問題，一次函數(shù)與二次函數(shù)綜合，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，相似三角形的性質(zhì)與判定，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．7.（2024湖北?。┤鐖D1，二次函數(shù)交軸于和，交軸于．（1）求的值．（2）為函數(shù)圖象上一點(diǎn)，滿足，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)．（3）如圖2，將二次函數(shù)沿水平方向平移，新的圖象記為與軸交于點(diǎn)，記，記頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為．①求與的函數(shù)解析式．②記與軸圍成的圖象為與重合部分（不計(jì)邊界）記為，若隨增加而增加，且內(nèi)恰有2個(gè)橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)，直接寫出的取值范圍．【答案】（1）；（2）或；（3）①；②的取值范圍為或．【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求得，，作軸于點(diǎn)，設(shè)，分當(dāng)點(diǎn)在軸上方和點(diǎn)在軸下方時(shí)，兩種情況討論，利用相似三角形的判定和性質(zhì)，列式求解即可；（3）①利用平移的性質(zhì)得圖象的解析式為，得到圖象與軸交于點(diǎn)的坐標(biāo)，據(jù)此列式計(jì)算即可求解；②先求得或，中含，，三個(gè)整數(shù)點(diǎn)（不含邊界），再分三種情況討論，分別列不等式組，求解即可．【小問1詳解】解：∵二次函數(shù)交軸于，∴，解得；【小問2詳解】解：∵，∴，令，則，解得或，令，則，∴，，，作軸于點(diǎn)，設(shè)，當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，如圖，∵，∴，∴，即，解得或（舍去）；當(dāng)點(diǎn)在軸下方時(shí)，如圖，∵，∴，∴，即，解得或（舍去）；∴或；【小問3詳解】解：①∵將二次函數(shù)沿水平方向平移，∴縱坐標(biāo)不變是4，∴圖象的解析式為，∴，∴，由題意知：C、D不重合，則，∴；②由①得，則函數(shù)圖象如圖，∵隨增加而增加，∴或，中含，，三個(gè)整數(shù)點(diǎn)（不含邊界），當(dāng)內(nèi)恰有2個(gè)整數(shù)點(diǎn)，時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，或，∴；∵或，∴；當(dāng)內(nèi)恰有2個(gè)整數(shù)點(diǎn)，時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，∴或，，∴；∵或，∴；當(dāng)內(nèi)恰有2個(gè)整數(shù)點(diǎn)，時(shí)，此情況不存在，舍去，綜上，的取值范圍為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達(dá)式及二次函數(shù)與線段的交點(diǎn)問題，也考查了二次函數(shù)與不等式，相似三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合法是解題的關(guān)鍵．8.（2024吉林省）小明利用一次函數(shù)和二次函數(shù)知識(shí)，設(shè)計(jì)了一個(gè)計(jì)算程序，其程序框圖如圖（1）所示，輸入x的值為時(shí)，輸出y的值為1；輸入x的值為2時(shí)，輸出y的值為3；輸入x