福建省泉州永春僑中2026屆數(shù)學(xué)高二上期末調(diào)研試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在中，B=30°，BC=2，AB=，則邊AC的長等于（）A. B.1C. D.22．已知橢圓和雙曲線有共同的焦點，分別是它們的在第一象限和第三象限的交點，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，則等于（）A.4 B.2C.2 D.33．?dāng)?shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合也可以組成世間萬物的絢麗畫面，-些優(yōu)美的曲線是數(shù)學(xué)形象美、對稱美、和諧美的產(chǎn)物.曲線C：為四葉玫瑰線.①方程(xy<0)表示的曲線在第二和第四象限；②曲線C上任一點到坐標(biāo)原點0的距離都不超過2；③曲線C構(gòu)成的四葉玫瑰線面積大于4π；④曲線C上有5個整點(橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點).則上述結(jié)論中正確的個數(shù)是（）A.1 B.2C.3 D.44．圓與圓的位置關(guān)系為（）A.內(nèi)切 B.外切C.相交 D.相離5．己知命題；命題，則下列命題中為假命題的是（）A. B.C. D.6．已知空間向量，，，下列命題中正確的個數(shù)是（）①若與共線，與共線，則與共線；②若，，非零且共面，則它們所在的直線共面；⑧若，，不共面，那么對任意一個空間向量，存在唯一有序?qū)崝?shù)組，使得；④若，不共線，向量，則可以構(gòu)成空間的一個基底.A.0 B.1C.2 D.37．在如圖所示的莖葉圖中，若甲組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為16，則乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為（）A.12 B.10C.8 D.68．參加抗疫的300名醫(yī)務(wù)人員，編號為1，2，…，300.為了解這300名醫(yī)務(wù)人員的年齡情況，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法從中抽取15名醫(yī)務(wù)人員的年齡進(jìn)行調(diào)查.若抽到的第一個編號為6，則抽到的第二個編號為（）A.21 B.26C.31 D.369．如圖，、分別是橢圓的左頂點和上頂點，從橢圓上一點向軸作垂線，垂足為右焦點，且，點到右準(zhǔn)線的距離為，則橢圓方程為（）A. B.C. D.10．在等腰中，在線段斜邊上任取一點，則線段的長度大于的長度的概率（）A B.C. D.11．若，則與的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.不能確定12．已知、，直線，，且，則的最小值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知三棱錐中，平面BCD，，，，則三棱錐的外接球的表面積為_____.14．命題“，”的否定是____________.15．某單位現(xiàn)有三個部門競崗，甲、乙、丙三人每人只競選一個部門，設(shè)事件A為“三人競崗部門都不同”，B為“甲獨自競崗一個部門”，則______.16．已知函數(shù)在處有極值2，則______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列{}的首項＝2，(n≥2，)，，.（1）證明：{+1}為等比數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列{}的前n項和，求證：.18．（12分）已知，其中.（1）若,求在處的切線方程；（2）若是函數(shù)的極小值點，求函數(shù)在區(qū)間上的最值；（3）討論函數(shù)的單調(diào)性.19．（12分）已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點，焦點在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過，，三點，求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程20．（12分）已知圓M：的圓心為M，圓N：的圓心為N，一動圓與圓N內(nèi)切，與圓M外切，動圓的圓心E的軌跡為曲線C（1）求曲線C的方程；（2）已知點，直線l與曲線C交于A，B兩點，且，直線l是否過定點？若過定點，求出定點坐標(biāo)；若不過定點，請說明理由21．（12分）已如橢圓C：＝1（a＞b＞0）的有頂點為M（2，0），且離心率e＝，點A，B是橢圓C上異于點M的不同的兩點（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)直線MA與直線MB的斜率分別為k1，k2，若k1?k2＝，證明：直線AB一定過定點22．（10分）已知某中學(xué)高二物化生組合學(xué)生的數(shù)學(xué)與物理的水平測試成績抽樣統(tǒng)計如下表：若抽取了名學(xué)生，成績分為A（優(yōu)秀），B（良好），C（及格）三個等級，設(shè)，分別表示數(shù)學(xué)成績與物理成績，例如：表中物理成績?yōu)锳等級的共有（人），數(shù)學(xué)成績?yōu)锽等級且物理成績?yōu)镃等級的共有8人，已知與均為A等級的概率是0.07（1）設(shè)在該樣本中，數(shù)學(xué)成績的優(yōu)秀率是30％，求，的值；（2）已知，，求數(shù)學(xué)成績?yōu)锳等級的人數(shù)比C等級的人數(shù)多的概率

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】利用余弦定理即得【詳解】由余弦定理，得，解得AC=1故選：B.2、A【解析】設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，由定義可得，，在中利用余弦定理可得，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，不妨設(shè)在第一象限，根據(jù)橢圓和雙曲線定義，得，，，由可得，又，在中，，即，化簡得，兩邊同除以，得.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查共焦點的橢圓與雙曲線的離心率問題，解題的關(guān)鍵是利用定義以及焦點三角形的關(guān)系列出齊次方程式進(jìn)行求解.3、B【解析】對于①，由判斷，對于②，利用基本不等式可判斷，對于③，以為圓心，2為半徑的圓的面積與曲線圍成的面積進(jìn)行比較即可，對于④，將和聯(lián)立，求解出兩曲線的切點，從而可判斷【詳解】對于①，由，得異號，方程(xy<0)關(guān)于原點及y=x對稱，所以方程(xy<0)表示的曲線在第二和第四象限，所以①正確，對于②，因為，所以，所以，所以，所以由曲線的對稱性可知曲線C上任一點到坐標(biāo)原點0的距離都不超過2，所以②正確，對于③，由②可知曲線C上到原點的距離不超過2，而以為圓心，2為半徑的圓的面積為，所以曲線C構(gòu)成的四葉玫瑰線面積小于4π，所以③錯誤，對于④，將和聯(lián)立，解得，所以可得圓與曲線C相切于點，，，，而點（1，1）不滿足曲線方程，所以曲線在第一象限不經(jīng)過任何整數(shù)點，由曲線的對稱性可知曲線在其它象限也不經(jīng)過任何整數(shù)點，所以曲線C上只有1個整點（0，0），所以④錯誤，故選：B4、B【解析】求出兩圓的圓心距與半徑之和、半徑之差比較大小即可得出正確答案.【詳解】由可得圓心為，半徑，由可得圓心為，半徑，所以圓心距為，所以兩圓相外切，故選：B.5、A【解析】根據(jù)或且非命題的真假進(jìn)行判斷即可.【詳解】當(dāng),故命題是真命題，，故命題是真命題.因此可知是假命題，是真命題，，均為真命題.故選:A6、B【解析】用向量共線或共面的基本定理即可判斷.【詳解】若與，與共線，，則不能判定，故①錯誤；若非零向量共面，則向量可以在一個與組成的平面平行的平面上，故②錯誤；不共面，意味著它們都是非零向量，可以作為一組基底，故③正確；，∴與共面，故不能組成一個基底，故④錯誤；故選：C.7、A【解析】根據(jù)眾數(shù)的概念，求得的值，再根據(jù)平均數(shù)的計算公式，即可求解.【詳解】由題意，甲組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為16，得，所以乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為故選：A.8、B【解析】將300個數(shù)編號：001，002，003，，3000，再平均分為15個小組，然后按系統(tǒng)抽樣方法得解.【詳解】將300個數(shù)編號：001，002，003，，3000，再平均分為15個小組，則第一編號為006，第二個編號為.故選：B.9、A【解析】設(shè)橢圓方程為，設(shè)該橢圓的焦距為，則，求出點的坐標(biāo)，根據(jù)可得出，可得出，，結(jié)合已知條件求得的值，可得出、的值，即可得出橢圓的方程.【詳解】設(shè)橢圓方程為，設(shè)該橢圓的焦距為，則，由圖可知，點第一象限，將代入橢圓方程得，得，所以，點，易知點、，，，因為，則，得，可得，則，點到右準(zhǔn)線的距離為為，則，，因此，橢圓的方程為.故選：A.10、C【解析】利用幾何概型的長度比值，即可計算.【詳解】設(shè)直角邊長，斜邊，則線段的長度大于的長度的概率.故選：C11、B【解析】由題知，進(jìn)而研究的符號即可得答案.詳解】解：，所以，即.故選：B12、D【解析】先由，可得，變形得，所以，化簡后利用基本不等式求解即可【詳解】因為、，直線，，且，所以，即，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，所以的最小值為，故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題意可知三棱錐的外接球即為三棱柱的外接球，進(jìn)而求出三棱柱的外接球的半徑即可得出結(jié)果.【詳解】因為，，所以，故，又因為平面BCD，因此三棱錐的外接球即為三棱柱的外接球，如圖：取的中點，則為外接圓的圓心，取的中點，則為外接圓的圓心，則的中點即為外接球的球心，因此，,因此，所以三棱錐的外接球的表面積為，故答案為：.14、，【解析】根據(jù)全稱命題量詞的否定即可得出結(jié)果.【詳解】命題“”的否定是“，”故答案為：15、##0.5【解析】根據(jù)給定條件求出事件B和AB的概率，再利用條件概率公式計算作答.【詳解】依題意，，，所以.故答案：16、6【解析】根據(jù)函數(shù)在處有極值2，可得，解方程組即可得解.【詳解】解：，因為函數(shù)在處有極值2，所以，即，解得，則，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在處有極大值，所以，所以.故答案為：6.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】(1)利用已知條件證明為常數(shù)即可；(2)求出和通項公式，再求出通項公式，利用裂項相消法可求，判斷的單調(diào)性即可求其范圍.【小問1詳解】∵＝2，(n≥2，)，∴當(dāng)n≥2時，(常數(shù))，∴數(shù)列{＋1}是公比為3的等比數(shù)列；【小問2詳解】由(1)知，數(shù)列{＋1}是以3為首項，以3為公比的等比數(shù)列，∴，∴，∴∵，∴∴，∴∴.當(dāng)n≥2時，∴{}為遞增數(shù)列，故的最小值為，∴.18、（1）；（2）最大值為5，最小值為；（3）答案見解析.【解析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，然后求出切線方程；（2）根據(jù)求出a，進(jìn)而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后求出函數(shù)的最值；（3）先求出導(dǎo)函數(shù)，然后討論a的取值范圍，進(jìn)而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【小問1詳解】當(dāng)時，，，切點坐標(biāo)為，，切線的斜率為，切線方程為，即.【小問2詳解】，是函數(shù)的極小值點，，即，，令，得或，令，得，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，的單調(diào)遞減區(qū)間為，，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為5，最小值為.【小問3詳解】函數(shù)的定義域為，，令得，.①當(dāng)時，，函數(shù)在R上單調(diào)遞增；②當(dāng)時，，令，得或，令，得，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，的單調(diào)遞減區(qū)間為；③當(dāng)時，，令，得或，令，得，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，的單調(diào)遞減區(qū)間為.綜上：時，，函數(shù)R上單調(diào)遞增；時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為.19、【解析】分橢圓的焦點在軸上與焦點在軸上，兩種情況討論，利用待定系數(shù)法求出橢圓方程；【詳解】解：（1）當(dāng)橢圓的焦點在軸上時，設(shè)其方程為()，則又點C在橢圓上，得，解得，所以橢圓E的方程為（2）當(dāng)橢圓的焦點在軸上時，設(shè)其方程為()，則又點C在橢圓上，得，解得，這與矛盾綜上可知，橢圓的方程為20、（1），；（2）過，.【解析】（1）根據(jù)兩圓內(nèi)切和外切的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線的定義進(jìn)行求解即可；（2）設(shè)出直線l的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式進(jìn)行求解判斷即可.【小問1詳解】設(shè)圓E的圓心為，半徑為r，則，，所以由雙曲線定義可知，E的軌跡是以M，N為焦點、實軸長為6的雙曲線的右支，所以動圓的圓心E的軌跡方程為，；【小問2詳解】設(shè)，，直線l的方程為由得，且，故又，所以又，，所以，即．又故或若，則直線l的方程為，過點，與題意矛盾，所以，故，所以直線l的方程為，過點【點睛】關(guān)鍵點睛：利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.21、（I）；（II）證明見解析.【解析】（I）根據(jù)頂點坐標(biāo)求得，根據(jù)離心率求得，由此求得，進(jìn)而求得橢圓方程.（II）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，寫出根與系數(shù)關(guān)系，根據(jù)，求得的關(guān)系式，由此判斷直線過定點.【詳解】（I）由于是橢圓的頂點，所以，由于，所以，所以，所以橢圓方程為.（II）由于是橢圓上異于點的不同的兩點，所以可設(shè)直線的方程為，設(shè)，由