高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省錦州市某校2026屆高三上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（每題5分）1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，，則.故選：C.2.已知，則在復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】由題設(shè)，對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為，位于第三象限.故選：C.3.已知，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】已知，兩邊平方可得，即；因?yàn)?，所以，解?則.故選：C.4.設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)平面，下列說法錯(cuò)誤的是（）A.若，，則B.若，，，則C.若，，，則D.若，，那么【答案】A【解析】對于A，如圖，多面體為長方體，記平面為平面，平面為平面，直線為直線，則若，，此時(shí)，故A錯(cuò)誤，對于B，如圖，，，，設(shè)，在直線上任取一點(diǎn)，在平面內(nèi)過作，在平面內(nèi)過作，因?yàn)?，，，，所以，又，所以，同理，因?yàn)椋?，，，所以為二面角的平面角，又，所以，又，，所以，B正確，對于C，如圖，，，過直線作平面，，因?yàn)?，，所以，過直線作平面，，因?yàn)?，，所以，所以，又，，所以，又，，所以，又，所以，C正確，對于D，因?yàn)椋云矫媾c平面沒有公共點(diǎn)，又，所以直線與平面沒有公共點(diǎn)，所以，D正確，故選：A.5.在直角梯形中，已知，，，點(diǎn)是邊靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以所在直線為，軸，建立平面直角坐標(biāo)系，依題意，有，，，，設(shè)，則，且，，，因，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故．故選：D．6.已知，且，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意知：實(shí)數(shù)，且，又，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號成立，所以，即的最小值為.故選：B.7.古印度數(shù)學(xué)家婆什伽羅在《麗拉沃蒂》一書中提出如下問題：某人給一個(gè)人布施，初日施2子安貝（古印度貨幣單位），以后逐日倍增，問一月共施幾何？在這個(gè)問題中，以一個(gè)月天計(jì)算，記此人第日布施了子安貝（其中，），數(shù)列的前項(xiàng)和為.若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題設(shè)，是首項(xiàng)、公比都為2的等比數(shù)列，故，，所以，即，，，所以恒成立，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，又，當(dāng)，時(shí)；當(dāng)，時(shí)；綜上，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D.8.棱長為的正四面體中，點(diǎn)為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則直線與直線所成的角的余弦值的取值范圍為（

）A. B.C. D.【答案】A【解析】首先，記在底面內(nèi)的投影為，則底面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)樵谡拿骟w中，是等邊三角形，則，是的中心，則，由題意得，則，所以的軌跡是以為圓心，半徑為1的圓，以為原點(diǎn)建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系：設(shè)與軸正半軸所成的角為，則，，所以，設(shè)直線與直線所成的角為，所以，因?yàn)?，所?故選：A.二、多選題（每題滿分6分，全部選對得6分，部分選對得部分分，錯(cuò)選得0分）9.如圖，一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的底面直徑和它們的高都與一個(gè)球的直徑相等，則下列結(jié)論正確的是（）A.圓柱的側(cè)面積為B.圓錐的側(cè)面積為C.圓柱的側(cè)面積與球的表面積相等D.圓柱?圓錐?球的體積之比為【答案】ACD【解析】由題意可知，圓柱的底面半徑為，高為，圓錐的底面半徑為，高為，A項(xiàng)，圓柱的側(cè)面積為，故A正確；B項(xiàng)，圓錐的母線長為，所以，圓錐的側(cè)面積為，故B錯(cuò)誤；C項(xiàng)，球的表面積為，所以圓柱的側(cè)面積與球的表面積相等，故C正確；D項(xiàng)，圓柱的體積為，圓錐的體積為，球的體積為，因此，圓柱、圓錐、球的體積之比為，D正確.故選：ACD.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)的圖象可由圖象向左平移個(gè)單位得到B.直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸C.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為D.直線與函數(shù)在上的圖象恰有7個(gè)交點(diǎn)【答案】BD【解析】由題，可得，所以，則，，又，即，，所以，.對于A，將的圖象向左平移個(gè)單位得到的圖象，故A錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)?，所以直線是圖象的一條對稱軸，故B正確；對于C，令，，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，故C錯(cuò)誤；對于D，因?yàn)?，令，又，所以函?shù)在上與有7個(gè)交點(diǎn)，即直線與函數(shù)在上的圖象有7個(gè)交點(diǎn)，故D正確.故選：BD.11.已知函數(shù)與的定義域都為是的導(dǎo)函數(shù)，若，則下列說法正確的是（）A.的圖象關(guān)于直線對稱B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C.4為的一個(gè)周期D.【答案】ACD【解析】對于A：由有，為常數(shù)，令得，所以，所以的圖象關(guān)于直線對稱，故A正確；對于B：由，有，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故B錯(cuò)誤；對于C：由有，又，所以，即，所以，所以4為的一個(gè)周期，故C正確；對于D：由，令得，令得，又，令得，所以，所以，故D正確.故選：ACD.三、填空題（每題5分）12.已知函數(shù)且的圖像過定點(diǎn)，若角的終邊過點(diǎn)，則__________.【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)過定點(diǎn)，由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知點(diǎn)橫坐標(biāo)為3，代入可得，由正弦函數(shù)定義可知.故答案為：.13.已知向量，，，若，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為______.【答案】【解析】因?yàn)?，，，所以，解得，所以，即向量在向量上的投影向量的坐?biāo)為.14.已知函數(shù)，關(guān)于x的不等式只有1個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________．【答案】【解析】由，令，解得：，令，解得：，的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，故的最大值是；時(shí)，時(shí)，，故在時(shí)，，在時(shí)，，函數(shù)的圖象如下：①時(shí)，不等式化為，無整數(shù)解，不合題意；②時(shí)，由不等式得，無整數(shù)解；③時(shí)，由不等式，得或，而時(shí)，沒有整數(shù)解，進(jìn)而的解集整數(shù)解只有一個(gè)，且在遞增，在遞減，而，這一個(gè)正整數(shù)只能為3，所以，即；綜上，a的取值范圍是．故答案為：.四、解答題（共77分）15.設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和，滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．解：（1）由得，可知，兩式相減得，即，，∵當(dāng)時(shí)，，則是首項(xiàng)為1，公差的等差數(shù)列，的通項(xiàng)公式為；（2），，.16.在中，內(nèi)角，，的對邊分別是，，，若，且.（1）求角（2）求邊（3）若邊上的中線長為2，點(diǎn)在上，且為的平分線，求的長.解：（1）因?yàn)?，所以，又，故?則；（2）因?yàn)?，，由余弦定理及正弦定理得?所以，解得；（3）由余弦定理得：，即有①；設(shè)為的中點(diǎn)，即，如下圖：又因?yàn)椋?，即②，由①，②得：，，所以，所以，因?yàn)闉榈钠椒志€，所以，則，即.17.某企業(yè)響應(yīng)國家“強(qiáng)芯固基”號召，為匯聚科研力量，準(zhǔn)備科學(xué)合理增加研發(fā)資金．為了解研發(fā)資金的投入額x（單位：千萬元）對年收入的附加額y（單位：千萬元）的影響，對2017年至2023年研發(fā)資金的投入額和年收入的附加額進(jìn)行研究，得到相關(guān)數(shù)據(jù)如下：年份2017201820192020202120222023投入額103040608090110年收入的附加額7．30（1）求y關(guān)于x的線性回歸方程；（2）若年收入的附加額與投入額的比值大于，則稱對應(yīng)的年份為“優(yōu)”，從上面的7個(gè)年份中任意取3個(gè)，記X表示這三個(gè)年份為“優(yōu)”的個(gè)數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)：，，．附：回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，．解：（1）依題意，，，，，所以y關(guān)于x的線性回歸方程為.（2）由題意，7個(gè)年收入的附加額與投入額的比值大于0.1的有3個(gè)，所以X的可能取值為0，1，2，3，，，，，X的分布列如下：X0123P所以X的期望是.18.如圖，四邊形與均為菱形，，，且.（1）求證：平面；（2）求鈍二面角的余弦值；（3）若為線段上的一點(diǎn)，滿足直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長.（1）證明：設(shè)與相交于點(diǎn)，連接，四邊形為菱形，，且為中點(diǎn)，，，又，平面，平面，平面；（2）解：連接，四邊形為菱形，且，為等邊三角形，為的中點(diǎn)，，又，，平面，平面，平面.、、兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：因?yàn)?，四邊形為菱形，，，，為等邊三角形，，則，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，得.設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，得.所以.又因?yàn)槎娼菫殁g角，所以二面角的余弦值為；（3）解：設(shè)，則，所以，化簡，解得：或（舍）.所以.19.已知函數(shù)．（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程．（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)．（i）求實(shí)數(shù)的取值范