高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省常州市2026屆高三上學(xué)期11月期中質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合是質(zhì)數(shù)，，則（）A. B.{2} C.{3} D.【答案】C【解析】由，解得，故.因為，要使是質(zhì)數(shù)，必須是整數(shù)，而必須是2的正因數(shù).因為2的正因數(shù)有1和2，所以當(dāng)時，，此時，4不是質(zhì)數(shù)，不符合要求，舍去；所以當(dāng)時，，此時，3是質(zhì)數(shù)，符合要求，故.所以.故選：C.2.某店日盈利（單位：百元）與當(dāng)天平均氣溫（單位：）之間有如下數(shù)據(jù)：-2-1012百元54221小明對上述數(shù)據(jù)進行分析，發(fā)現(xiàn)與之間具有線性相關(guān)關(guān)系，則關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意可知，，樣本中心點為，由樣本數(shù)據(jù)可知，隨著的增大而減小，所以符合條件.故選：B.3.下列四個命題中，是假命題的為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對于A，取，，A是真命題；對于B，取，，B是真命題；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，因此當(dāng)時，，C是真命題；對于D，當(dāng)時，，D是假命題.故選：D.4.已知隨機變量，若，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為，所以，所以，又.故選：D.5.將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，再將得到的曲線上每一個點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到，再將得到的曲線上每一個點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變），得.故選：A.6.已知圓柱和圓錐的底面半徑相同，母線長也相同，則它們的表面積之比為（）A. B. C. D.3：1【答案】C【解析】設(shè)它們底面圓半徑為，母線長為，記圓柱的表面積為，則，記圓錐的表面積為，則，所以圓柱與圓錐表面積之比.故選：C.7.若實數(shù)，，，則的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為，，由，所以，即.設(shè)函數(shù)，，則，.由；由.即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以，所以.所以，即.綜上，.故選：A.8.已知函數(shù)是函數(shù)的圖象上的定點，過的動直線與函數(shù)的圖象有異于的兩個公共點，且它們的縱坐標(biāo)之和恒為2，則的橫坐標(biāo)為（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】因為在函數(shù)的圖象上，所以可設(shè)，設(shè)直線方程為：，代入得：，化簡得：.因為為該方程的1個根，所以方程可化成，即.所以.設(shè)，，則，為方程的兩根，所以，由，即恒成立.所以x1由及可得，解得，由可得，將代入該式得，即，，所以，所以，即點的橫坐標(biāo)為：.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知是虛數(shù)，且．下列四個選項中，的可能取值有（）A.0 B.i C.1 D.【答案】AC【解析】由是虛數(shù)，，設(shè)，則，因此的可能取值有0和1.故選：AC.10.立德中學(xué)某班名同學(xué)參加“青春向黨”知識競賽答題活動，其成績均為正整數(shù)，中位數(shù)為，唯一眾數(shù)為，極差為，則下列說法正確的是（）A.該組數(shù)據(jù)的最小值可能為 B.該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)不超過C.該數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為 D.該組數(shù)據(jù)的方差超過【答案】BCD【解析】由題意設(shè)該組數(shù)據(jù)從小到大為、、、、，由題意可得，，，可得，A錯；這組數(shù)據(jù)為、、、、，則，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，B對；對于C選項，因為，所以該數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為，C對；對于D選項，當(dāng)時，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，這組數(shù)的方差為，當(dāng)時，這組數(shù)的平均數(shù)為，這組數(shù)的方差為，當(dāng)時，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，這組數(shù)的方差為，當(dāng)，此時這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，這組數(shù)的方差為，因此，這組數(shù)據(jù)的方差大于，D對.故選：BCD.11.已知在矩形中，，為線段的中點，將分別沿翻折，使得兩點重合于點，則（）A.B.三棱錐的體積為C.點到平面的距離為D.存在半徑為的球，使得四點均在球的球面上【答案】AC【解析】對A：，，，有，故，故A正確；對B：由，故、，又、平面，，故平面，故，故B錯誤；對C：設(shè)點到平面的距離為，則由可得：，則，故C正確；對D：設(shè)三棱錐外接球球心為，半徑為，由，平面，取中點，則，且，則，則有，即，故D錯誤.故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在的展開式中，含的項的系數(shù)為___________．【答案】2【解析】在的展開式中，從個因式中，個因式選擇，個因式選擇常數(shù)相乘的積即可得含的項，所以含的項的系數(shù)為.故答案為：.13.已知平面向量，其中是銳角．若，則___________．【答案】【解析】向量，由，得，由是銳角，得，所以.故答案為：.14.某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會把紙沿某直線折疊，現(xiàn)有一張長方形紙（）．若將長方形紙對折，使得重合，得到新的長方形，發(fā)現(xiàn)長邊與短邊的長度比保持不變．若將長方形紙的頂點折到邊上，設(shè)折痕所在直線與的夾角為，當(dāng)折痕最短時，___________．【答案】【解析】設(shè)中點為,中點依次記為,中點記為,連接.設(shè),因為在上，所以的中點在線段上.折痕為過,且,情況分三種，如圖1，2，3.由題意，,得.情形1：如圖1，折痕.情形2：如圖2，，,,所以.情形3：如圖3.當(dāng)與重合時，取得最小值.如圖4，此時.由,得,所以.故當(dāng)折痕最短時，.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.為調(diào)查某地區(qū)老人是否需要志愿者提供幫助，用簡單隨機抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人，調(diào)查結(jié)果如下表：男性女性需要4020不需要160280（1）在該地區(qū)男性老年人中，隨機選擇一位，他需要志愿者提供幫助的概率記為，求的估計值；（2）能否有99%的把握認為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)；并指出該調(diào)查中更優(yōu)的抽樣方法．參考公式：，其中．參考數(shù)據(jù)：0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.879解：（1）抽取的樣本中，男性老年人共有200人，需要志愿者提供幫助的有40人，頻率為，所以的估計值是.（2）列聯(lián)表如下：男性女性合計需要402060不需要160280440合計200300500，所以有99%的把握認為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān).由于該地區(qū)老年人是否需要幫助與性別有關(guān)，并且從樣本數(shù)據(jù)能看出男性老年人需要幫助的需求較高，與女性老年人有明顯差異，因此調(diào)查時先確定男女老年人的比例，然后按照男、女兩層進行分層抽樣.16.有10只不同的試驗產(chǎn)品，其中有4只不合格品、6只合格品．現(xiàn)每次取1只測試，直到4只不合格品全部測出為止．（1）求最后1只不合格品正好在第5次測試時被發(fā)現(xiàn)的不同情形種數(shù)；（2）已知最后1只不合格品正好在第5次測試時被發(fā)現(xiàn)，求第2次測得合格品的概率．解：（1）由最后1只不合格品正好在第5次測試時被發(fā)現(xiàn)，得第5次測得不合格品，且前4次測得3只不合格品、1只合格品，所以不同情形種數(shù)為.（2）記事件：最后1只不合格品正好在第5次測試時被發(fā)現(xiàn)，事件：第2次測得合格品，，，因此，所以最后1只不合格品正好在第5次測試時被發(fā)現(xiàn)，第2次測得合格品的概率為.17.在中，，，分別是角所對的邊，點在邊上，已知，的面積為．（1）求；（2）若，求的正切值．解：（1）因為，所以，因為，則，故由，可得.因為，，解得，由余弦定理得，解得.（2）設(shè)，所以．在中，由正弦定理得，，即，在中，由正弦定理得，，即，因，代入化簡得，即，解得，即.18.如圖，在直三棱柱中，，兩點分別在直線上，．（1）證明：平面；（2）求線段的長度；（3）求二面角的余弦值．（1）證明：因為直三棱柱，則，因，則，又，，平面，則平面；（2）解：因為直三棱柱，且，則以為原點，所在直線為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，則，設(shè)，則，則，則，解得，則，故；（3）解：因，則，，設(shè)平面和平面的法向量分別為，則，，不妨令，則，則，有圖可知二面角為銳二面角，故二面角的余弦值為.19.已知函數(shù)．（1）當(dāng)，求在點處的切線方程；（2）當(dāng)，求函數(shù)的零點個數(shù)；（3），求整數(shù)的值．解：（1）當(dāng)時，，則，有，又，故在點處的切線方程為；（2），定義域為，，①，